2024-2025 学年江苏省苏州市吴江区震泽中学高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，正确的是( )
A.若 ≠ ，则| | ≠ | | B.若| | > | |，则 >
C.若 = ，则| | = | | D.若| | = | |，则 =
cos( + )
2.已知 = 2，则 2 =( )
sin( ) sin(3 2 )
A. 23 B.
2
3 C. 2 D. 2
3.已知 = 2 = ( 1， ) 0.13 ， = 120°，则 ， ， 的大小关系为( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4.将函数 ( ) = 4 (2 + 3 )的图象向右平移3个单位长度，得到函数 ( )的图象，则下列结论正确的是( )
A. ( ) 是奇函数 B. ( )的图象关于直线 = 12对称
C. ( ) [0, ] D. ( ) [ 在 2 上单调递增 在 6 , 3 ]上的值域为[ 4,2 3]
5 .已知函数 ( ) = cos( + 3 )( > 0)在区间(0, )上至少有 3 个零点，则 的取值范围是( )
A. (0, 136 ) B. (0,
17 ) C. ( 136 6 , + ∞) D. (
17
6 , + ∞)
6.如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心 到水面的距离为 1 ，筒车的半径是 3 ，盛水筒的初始位置为 0，
0与水平正方向的夹角为6 .若筒车以角速度 2 / 沿逆时针方向转动， 为筒车转动后盛水筒第一次到
达入水点 1所需的时间(单位： )，则( )
A. = 12 B. =
2
2
C. 2 = 2 6+16 D. 2 =
3+2 2
6
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7 .将函数 ( ) = 2 的图象向右平移 (0 < < 2 )个单位得到函数 ( )的图象，以 ( )， ( )图象相邻的
3
三个交点为顶点的三角形面积为 2 ，则 =( )
A. 12 B.
C. 6 3 D.
5
12
8.已知函数 ( )， ( )分别是定义在 上的偶函数和奇函数，且 ( ) + ( ) = + ，若函数 ( ) =
3| 2025| + ( 2025) 2 2有唯一零点，则实数 的值为( )
A. 1 1或2 B. 2 或 1 C. 1 或 2 D. 1
1
或 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = cos( 3 + )，则( )
A. ( )为偶函数 B. ( )的值域为[ 1,1]
C.不存在 ∈ ，使得 ( ) = ( ) D. ( )在区间[0,1]上单调递减
10 2.对于函数 ( ) = 和 ( ) = 4 [sin( ) cos( )]，下列说法中正确的有( )
A. ( )与 ( )有相同的零点 B. ( )与 ( )有相同的最大值
C. ( )与 ( )最小正周期不相同 D. ( )与 ( )的图象存在相同的对称轴
11.在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：1 为角 的正矢，记作 ；1 为角 的余
矢，记作 .则下列说法正确的是( )
A.函数 = 在[ 4 , ]上单调递减
B. 1若 = 2，则 2 2 = 7
1 5
C.若函数 ( ) = (2024 3 ) + (2024 + 6 )，则 ( )的最大值为 2 + 2
D. ( 2 ) =
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2.函数 = + 2 的定义域为______．
13.已知函数 ( ) = + 2 ，则函数 ( ) [
在 4 , 0)上的最大值为______．
14.已知函数 ( ) = cos2 + + 32 2 sin( + )
1
2 (| | <
2 , ∈ )的图象关于坐标原点对称，若在 ( )的图象
上存在一点列： 1( 1, 1)， 2( 2, 2)， ， ( , ), ∈ ，满足| 1 2| + | 2 3| + + | 1 | =
12( ≥ 2, ∈ )且 0 ≤ 1 < 2 < < ≤ 6 ，那么满足条件的 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
3
已知 = 5，且 ∈ ( 2 , )．
(1)求 ， 的值；
(2) sin(2 )+cos(3 + )求 sin( 2 ) sin( )
的值；
(3) ∈ (0, 已知 2 )，且 sin( + ) =
5
13，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 ( ) = sin( 12 ), ( ) = cos(
7
12 )．
(1) ( ) = 3若 5，求 ( )的值；
(2)若 ( ) = [ ( + 2 12 )] + ( + 12 ) (
5
12 )，求 ( )的值域和单调递增区间．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 ( ) ．
(1)求 ( )的最小正周期及 ( 4 )的值；
(2) 1 将函数 = 图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)，再向左平移12个单位长度得到函数
( )的图象，求函数 ( )的解析式；
(3)在(2)的条件下，直线 = ， ∈ [0, 2 ]与函数 ( )， ( )的图象分别交于 ， 两点，求| |的最大值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + + + 1( , , ∈ )．
(1)当 = = 0， = 1 时，求函数 = ( )的单调增区间；
(2)当 = 1， = 0 时，设 ( ) = ( ) 1，且函数 ( ) 的图像关于直线 = 6对称，将函数 = ( )的图像
向右平移6个单位，得到函数 = ( )，求解不等式 ( ) ≥ 1；
(3)当 = = 1， = 0 时，若实数 ， ， 使得 ( ) + ( ) = 1 对任意实数 恒成立，求实数 ， ，
的值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin( 6 ) +
1
2，( > 0)的最小正周期为2．
(1)求实数 的值；
(2)若函数 ( )在[ , ]( ， ∈ ， < )上恰有 8 个零点，求 的最小值；
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(3)设函数 ( ) = , ( ) = + ( 16 +
1
24 ) 2，证明： ( )有且只有一个零点 0，且 (sin 4 0) <
2 1
．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ |2 4 ≤ ≤ 2 +
5
4 , ∈ }
13.0
14.8
3
15.解：(1)因为 = 3 4 ，且 ∈ ( , )，所以 = 1 sin2 = ，即 = = 55 2 5 cos 4 =
3
；
45
3 4
(2) sin(2 )+cos(3 + )
5+5 1由 sin( 2 ) sin( )
= cos sin = 4 = ； 5
3 7
5
(3)因为 ∈ (0, 3 2 )且 ∈ ( 2 , )，所以 + ∈ ( 2 , 2 )，
又因为 sin( + ) = 513，所以 cos( + ) = 1 sin
2( + ) = 1213；
则 = cos( + ) = cos( + ) + sin( + ) = 1213 × (
4
5 ) + (
5 3
13 ) × 5 =
33
65．
16.解：(1)因为 ( ) = sin( 3 312 )， ( ) = 5，所以 sin( 12 ) = 5，
又 ( ) = cos( 7 12 )，所以 ( ) = cos(
7
12 ) = cos[( 12 )
2 ] = sin(
12 ) =
3
5；
(2) 因为 ( ) = [ ( + )]212 + ( +
12 ) (
5
12 )，
所以 ( ) = sin2 + cos( 7 5 12 12 )
= sin2
= 1 2 12 2 2
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= 1 12 2 ( 2 + 2 )
= 1 2 2 2 sin(2 + 4 )
= 22 sin(2
3 ) + 14 2，
所以 ( )的值域为[ 1 2 1+ 22 , 2 ]，
令 2 + 2 ≤ 2
3 ≤ 4 2 + 2 ， ∈ ；
5
解得8 + ≤ ≤ 8 + ， ∈ ；
所以 ( ) 5 的单调递增区间为[ 8 + , 8 + ]， ∈ ．
17.解：(1) ∵ ( ) = 2 ( ) = 2 = 2 ，
∴ ( ) 2 的最小正周期为 2 = ， ( 4 ) = sin 2 = 1；
(2) 1将函数 = 图象的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)得到 = 2 ，
再向左平移12个单位长度得到函数 ( ) = cos(2 + 6 )；
(3)由题意可知： ， 两点的坐标为( , ( ))，( , ( ))，
则| | = | ( ) ( )|，
即| | = | 2 cos(2 + 6 )|，
故| | = | 2 cos(2 + 6 )|
= | 2 ( 32 2
1
2 2 )|
= | 32 2
3
2 2 |
= | 3sin(2 6 )，
∵ ∈ [0 ．2 ]，
∴ 2 5 6 ∈ [ 6 , 6 ]，
∴ 3sin(2 6 ) ∈ [
3
2 , 3]，
∴ | |在 ∈ [0, 2 ]时的最大值为 3．
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18.[ 4 , +
4 ], ∈ ；
[2 , 23 + 2 ]( ∈ )；
= 2 + ， ∈ = = 1， 2．
19.解：(1)因为 ( ) = sin( 6 ) +
1
2 , ( > 0)
的最小正周期为2，
2
所以 = = 2，
解得 = 4；
(2)当 ∈ (0, ]时，令 ( ) = sin(4 6 ) +
1
2 = 0，
解得 = 2或 = 6 + 2， ∈ ，
要使 最小，则 ， 均为 ( )零点，
= 7 ( ) + ( +1) , ( +1) , + ( +2) , ( +2) , + ( +3) ( +3) 若 2，则大于 的 个 零点为： 6 2 2 6 2 2 6 2 , 2 ,
6 +
( +4)
2 ，
( +4) 11
得 = 6 + 2 ，则此时， = 6 + 2 = 6 ，
若 = 6 + 2，则大于 的 7 个 ( )零点为： 2 ,
+ ( +1) , ( +1) , + ( +2) 6 2 2 6 2 ,
( +2)
2 , 6 +
( +3) , ( +3) 2 2 ，
= + ( +3) = + 3 = 5 得 6 2 ，则此时， 6 2 3；
11 5
因为 6 > 3 ，
5
所以 的最小值为 3；
(3)证明：由(1) 1 可得 ( ) = + ( 16 + 24 ) 2 = + sin 4 ，定义域为(0, + ∞)，
①当 ∈ (0,2]时，函数 ( ) = + sin 4 在(0,2]上单调递增，
1 1 2
因为 ( ) = ln + sin 4 = 1 + sin 4 0, (1) = sin 4 = 2 0
( 1 1所以 ) (1) < 0 根据零点存在定理， 0 ∈ ( , 1)使得 ( 0) = 0，
故 ( )在(0,2]上有且只有一个零点 0；
②当 ∈ (2, ]时，因为 = 单调递增， = sin 4 单调递减，
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> 2 > 0, sin 4 > sin
4 > > 0，
所以 ( ) > 0，
所以 ( )在(2, ]上不存在零点；
③当 ∈ ( , + ∞)时，因为 = 单调递增， > > 1，
因为 = sin 4 ≥ 1，
所以 ( ) > 1 1 = 0，
所以 ( )在( , + ∞)上不存在零点；
综上： ( ) 1有且只有一个零点 0，且 0 ∈ ( , 1)，
因为 ( 0) =
0 + sin 4 0 = 0，所以 sin 4 0 = 0，
所以 (sin 4 0) = ( 0) =
0 0 = 1 0，0
1
因为 = 在(
1
, 1)上单调递减，
1 <
2 1
所以 00
，
2 1
所以 (sin 4 0) < ．
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