2024-2025 学年江苏省苏州市吴江区盛泽中学高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 140° 10° + 40° 350° =( )
A. 32 B.
3 1 1
2 C. 2 D. 2
2.下列四个函数中以 为最小正周期且为奇函数的是( )
A. ( ) = sin| | B. ( ) = cos| | C. ( ) = | | D. ( ) = tan( )
3.已知 3 5， 为锐角，且 cos( + ) = 5， = 13，则 的值为( )
A. 5665 B.
33
65 C.
16
65 D.
63
65
4. 20° + 40° + 3 20° 40°的值是( )
A. 3 B. 3 C. 33 D.
3
3
5.2002 年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设
计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)，如果小
正方形的边长为 1，大正方形的边长为 5，直角三角形中较大的锐角为 ，则 sin( 2 )
cos( + 3 ) =( )
A. 9+4 3 B. 9+4 310 10 C.
9 4 3 D. 9 4 310 10
6 .把函数 ( )的图像向右平移4个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不
变，得到函数 = 2sin( 3 )的图像．则函数 ( )的一个解析式为 ( ) =( )
A. 2 (2 + 6 ) B. 2 (2 +
6 ) C. 2 (2 + 3 ) D. 2 (2 + 3 )
7.若三角形 中，sin( + )sin( ) = sin2 ，则此三角形的形状是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8.在锐角三角形 中， = 3 ，则 的最小值是( )
A. 3 B. 275 C.
16
3 D. 12
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角 的终边经过点 (3, 4)，则( )
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A. = 45 B. 2 =
7 24
25 C. 2 = 7 D. 2 =
24
25
10.下列计算结果正确的是( )
A. cos4 sin4 = 2 B. 1+ 15°8 8 2 1 15 = 3
C. 2 15° 75° = 1 D. 140°( 3 190°) = 1
11.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，下列
说法正确的是( )
A. = 3
B. 5函数 ( )的图象关于直线 = 12 对称
C.函数 ( ) 图象向右平移6个单位可得函数 = 2 2 的图象
D.若方程 ( ) = ( ∈ ) 在[ 6 , 3 ]上有两个不等实数根 1，
3
2，则 cos( 1 + 2) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ∈ (0, ), = 4 3，则 sin 2 = ______．
13.已知 sin( 3 ) + 3 =
1
3，则 sin(2 + 6 )的值为______．
14.已知函数 ( ) = 2 2( 12 )
1
2 , ( > 0)在[0, ]上恰好有 7 个零点，则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
化简求值：
(1)已知 cos( + 2 ) =
1
3， ∈ (0, 2 )，求 2 的值；
(2)已知 ∈ (0, 2 )， ∈ (
3 2
2 , 0)，且 cos( ) = 5， = 10 .求 ．
16.(本小题 15 分)
已知 tan( 4 ) =
1
3， ∈ (0, 4 )．
(1) 2 +2
2
求 1+tan 的值；
(2)若 ∈ (0, 2 )
10
，且 = 10 ，求 + 的值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin2 + 2 3 cos2 + 的最大值为 3．
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(1)若 ( )的定义域为[0, ]，求 ( )的单调递增区间；
(2) 11若 ( 02 ) = 5， 0 ∈ [0,
2 ]，求 2 0的值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3sin( + )，其中 > 0，0 < < .如图是函数 ( )在一个周期内的图象， 为图象的
最高点， ， 为图象与 轴的交点，△ 1为等边三角形，且 ( + 3 )是偶函数．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)解不等式 ( ) ≥ 32 ，实数 的取值范围；
(3)若 ( )在[0, ]只有两条对称轴，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ 和以 为
直径的半圆拼接而成，点 为半圈上一点(异于 ， )，点 在线段 上，且满足 ⊥ .已知∠ = 90°，
= 1 ，设∠ = ．
(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ = ∠ ，且 + 达到最大．当 为何值时，工艺
礼品达到最佳观赏效果；
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠ = 60°，且 + 达到最大．当 为何值时， +
取得最大值，并求该最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 55
13. 79
14.[ 4112 ,
15
4 )
15.解：(1) ∵ cos( + 2 ) = =
1
3，
∴ = 1 3，且 ∈ (0, 2 )，
∴ = 1 1 = 2 29 3 ，
1
∴ = 3 2 = 2 2 = 4 ，
3
2× 2
∴ 2 = 2 4 4 21 tan2 = 1 = 7 ；1 8
(2) ∵ ∈ (0, 2 ), ∈ ( 2 , 0)，
∴ ∈ (0, )，且 cos( ) = 35， =
2
10，
∴ sin( ) = 45， =
7 2
10 ，
∴ = sin[( ) + ] = sin( ) + cos( ) = 4 × 7 25 10 +
3
5 × (
2 2
10 ) = 2 ，且 ∈ (0, 2 )，
∴ = 4．
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16. (1) ∵ tan( 解： 4 ) =
1
3 , ∈ (0,
4 )，
∴ 1 1 11+tan = 3，解得 = 2，
∴ 2 +2
2 2 2 ( + ) 2 2 2 2 8
1+tan = sin +cos = 2 = sin2 +cos2 = 1+tan2 = 5；
(2) ∵ ∈ (0, ) = 102 ， 10 ，
∴ = 310，tan =
1
cos = 3，
1+1
∴ tan( + ) = + 2 31 tan tan = 1 1 = 1，1 2×3
又∵ + ∈ (0, 3 4 )，
∴ + = 4．
17.解：(1)因为 ( ) = sin2 + 2 3 cos2 +
= 3 2 2 +
= 2 (2 6 ) + ，
由题意得，2 + = 3，即 = 1， ( ) = 2 (2 6 ) + 1，
令 2 + 2 ≤ 2
≤ 6 2 + 2 ， ∈ ，
解得， 6 + ≤ ≤ 3 + ， ∈ ，
因为定义域为[0, ]，
5
所以 ( )的单调递增区间为[0, 3 ]和[ 6 , ]；
(2) 11若 ( 02 ) = 5 = 2 ( 0
6 ) + 1，
所以 sin( 30 6 ) = 5，
∈ [0, 因为 0 2 ]，
所以 cos( 40 6 ) = 5，
所以 sin(2 0 3 ) = 2 ( 0
6 )cos( 0
6 ) = 2 ×
3
5 ×
4 = 24 5 25，cos(2 0 3 ) = 1 2
2( 70 6 ) = 25，
所以 2 0 = cos(2
+ 10 3 3 ) = 2 cos(2
3
0 3 ) 2 sin(2 0
3 )
= 1 × 72 25
3 × 24 7 24 32 25 = 50 ．
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18.
19.解：设∠ = ∠ = ，则在直角△ 中， = ， = ；
在直角△ 中， = = = cos2 ， = = = ；
(1) + = + cos2 = + 1 sin2 = sin2 + + 1 ， ∈ (0, 3 )，
= 1 5所以当 2，即 = 6， + 的最大值为4；
(2)在直角△ 中，由 △ =
1
2 =
1
2 ，
可得 = 1 = ；
在直角△ 中， = sin( 3 ) = (sin
3 cos
3 )，
所以 + = 2 + 2 ( 32
1
2 ) ∈ (0,
， 3 )，
所以 + = 2 + 3cos2 = 12 2 +
3 2 + 3 32 2 = sin(2 + 3 ) + 2 ，
= 所以当 6， + 达到最大．
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