2024-2025 学年广东省江门市江海区礼乐中学高二下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂.第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天，6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个
伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第 5 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( )
A. 46656 B. 7776 C. 216 D. 36
2.记 为等差数列{ }的前 项和．若 4 + 5 = 24， 6 = 48，则{ }的公差为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
3.等差数列 的首项为 1，公差不为 0.若 2， 3， 6成等比数列，则 的前 6 项和为( )
A. 24 B. 3 C. 3 D. 8
4.已知一个等比数列的前 项和 前 2 项和 前 3 项和分别为 ，则下列等式正确的是( )
A. + = B. 2 =
C. ( + ) = 2 D. 2 + 2 = ( + )
5.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书是有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，
1
使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的3是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 15
6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？”意思是：“一座 7 层塔共持了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的
2 倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座 5 层塔共挂了 363 盏灯，且相邻两层中的下一层灯
数是上一层灯数的 3 倍，则塔的底层共有灯( )
A. 81 盏 B. 112 盏 C. 162 盏 D. 243 盏
7.设 ( ) = ln ，若 ′ 0 = 2，则 0 =( )
A. 2 B. C. ln22 D. ln2
8.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数
学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 1，1，2，1，2，4，1，
2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，
依此类推.求满足如下条件的最小整数 ： > 100 且该数列的前 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活
码是
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A. 440 B. 330 C. 220 D. 110
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把
数分成许多类，如图中第一行的 1，3，6，10 称为三角形数，第二行的 1，4，9，16 称为正方形数.下列数
中，既是三角形数又是正方形数的是( )
A. 36 B. 289 C. 1225 D. 1378
10.已知数列 的首项 =
3 3
1 5，且满足 +1 =
2 +1，则下列命题正确的是( )
A. 0 < < 1
B. 1数列 1 是等比数列
C. = 2 3设 2+3 1，则数列 的前 项和小于 2
D. 1 + 1 1 1若 + + + < 100，则满足条件的最大整数 的值为 1001 2 3
11.下列结论不正确的是( )
′
A. (cos )′ = sin B. sin 3 = cos
3
′
C. = 1 ′ 1 1 1若 2，则 = D. = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设等比数列 满足 1 + 2 = –1， 1– 3 = –3，则 4 = ．
13.已知数列{ }是等比数列， 4 + 7 = 2， 5 6 = 8，则 1 + 10 = ．
14.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且满足 ( ) = 2 ′( ) + ln ，则 ( ) = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
cos
已知函数 ( ) = ．
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(1)求这个函数的导数；
(2) 求这个函数的图象在点 = 2处的切线方程．
16.(本小题 15 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， 1 = 1 = 1， 2 + 2 = 2．
(1)若 3 + 3 = 3，求 的通项公式；
(2)若 3 = 21，求 3．
17.(本小题 15 分)
设数列 满足 1 + 3 2 + + 2 1 = ．
(1)求 的通项公式；
(2) 求数列 2 +1 的前 项和．
18.(本小题 17 分)
已知数列 的首项 1 = 2，且满足 +1 + = 4 × 3 ．
(1)证明： 3 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
已知等差数列 的前 项和为 ，且 4 = 4 2， 2 = 2 + 1 ∈ ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 = 5 1，令 = ，求数列 的前 项和 ；
+3+2 +2(3) = 5已知数列 满足 2 ，且数列 的前 项和为 ，证明： < ． +2 2
8
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 8
13. 7
14. 1
′
15.(1) = cos ′ cos = sin cos 由题意可得： ′ 2 2 ，
sin +cos
所以这个函数的导数为 ′ = 2 ．
(2)由(1) 可得： 2 = 0,
′ 2 =
2
，
2
即切点坐标为 2 , 0 ，切线斜率 = ，
2
所以所求切线方程为 = 2 ，即 2 + = 0．
16.(1)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ．
+ = 1
+ = 2, + = 3 = 0 ( ) = 2由 2 2 3 3 得： 2 + 2 = 2，解得 = 1 舍去 ，
1
= 1，于是 = 2 ．
(2)由 3 = 21 得 2 + 20 = 0，解得 = 5 或 = 4．
当 = 4 时，由 2 + 2 = 2 = 1 + + 得 = 3，∴ 3 = 1 2 5 = 6；
当 = 5 时，由 2 + 2 = 2 = 1 + + 得 = 6，∴ 3 = 1 + 7 + 13 = 21，
综上所述，故 3 = 6 或 21．
17.(1)因为 1 + 3 2 + + 2 1 = ，①
故当 ≥ 2 时， 1 + 3 2 + + 2 3 1 = 1.②
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① ②得 2 1 = 1，所以 =
1
2 1．
又当 = 1 1 1时， 1 = 1 符合 = 2 1，从而 的通项公式为 = 2 1．
(2) 记 2 +1 的前 项和为 ，
由(1) 1 1 1 1知 2 +1 = 2 1 2 +1 = 2 2 1 2 +1 ，
= 1 1 1 + 1 1 + + 1 1 = 1 1 则 2 3 3 5 2 1 2 +1 2 1 2 +1 = 2 +1．
18.(1)证明：由 +1 + = 4 × 3 ，得 +1 +1 3 = 3 ，
又 1 = 2，故 1 3 = 1，故 +1 3 +1 = 3 ≠ 0，
3 +1
所以 +1 3 = 1，所以数列 3
是以 1 为首项， 1 为公比的等比数列．
(2)由(1)可知 3 = ( 1) ，所以 = 3 + ( 1) ，
= 3 1 3 + ( 1) 1 ( 1)
3 +1 ( 1) +1
所以 1 3 1 ( 1) = 2 2．
19.(1)设等差数列 的公差为 ，
则 = 1 +
( 1)
2 ， = 1 + ( 1) ∈
．
∵ 4 = 4 2， 2 = 2 + 1 ∈ ，
4 + 4×3∴ 1 2 = 4(2 1 +
2×1
2 ) = 1，解得 1 ．
1 + (2 1) = 2[ 1 + ( 1) ] + 1 = 2
∴数列 的通项公式为 = 1 + 2( 1) = 2 1 ∈ ．
(2)由(1)知 = 2 1 ∈ ，又 = 5 1，
∴ = = (2 1) × 5 1．
∴数列 的前 项和 = 1 × 50 + 3 × 51 + 5 × 52 + + (2 3) × 5 2 + (2 1) × 5 1①，
5 1 2 = 1 × 5 + 3 × 5 + 5 × 53 + + (2 3) × 5 1 + (2 1) × 5 ②，
1
① ②得 4 = 1 × 50 + 2 × (51 + 52 + + 5 1) (2 1) × 5 = 1 + 2 × 5(1 5 ) 1 5 (2 1) × 5
= 1 + 5 52 (2 1) × 5
= (2 3 ) × 5 32 2，
∴ =
4 3 × 5 + 38 8．
∴ 4 3数列 的前 项和 = 8 × 5 +
3
8．
(3) (1) = 2 1 ∈ ∴ = +3+2
+2 +3+2 +2
由 知 ， 2
= 2 ．
+2 2 2 +3 2
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∵ 12 +3 2 <
1 1 1
2 +3 2 1 = 2 +3+1 2 +3 1 = 4 +2 +1 ，
+2 +2 +2
∴ = +3+2 < +3+2 = +3+2 = +3 1 2 1 2 +3 2 2 4 +2 +1 2 +2 +1 2 +2 +2 +1 2 +2 + +2 +1 = +1 2 +2 +2 2 +2 +
1 1 1 1 1 1
+1 +2 = +1 2 +1 +2 2 +2 + +1 +2．
1 1 1 1
设数列 +1 2 +1 +2 2 +2 的前 项和 ，数列 +1 +2 的前 项和 ，
1 1 1 1 1 1 1 1
则 = [ 2 22 3 23 ] + [ 3 23 4 24 ] + [ 4 24 5+ ] + + [25 +1 2 +1 +2 2 +2 ]
= 1 1 12 22 +2 2 +2 = 8
1
+2 2 +2，
= ( 1 2
1
3 ) + (
1
3
1
4 ) + (
1 1 1 1 1 14 5 ) + + ( +1 +2 ) = 2 +2，
∴ < +
1 1 1 1 5 1 1 5
= 8 +2 2 +2 + 2 +2 = 8 +2 2 +2 +2 < 8．
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