2024-2025 学年安徽省铜陵市第三中学高二下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线 2 + + + 6 = 0 与直线 + 2 4 = 0 互相平行，则 为( )
A. 12 B. 2 C. 2 或 2 D. 2
2 lim 2+2 2.若
→0
= 6，则 ′ 2 =( )
A. 3 B. 6 C. 12 D. 3
3.在等差数列 中， 1 + 2 3 + 5 = 16，则 6 3 4 =( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
4 = 1
2024
.已知 2025， =
20262025， = ln 2025，则 ， ， 的大小关系是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
25
2
.已知圆 1: 2 + 2 = 2与椭圆 2: 2 + 2 = 1 > > 0 ，若在椭圆 2上存在一点 ，过 点能作圆 1的两
条切线，切点为 , ，且∠ = 2，则椭圆 2离心率的取值范围为( )
A. 0, 2 2 1 12 B. 2 , 1 C. 0, 2 D. 2 , 1
6.若直线 同时是曲线 = > 1 和曲线 = + 的切线，则 斜率的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. D. 2
7.在空间四边形 中，点 在线段 上，且 2 = , 为 的中点，则 等于( )
A. 1 2
2 3 +
1 B. 1 + 1 + 12 3 2 2
C. 1 + 1 1 D. 2 + 2 1 2 2 2 3 3 2
8.“曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式．其定义为：如果在平面直角坐标系中，点 、 的坐
标分别为 1, 1 ， 2, 2 ，那么称 , = 1 2 + 1 2 为 、 两点间的“曼哈顿距离”.已知
为常数，动点 , ln ln ， 3,2 ，则 , 的最小值为( )
A. 2 ln3 B. 3 ln2 C. 3 2 D. 2 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数的求导运算正确的是( )
A. (ln2024) = 1′ 2024 B. (tan )
1
′ = 2
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C. 3 + 1 ′ = 3 2 2 D. 2 ′ = ( + 1) 2
10.如图，四棱锥 底面 是边长为 4 的正方形，若点 在四边形 内(包含边界)运动，
为 的中点， = 4，∠ = ∠ = 3，则( )．
A.当 为 的中点时，异面直线 与 所成角为2
B.当 //平面 时，点 的轨迹长度为 2 3
C.当 与平面 3 2所成的角是4时，点 到 的距离可能为 2
D.点 是四棱锥外接球上的一点，则 的最大值是 8 + 8 2
2 211 .双曲线 2 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别 1， 2，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交
点为 ，双曲线和椭圆的离心率分别为 1， 2， 1 2的内切圆的圆心为Ⅰ，过 2作直线 的垂线，垂足为
，则( )
A. 到 轴的距离为
B.点 的轨迹在圆上
C. 1若 △ 1 △ 2 ≥ 3 △ 1 2，则 1 < 1 ≤ 3
D. = 1 + 1若 1 ，则 = 2 2 21 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知直线 的方向向量 = 1, 2, 2 ，平面 的法向量 = 2, , 1 .若 // ，则 = ．
13.已知点 ， 在直线 : 2 2 = 0 上运动，且 = 2 5，点 在圆 : + 4 2 + 2 = 5 上，则
的面积的最大值为 ．
14 1 1 .已知函数 = ln + 3 和 =
2 + 9的图像有交点，则
2 + 2取最小值时， 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 = 1 3 1 23 2 ．
(1)求 的极值；
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(2)若 = 2 + ，讨论 的零点个数．
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ． 是等腰三角形，且 = = 3.在梯形
中， // ， ⊥ ， = 5， = 4， = 3．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
17.(本小题 15 分)
2 2
已知双曲线 : 2 2 = 1 > 0, > 0 的离心率为 2，且 的一个焦点到其一条渐近线的距离为 1．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点 为 的左顶点，若过点 3,0 的直线 与 的右支交于 , 两点，且直线 , 与 轴分别交于 , 两点，
记四边形 的面积为 1, 的面积为 2，求 1 的取值范围．2
18.(本小题 17 分)
已知函数 = 1 ln +
∈ ．
(1)当 > 0 时，求 的单调区间；
(2) 1若对 > 1， ≤ 1 恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，在第一象限内的点 1 1, 1 和第二象限内的点 1 1′, 1′ 都在拋物线
上，且直线 1 1过焦点 .按照如下方式依次构造点 ( = 2,3, )：过点 1作抛物线 的切线与 轴交于
点 1，过点 1作 轴的垂线与拋物线 相交于点 ，设点 的坐标为 , .用同样的方式构造点 ( =
2,3, )，设点 的坐标为 ′, ′ ．
(1)求 1 1′的值
(2)证明：数列 ， ′ 都是等比数列；
(3) 记 = 16 ′ ，求数列 的前 项和 ；
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.15
14.± 24
15.(1) 1 1由题意， = 3
3 2
2，则 ′ = 2 = 1 ．
所以，当 < 0 或 > 1 时， ′ > 0， 单调递增；
当 0 < < 1 时， ′ < 0， 单调递减．
所以 在 = 0 1处取得极大值 0 = 0，在 = 1 处取得极小值 1 = 6．
(2)由题意， = 2 + = 1 33
1 2
2 2 + ，
1 1
令 = 0，则 = 3
3 + 2
2 + 2 ．
设 = 13
3 + 12
2 + 2 ，则 ′ = 2 + + 2 = 2 + 1 ,
所以，当 1 < < 2 时， ′ > 0， 单调递增；
当 < 1 或 > 2 时， ′ < 0， 单调递减．
7 10
所以， 在 = 1 处取得极小值 1 = 6，在 = 2 处取得极大值 2 = 3．
如图，
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< 7 > 10所以，当 6或 3时，函数 有 1 个零点；
7 10
当 = 6或 = 3时，函数 有 2 个零点；
7
当 6 < <
10
3时，函数 有 3 个零点．
16.(1)证明：∵ // ， 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ．
(2)以 为原点，以 ， 及平面 过 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系．
∵ 是直角梯形， // ， ⊥ ， = 5， = 4， = 3，
∴ 4,5,0 , 0,3,0 ， 4,0,0 ，
∴ = 42 + (5 3)2 = 2 5，
取 的中点 ，连接 ，故 = = 5，又 = = 3，
∴ ⊥ ，
∵平面 ⊥平面 ，两平面交线为 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
∴点 到直线 的距离为 = 2 2 = 32 5 = 2，
∴点 到平面 的距离为 2．
∴ 2,4,0 ， 2,4,2 ，
∴ = 2,1, 2 ， = 0,5,0 ， = 4,2,0 ，
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设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，平面 的法向罣为 = 2, 2, 2 ，
= 1, 1, 1 2,1, 2 = 2 1 + 1 2 1 = 0则
,
= 1, 1, 1 0,5,0 = 5 1 = 0
解得 1 = 0，令 1 = 1，则 1 = 1，故 = 1,0,1 ，
= 2, 2, 2 2,1, 2 = 2 2 + 2 2 2 = 0 ,
= 2, 2, 2 4,2,0 = 4 2 + 2 2 = 0
令 2 = 1 可得 2 = 2, 2 = 0，故 = 1, 2,0 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
cos = cos , = = 1,0,1 1, 2,0 1 10则 1+1× 1+4 = 2× 5 = 10 ．
∴ 10平面 与平面 夹角的余弦值为 10 ．
17.(1)由题意可知， 的一条渐近线方程为 = 0，右焦点为 , 0 ，
∴ 右焦点到渐近线的距离 = = 2，解得 = 1，
2+ 2
由离心率 = = 2，又
2 + 2 = 2，解得 = 1，
双曲线的方程为 2 2 = 1．
(2)设直线 的方程为： = + 3, 1, 1 , 2, 2 ，
= + 3
联立 2 2 2 2 = 1 1 + 6 + 8 = 0 ≠± 1 ,
= 4 2 + 32 > 0 + = 6 恒成立， 1 2 2 1 , 1 2 =
8
2 1，
∵直线 与双曲线 8的右支交于两点，∴ 1 2 = 2 1 < 0，解得 1 < < 1．
1
1 + 2 2 sin∠
= = = 1 + 1 2 + 1 = 1 + 4 2 + 42 1
2 sin∠
8 22 24
2 16
= 1 2 + 4 1 + 2 + 16 = 2 2 + 16 = 1 1 1 2
∈ 16, + ∞ ,
∴ 1 ∈ 15, + ∞ ．2
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18.(1) 1 解：由函数 = ln + ∈ ，
= 1 1
+ ( 1) = ( 1)(
1)
可得 ′ 2 2 2 且 > 0, > 0，
由 ′ = 0，可得 = 1 或 = ln ，
1
当 0 < < 时，令 ′ > 0，可得 0 < < 1 或 > ln ；
令 ′ < 0，可得 1 < < ln ，
所以函数 在 0,1 ，( ln , + ∞)上单调递增，在(1, ln )上单调递减；
1
当 < < 1 时，令 ′ > 0，可得 0 < < ln 或 > 1；
令 ′ < 0，可得 ln < < 1，
所以函数 在 0, ln ，(1, + ∞)上单调递增，在( ln , 1)上单调递减；
当 ≥ 1 时，令 ′ > 0，可得 > 1；令 ′ < 0，可得 0 < < 1，
所以函数 在(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减；
1
当 = 时，此时 ′ ≥ 0，所以函数 在 0, + ∞ 上单调递增；
1
综上可得：当 0 < < 时，函数 的增区间为 0,1 ，( ln , + ∞)，减区间为(1, ln )；
1
当 < < 1 时，函数 的在区间为 0, ln ，(1, + ∞)，减区间为( ln , 1)；
当 ≥ 1 时，函数 的增区间(1, + ∞)，减区间为(0,1)；
= 1当 时，函数 的在区间 0, + ∞ 上单调递增，无减区间．
(2) 1 1解：当 > 1 时，不等式 ≤ 1 ，即 ln +
≤ 1
1
，
≤ (ln +1) 即 在 > 1 上恒成立，
= (ln +1) , > 1 = (1 )(ln +2)设 ，可得 ′ ，
1
令 = ln + 2, > 0，可得 ′ = ，
令 ′ > 0，解得 0 < < 1；令 ′ < 0，解得 > 1，
所以函数 在 0,1 上单调递增，在 1, + ∞ 上单调递减，
且 = 3 > 0, 2 = 4 2 < 0，
所以函数 在 , 2 内存在唯一的零点 0，且 < 20 < ，
当 ∈ (1, 0)时， > 0，可得 ′ < 0，所以 单调递减；
当 ∈ ( 0, + ∞)时， < 0，可得 ′ > 0，所以 单调递增，
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所以 min = =
0(ln 0 0+1)
0 0 ，
又因为 0 = ln 0 0 + 2 = 0，可得 = 0 20 ，
(ln 2
则 = 0 0 0+1) 0
0 2
0 0 = 0 = 0 = ，即 min =
2，
所以 ≤ 2，即实数 的取值范围为( ∞, 2]．
19.(1) ∵抛物线 : 2 = 4 的焦点为 ，
∴焦点 (0,1)，
∵直线 1 1过焦点 ，
设直线 1 1的方程为 = + 1，
2 = 4
联立方程 2 ′ = + 1消去 后整理为 4 4 = 0，有 1 1 = 4，
(2)抛物线 的方程可化为 = 1 2 14 ，求导可得 ′ = 2 ，
将点 1 的坐标代入抛物线 的方程，有 2 = 4 ，
1 1 1 1
过点 的切线的方程为 = 2 ，代入
2
= 4 ，有 4
2
= 2 ，
1
整理为 = 2
1 2 = 0 1 14 ，令 ，可得 = 2 ，有 +1 = 2 ，
故数列 1 是公比为2的等比数列，
′ 1同理，数列 也是公比为2的等比数列；
(3) 1 ′由数列 ′ ， 是公比为2的等比数列，有
1
= 2 1 ,
′ = 1 2 1，
1 1
′ 4
有 = 16 2 1 × 2 1 = 16 4 1 = 4 ，
= 1 + 2 3有 4 42 + 43 + +
1
4 1 + 4 ，
1 1 1 2 3 1
两边乘以4，有4 = 42 + 43 + 44 + + 4 + 4 +1，
3 1 1 1 1 1
两式作差，有4 = 4+ 42 + 43 + 44 + 4 4 +1，
1 1
3 1
有4 =
4 4 4 3 +4
1 1
4 +1，可得 = 9 9×4 ；
4
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