2024-2025学年七年级下册数学第一次月考知识点复习题
【类型1 基础题篇·30题】
【必考点1 对顶角与邻补角】
1．下列关于对顶角的说法中，正确的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．有公共点并且相等的角是对顶角
C．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2
D．两条直线相交所成的角是对顶角
2．如图，直线AB和CD相交于点O，OE、OF是过点O的射线，其中构成对顶角的是（ ）
A．∠AOF和∠DOE B．∠EOF和∠BOE
C．∠COF和∠BOD D．∠BOC和∠AOD
3．下列各选项，∠1和∠2互为邻补角的是（ ）
A． B．
C． D．
【必考点2 点到直线的距离】
4．如图，能表示点到直线（线段）的距离的线段有（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
5．若A，B，C是直线l上的三点，P是直线l外一点，PA＝10cm，PB＝8cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离（ ）
A．等于6cm B．大于6cm而小于8cm
C．6cm D．不大于6cm
6．如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．点到直线的距离
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【必考点3 平行线的判定与性质】
7．如图，下列说法正确的是（ ）
A．因为∠2＝∠4，所以AD∥BC
B．因为AD∥BC，所以∠B+∠BCD＝180°
C．因为AD∥BC，所以∠1＝∠3
D．因为∠D+∠BCD＝180°，所以AB∥CD
8．如图，小明用两块同样的三角板，按下面的方法作出了平行线，则AB∥CD的理由是（ ）
A．∠2＝∠4 B．∠3＝∠4
C．∠5＝∠6 D．∠2+∠3+∠6＝180°
9．如图，点E在AC的延长线上，∠A＝∠DCE，以下结论：①BD∥AC；②AB∥CD；③∠D+∠ABD＝180°；④∠ACB＝∠CBD．一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【必考点4 三角板问题】
10．一副直角三角板如图放置（∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°），如果点C在FD的延长线上，点B在DE上，且AB∥CF，则∠DBC的度数为（ ）
A．10° B．15° C．18° D．30°
11．如图，已知AB∥CD，一副三角板按如图放置，∠AEG＝45°，则∠HFD为（ ）
A．45° B．30° C．40° D．60°
12．如图，l1∥l2，将一副直角三角板作如下摆成，图中点A、B、C在同一直线上，则∠1的度数为（ ）
A．80° B．85° C．75° D．70°
【必考点5 命题与定理】
13．已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，则下列命题：
①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中是真命题个数有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
14．下列命题：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③相等的角是对顶角；④平行于同一条直线的两条直线互相平行．其中是真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．关于命题：若|a|＞|b|，则a＞b．下列说法正确的是（ ）
A．它是真命题
B．它是假命题，反例a＝3，b＝﹣4
C．它是假命题，反例a＝4，b＝3
D．它是假命题，反例a＝﹣4，b＝3
【必考点6 平移的性质运用】
16．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为（ ）
A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
17．如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右移动5cm，得到△A′B′C′，则四边形AA′C′B的周长是（ ）cm．
A．17 B．19 C．22 D．24
18．如图，直角三角形ABC从点B出发沿着BC方向匀速平移得到三角形DEF，当点E平移至点C时停止运动．若AB＝6cm，当点G恰好是线段DE三等分点时，四边形DGCF的面积为25cm2，那么平移的距离是（ ）
A．4cm B．5cm或cm
C．6cm D．8cm
【必考点7 平方根与立方根】
19．下列语句：
①81的立方根是3，
②，
③立方根等于平方根的数是1，
④4的算术平方根是2．
其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是
B．﹣9是81的一个平方根
C．0.2的算术平方根是0.04
D．﹣27的立方根是﹣3
21．下列说法错误的是（ ）
A．4是16的算术平方根
B．2是4的一个平方根
C．0的平方根与算术平方根都是0
D．（﹣3）2的平方根是﹣3
【必考点8 无理数的定义】
22．有下列各数：（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），其中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
23．以下各数﹣3，，，π，1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1），中，其中无理数的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
24．下列一组数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【必考点9 无理数的估算】
25．a，b是两个连续整数，若，则ab是（ ）
A．12 B．13 C．20 D．21
26．估计的值应在（ ）
A．3.5和4之间 B．4和4.5之间
C．4.5和5之间 D．5和5.5之间
27．正整数a、b分别满足、，则ba＝（ ）
A．16 B．27 C．64 D．81
【必考点10 实数与数轴】
28．实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．b﹣c B．﹣2a﹣b﹣c C．b+c D．﹣b﹣c
29．如图，面积为2的正方形ABCD的顶点C在数轴上，且表示的数为﹣1．若将正方形ABCD绕点C逆时针旋转，使点D落到数轴上的点P处，则点P在数轴上所对应的数为（ ）
A． B． C． D．
30．一个正数x的两个不同的平方根分别是2a+3和a﹣9．如图，在数轴上表示实数的点是（ ）
A．点N B．点M C．点Q D．点P
【类型2 计算题篇·22题】
【必考点11 实数的混合运算】
1．计算：
（1）； （2）．
2．计算：．
3．计算：
（1）|3|+|2|； （2）．
4．计算题：
（1）； （2）．
5．计算：
（1）； （2）．
6．计算：．
7．计算．
（1）； （2）．
8．计算：
（1）． （2）．
【必考点12 利用开平方或开立方解方程】
9．求下列各式中x的值．
（1）9x2﹣25＝0； （2）（x﹣1）2＝36．
10．求下列各式中x的值：
（1）3x3﹣1＝17； （2）（x﹣1）2﹣2＝7．
11．求下列各式中x的值：
（1）x2﹣81＝0； （2）（x﹣2）3＝﹣27．
12．解方程：
（1）； （2）．
13．解方程：
（1）2x2＝18 （2）3（x+1）3+81＝0
14．求下列各式中x的值．
（1）4x2﹣9＝0； （2）64（x﹣2）3﹣1＝0．
15．求下列各式中x的值．
（1）9x2＝4； （2）2（x+3）3+54＝0．
16．求下列各式中x的值．
（1）16（x﹣4）2＝4； （2）（x+1）3﹣3＝﹣67．
【必考点13 利用平方根与立方根性质求值】
17．解答题．
（1）一个正数a的平方根是2x﹣4与3﹣x，则a是多少？
（2）已知a、b满足0，求a+2b2的平方根．
18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求2a+b﹣c2的平方根．
19．（1）一个正数的两个不同的平方根是2a﹣4与﹣3﹣a，b的立方根是﹣2，求﹣2b﹣a的平方根．
（2）已知a、b满足，求a+2b2的立方根．
20．已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b+10的立方根是3．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的算术平方根．
21．已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求3a﹣b+c的平方根．
22．已知a，b，c满足以下条件：
①一个正数a的两个平方根分别是2b+4和﹣b﹣8；
②．
（1）求a，b，c；
（2）求：a2+b2+c2的算术平方根的小数部分．
【类型3 作图题篇·9题】
【必考点14 格点平移作图】
1．画图并填空：如图，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上，每个格子的边长为1个单位长度，将三角形ABC向上平移3个单位长度，得到三角形A′B′C′．
（1）在图中作出三角形ABC边AB上的高CD；
（2）在图中画出平移后的三角形A′B′C′；
（3）三角形ABC的面积为 ；
（4）若连接AA′，CC′，则这两条线段的关系是 ．
2．如图，每个小正方形的边长为1，利用网格点画图和无刻度的直尺画图（保留画图痕迹）：
（1）在方格纸内将三角形ABC经过一次平移后得到三角形A'B'C'，图中标出了点B的对应点B'，画出三角形A'B'C'；
（2）过点A画线段AD使AD∥BC且AD＝BC；
（3）图中AD与C′B'的关系是 ；
（4）点E在线段AD上，CE＝4，点H是直线CE上一动点，线段BH的最小值为 ．
3．如图，将四边形ABCD进行平移后，使点A的对应点为点A′，
（1）请你画出平移后所得的四边形A′B′C′D′；
（2）若每个小正方形的面积为1，线段AB在平移中扫过的面积是 ；
（3）直线CD上有一点P，三角形BCP与四边形ABCD面积恰好相等．在图中标出点P的位置．
4．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形ABC的三个顶点的位置如图所示．现将三角形ABC平移，使点A移动到点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的三角形DEF；
（2）直接写出三角形ABC的面积为 ；
（3）连接AD、BE，直接写出AD与BE的位置关系： ；
（4）线段AB扫过的图形的面积为 ．
5．如图，在一个6×6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1个单位长，我们把顶点都在格点上的三角形称为格点三角形，图中△ABC就是一个格点三角形．
（1）△ABC的面积为 平方单位；
（2）请用无刻度直尺按要求在网格中画图（保留画图痕迹）．
①如图1，在格点上找一点D，连AD，使AD∥BC；
②如图2，在AB边上找一点E，连CE，使△ACE和△BCE的面积相等；
③如图3，画格点△PBC，使△PBC和△ABC的面积相等（画出一个即可）．
6．如图，下列网格是边长为1个单位长度的小正方形组成，按照要求完成作图，结果用实线表示．
（1）如图1，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC平移得到△DEF，B点的对应点是点E，画出△DEF，并直接写出△ABC的面积；
（2）如图2，直线L1经过格点A、B，过点A作直线L2⊥L1，作直线L3∥L2，画出直线L2，L3，若继续作L4，L5，L6，L7…，按此规律，则L9与L12，L100与L2023的位置关系分别是L9 L12，L100 L2023．
【必考点15 利用算术平方根解图形裁剪问题】
7．如图，小丽想用一块面积为900cm2的正方形纸片．沿着边的方向裁出一块面积为800cm2的纸片，使它的长宽之比为5：4，她不知能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
8．如图，用两个面积为200cm2的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形的边长是 ；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2？
9．数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形．下面是他们探究的部分结果：
（1）如图1，当n＝2时，拼成的大正方形ABCD的边长为 ；
如图2，当n＝5时，拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为 ；
如图3，当n＝10时，拼成的大正方形A2B2C2D2的边长为 ；
（2）小李想沿着正方形纸片A1B1C1D1边的方向能否裁出一块面积为2.42（dm2）的长方形纸片，使它的长宽之比为2：1？他能裁出吗？请说明理由．
（3）小周想沿着正方形纸片A2B2C2D2边的方向能否裁出一块面积为4.86（dm2）的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【类型4 中档题篇·30题】
【必考点16 探究两个角的两边的关系】
1．若∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，则∠α的度数为（ ）
A．70° B．30° C．70°或86° D．30°或38°
2．如果角α和角β的两边分别平行，且满足2α＝β+40°，则角α的度数是 ．
3．∠A的两边与∠B的两边分别平行，且3∠A﹣∠B＝60°，则∠B的度数为 ．
4．已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍多30°，则∠COD的度数为 ．
【必考点17 平行线中折叠问题】
5．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝ ．
6．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D，C分别落在D'，C'的位置，与BC的交点为G．若∠EFG＝x°，则∠3﹣∠2为 ．（用含x的式子表示）
7．如图①是长方形纸带，∠DEF＝α，将纸带沿EF折叠成图②，再沿BF折叠成图③，则图③中的∠CFE的度数是 ．
8．如图，在四边形ABCD纸片中，AD∥BC，AB∥CD．将纸片折叠，点A、B分别落在G、H处，EF为折痕，FH交CD于点K．若∠CKF＝40°，则 °．
【必考点18 平行线中拐点问题】
9．如图，AB∥ED，∠ABF∠ABC，∠EDF∠CDE，若∠BCD＝90°，则∠F的度数为（ ）
A．90° B．60° C．70° D．80°
10．如图，AB∥CD，连接BD，E是线段BD上一动点，AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，若∠AEC＝α，则∠AFC的度数用含α的式子表示为（ ）
A． B． C．120°﹣2α D．180°﹣3α
11．已知直线AB∥DE，∠CBM＝m∠ABM，∠CDN＝m∠NDE，射线BM，DN的反向延长线交于点F，若4∠F+∠C＝540°，则m的值为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
12．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝42°，则∠E的度数为（ ）度
A．46 B．72 C．88 D．96
13．已知AB∥CD．
（1）如图1所示，判断∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由；
（2）如图2所示，判断∠APC，∠A，∠C之间的数量关系并说明理由；
（3）如图3，设∠ABM＝α，∠DNM＝β，∠CDN＝γ．请直接写出∠BMN的大小（用含α，β，γ的式子表示）．
【必考点19 相交线中求角度问题】
14．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，若∠AOE+∠BOF＝66°，则∠BOC＝ °．
15．如图，直线AB、CD相交于点O，过点O作OE⊥AB，射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°．
求：（1）∠BOD的度数；
（2）∠COE的度数．
16．如图，直线AB、CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝44°．
（1）求∠COE的度数；
（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．
17．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF平分∠AOD．
（1）若∠BOD＝40°，求∠COF的度数；
（2）若∠AOC：∠COE＝2：3，求∠DOF的度数．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD．
（1）若∠EOF＝55°，OD⊥OF，求∠AOC的度数；
（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝15°，求∠DOE的度数．
【必考点20 完善平行线证明中推理根据】
19．如图，已知∠3＝∠C，∠ADF+∠EFD＝180°，证明∠1＝∠2的过程如下，请填上推理的根据．
证明：∵∠3＝∠C（已知），
∴AC∥DG（ ），
∴∠2＝∠4（ ），
∵∠ADF+∠EFD＝180°（已知），
∴AD∥EF（ ），
∴∠1＝∠4（ ），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
20．如图，已知CD⊥AB，EF⊥AB，垂足分别为D，F，∠B+∠BDG＝180°，试说明∠BEF＝∠CDG．将下面的解答过程补充完整．
证明：CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴EF∥CD （ ）
∴∠BEF＝ （ ）
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥DG （ ）
∴∠CDG＝ （ ）
∴∠CDG＝∠BEF （ ）
21．请把下面证明过程补充完整．
如图，已知AD⊥BC于点D，点E在BA的延长线上，EG⊥BC于点C，交AC于点F，∠E＝∠1．
求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（ ）．
∴AD∥EG（ ）．
∴∠1＝ （ ），
∠E＝ （ ）．
∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（ ）．
∴AD平分∠BAC（ ）．
22．如图，点G，D，F共线，且∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3，求证：∠AED＝∠4．
证明：∵∠1+∠BDF＝180°，∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠BDF（ ），
∴EF∥AB（ ）．
∴∠3＝∠ADE（ ）．
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（ ）．
∴DE∥BC（ ）．
∴∠AED＝∠ACB（ ）．
∵∠ACB＝∠4（ ）．
∴∠AED＝∠4（ ）．
【必考点21 平行线的性质与判定证明】
23．已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
24．如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2，试说明：DM∥BC．
25．如图，已知∠1，∠2互为补角，且∠3＝∠B，
（1）求证：∠AFE＝∠ACB；
（2）若CE平分∠ACB，且∠1＝80°，∠3＝45°，求∠AFE的度数．
26．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．
（1）AD与EC平行吗？请说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FA于点A，∠1＝75°，求∠FAB的度数．
27．如图，已知D是AE上一点，C是BF上一点，∠ABC＝∠ADC，∠F＝∠EDF．
（1）如图（1），求证：AB∥CD；
（2）如图（2），连接BD，BD⊥DF，∠EDF＝n∠CDF．
①当n＝1时，求证：BD平分∠ABC；
②若∠ADB+∠BCD＝150°．直接用含n的式子表示∠A的大小．
【必考点22 无理数的整数和小数部分判断】
28．阅读下面的文字，解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于12，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，差就是小数部分1．根据以上的内容，解答下面的问题：
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若设2整数部分是x，小数部分是y，求x﹣y的值．
29．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为．
（1）的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）若m，n分别是的整数部分和小数部分，求3m2﹣n的值．
30．阅读理解：“∵1＜2＜4，∴，∴的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．即：的小数部分为，类似的：∵，∴的小数部分就是．
解决问题：
（1）初步运用：的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）综合拓展：如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．
【类型5 压轴题篇·16题】
【必考点23 平行线中多结论问题】
1．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，∠DCE的平分线交BE于点F，下列结论：①∠1＝∠2；②∠F＝∠1+∠3；③CE⊥BF；④若CE⊥BF，则∠4＝2∠3．其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．如图，AB∥CD，PG平分∠EPF，∠A+∠AHP＝180°，下列结论：
①CD∥PH；②∠BEP+∠DFP＝2∠EPG；③∠FPH＝∠GPH；④∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°；⑤若∠BEP＞∠DFP，则2，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，AB∥CD，E是线段AB上一点，F是线段DE的延长线上一点，∠ABF的平分线BG交EF于点G，交线段DA的延长线于点I，过点D作DH⊥BG于点H．且∠ADC＝2∠ADE．下列结论：
①2∠BED＝3∠BAD；
②∠CDH﹣∠ABG＝90°；
③∠F+∠ADF＝2∠I；
④若∠FDH＝55°，则∠F+∠ADF＝35°．
正确结论的序号是 ．
4．如图，AB∥CD，点E，F在直线AB上（F在E的左侧），点G在直线CD上，EH⊥HG，垂足为H，P为线段EH上的一动点，连接GP，GF，∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：
①∠BEH+∠DGH＝90°；
②∠CGH+2∠FQG＝270°；
③若∠PGH＝3∠DGH，则3∠BEH+∠EPG＝360°；
④若∠PGH＝n∠DGH，则，其中n为正整数．
上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
5．如图，直线AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，点P在AB，CD之间，∠AEP和∠CFP的角平分线相交于点M，∠DFP的角平分线交EM的反向延长线于点N，下列四个结论：
①∠EPF＝∠AEP+∠CFP；
②∠EPF＝2∠M；
③若EP∥FN，则∠AEM＝∠CFM；
④∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM．
其中正确的结论是 （填写序号）．
【必考点24 平行线判定与性质综合问题】
6．已知AB∥CD，点P为直线AB上方一点．
（1）如图1，求证：∠A＝∠P+∠C；
（2）如图2，CE平分∠PCD，过点P作CE的平行线交∠PAB的角平分线于点Q，探索∠Q与∠APC之间的关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，若CE经过点A，∠APC+∠PCE＝110°，点M是直线PC上一点，请直接写出∠BAM和∠AMC、∠APC三个角之间的数量关系．
7．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD与GE之间的一点，HD∥GE．
（1）求证：∠HAB+∠BCG＝∠ABC；
（2）如图2，作∠BCF＝∠BCG，CF与∠BAH的角平分线交于点F．若∠B+∠F＝138°，求α+β的度数；
（3）如图3，CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，BM∥CR，已知∠NBM＝24°，直接写出∠BAH的度数．
8．已知△ABC，点M在CB的延长线上．
（1）【问题情景】如图1，求证：∠BAC＝∠ABM﹣∠ACB．
证明：过A点作AH∥BC，请按照上述思路继续完成证明过程；
（2）【尝试运用】如图2，延长AB至D，过点D作DN∥BC，再作∠ACB的平分线，交∠NDA的邻补角的平分线于点E，请探究∠A与∠CED的数关系并证明你的结论；
（3）【拓广探索】如图3，P是平面内一点，且不在直线MB、ND、AB上，∠MBP＝m，∠NDP＝n，∠BPD的度数为多少？请直接写出答案 （用含m、n的式子表示）．
9．如图，AB∥CD，点E是AB上一点，连结CE．
（1）如图1，若CE平分∠ACD，过点E作EM⊥CE交CD于点M，若∠A＝50°，求∠CME的度数；
（2）如图2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度数；
（3）如图3，过点E作EM⊥CE交∠DCE的平分线于点M，MN⊥CM交AB于点N，CH⊥AB，垂足为H．若，求∠MNB与∠A之间的数量关系．
10．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当ON∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②当PM∥EF时，求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【必考点25 平行线中动态旋转问题】
11．如图，已知直线AB∥CD．
（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB，CD之间，若∠1＝28°，∠3＝73°，则∠2＝ ；
（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，且∠AEM：∠MEN＝1：2，当时，求∠CFG的度数；
（3）在（2）的条件下，若AE绕E点以每秒转动4°的速度逆时针旋转一周，同时GF绕F点以每秒转动1°的速度逆时针旋转，当AE转动结束时GF也随即停止转动，在整个转动过程中，当t＝ 秒时，AE∥GF．
12．如图，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，PE交AB于点E，∠AEP＝30°．
（1）求∠FPE的度数；
（2）如图2，射线PN从PF出发，以每秒30°的速度绕P点按逆时针方向旋转，当PN垂直AB时，立刻按原速返回至PF后停止运动；射线EM从EA出发，以每秒10°的速度绕E点按逆时针方向旋转至EB后停止运动．若射线PN，射线EM同时开始运动，设运动时间为t秒．
①当∠MEP＝20°时，求∠EPN的度数；
②当EM∥PN时，求t的值．
13．宁波正着力打造“三江六岸”景观带，计划在甬江两岸设置两座可以旋转的射灯．如图1，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是2度/秒，灯B转动的速度是1度/秒，假定甬江两岸是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．
（1）填空：∠BAN＝ °；
（2）若灯B射线先转动30s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，灯A转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前，假设射出的光束交于点C，过点C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，请探究：在转动过程中，∠BAC与∠BCD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
14．如图，直线PQ∥MN，一副三角尺（∠ABC＝∠CDE＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC＝60°，∠DCE＝∠DEC＝45°）按如图①放置，其中点E在直线PQ上，点B，C均在直线MN上，且CE平分∠ACN．
（1）求∠DEQ的度数．
（2）如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（0≤t≤45）．
①在旋转过程中，若边BG∥CD，求t的值．
②若在三角形ABC绕点B旋转的同时，三角形CDE绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边BG∥HK时t的值．
15．如图①，点A、点B分别在直线EF和直线MN上，EF∥MN，∠ABN＝45°，射线AC从射线AF的位置开始，绕点A以每秒2°的速度顺时针旋转，同时射线BD从射线BM的位置开始，绕点B以每秒6°的速度顺时针旋转，射线BD旋转到BN的位置时，两者停止运动．设旋转时间为t秒．
（1）∠BAF＝ °；
（2）在转动过程中，是否存在某个时刻，使得射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在转动过程中，若射线AC与射线BD交于点H，过点H作HK⊥BD交直线AF于点K，的值是否会发生改变？如果不变，请求出这个定值；如果改变，请说明理由．
16．如图1，直线AB∥CD，P是截线MN上的一点．
（1）若∠MNB＝45°，∠MDP＝20°，求∠MPD；
（2）如图1，当点P在线段MN上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问是否为定值，若是定值，请求出；若不是定值，请说明理由；
（3）如图2，若T是直线MN上且位于M点的上方的一点，如图所示，当点P在射线MT上运动时，∠CDP与∠ABP的平分线交于Q，问的值是否和（2）问中的情况一样呢？请你写出探究过程，说明理由．
参考答案
【类型1 基础题篇·30题】
【必考点1 对顶角与邻补角】
1．
【分析】根据对顶角的定义以及对顶角相等的性质进行判断即可．
【解答】解：A．对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，因此选项A不符合题意；
B．一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角，而有公共点并且相等的角不一定是对顶角，因此选项B不符合题意；
C．如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，因此选项C符合题意；
D．两条直线相交所成的角中有的是邻补角，有的是对顶角，因此选项D不符合题意．
故选：C．
2．
【分析】根据对顶角的定义求解即可．
【解答】解：由对顶角的定义可知，只有∠BOC和∠AOD是对顶角，
故选：D．
3．
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断．
【解答】解：∵只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，
∴只有选项B中的∠1与∠2互为邻补角．
故选：B．
【必考点2 点到直线的距离】
4．
【分析】利用点到直线的距离定义可得答案．
【解答】解：AC长表示A到BC的距离，
BC长表示B到AC的距离，
CD长表示C到AB的距离，
AD长表示A到CD的距离，
BD长表示B到DC的距离，
则能表示点到直线（线段）的距离的线段有5条，
故选：C．
5．
【分析】根据“垂线段最短”可得点P到直线l的距离不超过线段PC的长即可得出答案．
【解答】解：根据“垂线段最短”得：点P到直线l的距离≤PC，
故选：D．
6．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD），开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做的依据是：垂线段最短，
故选：C．
【必考点3 平行线的判定与性质】
7．
【分析】根据平行线的判定与性质逐项进行分析判断即可．
【解答】解：A、因为∠2＝∠4，所以AB∥CD，原说法错误，不符合题意；
B、因为AD∥BC，所以∠B+∠BAD＝180°，原说法错误，不符合题意；
C、因为AD∥BC，所以∠1＝∠3，正确，符合题意；
D、因为∠D+∠BCD＝180°，所以AD∥BC，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
8．
【分析】根据平行线的判定逐个判断即可．
【解答】解：A、根据∠2＝∠4不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
B、根据∠3＝∠4能推出AB∥CD，故本选项符合题意；
C、根据∠5＝∠6不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
D、根据∠2+∠3+∠6＝180°不能推出AB∥CD，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．
【分析】根据平行线的判定和性质判断出正确语句即可．
【解答】解：∵∠A＝∠DCE，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝180°，故②③正确；
无法判定BD∥AC，故无法判定∠ACB＝∠CBD，故①④错误．
故正确的有②③．
故选：B．
【必考点4 三角板问题】
10．
【分析】利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出∠DBC的度数．
【解答】解：∵∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD＝∠EDF＝45°，
∵∠ABC＝30°，
∴∠DBC＝∠ABD﹣∠ABC＝15°；
故选：B．
11．
【分析】由∠AEG＝45°，得∠AEG＝∠EGH，故AB∥GH，那么GH∥CD，进而可推断出∠GHF＝∠HFD＝30°．
【解答】解：由题意知：∠EGH＝45°，∠GHF＝30°．
∵∠AEG＝45°，
∴∠AEG＝∠EGH．
∴AB∥GH．
又∵AB∥CD，
∴GH∥CD．
∴∠GHF＝∠HFD＝30°．
故选：B．
12．
【分析】过点C作CM∥l1，则l1∥l2∥CM，根据平行线的性质可得∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，再根据三角板的特点求解即可．
【解答】解：如图，过点C作CM∥l1，
∵l1∥l2，
∴l1∥l2∥CM，
∴∠1+∠ECM＝180°，∠2＝∠ACM，
∵∠2＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ACM＝135°，
∴∠ECM＝135°﹣30°＝105°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°，
故选：C．
【必考点5 命题与定理】
13．
【分析】正确的命题是真命题，根据定义判断即可．
【解答】解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c，该命题是真命题；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c，该命题是真命题；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c，该命题不是真命题；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c，该命题是真命题．
真命题有3个，
故选：C．
14．
【分析】根据平行公理、平行线的判定定理、对顶角的概念判断即可．
【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本小题说法是假命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故本小题说法是假命题；
③相等的角不一定是对顶角，故本小题说法是假命题；
④平行于同一条直线的两条直线互相平行，本小题说法是真命题；
故选：A．
15．
【分析】根据绝对值的性质判断即可．
【解答】解：若|a|＞|b|，当a＞b＞0时，则a＞b；当a＜b＜0时，则a＜b，当b＝0时，a＞b或a＜b．
故选：D．
【必考点6 平移的性质运用】
16．
【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2cm，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，根据S阴影＝S直角梯形BEFH，即可得出答案．
【解答】解：由平移的性质可知BC＝EF＝5cm，BE＝AD＝2cm，∠DEC＝∠B＝90°，S阴影＝S直角梯形BEFH，
∴BH＝BC﹣CH＝3cm，
∴S阴影＝S直角梯形BEFH
＝（3+5）×2
＝8（cm2）．
故选：B．
17．
【分析】根据平移的性质得到AA′＝CC＝5cm，A′C＝AC，再由三角形周长公式得到AB+BC+AC＝12cm，则四边形AA′C′B的周长是AB+BC+CC′+A′C+AA′＝AB+BC+AC+CC′+AA′＝22cm．
【解答】解：由平移的性质可得AA′＝CC＝5cm，A′C＝AC，
∵△ABC的周长为12cm，
∴AB+BC+AC＝12cm，
∴四边形AA′C′B的周长是：
AB+BC+CC′+A′C+AA′＝AB+BC+AC+CC′+AA′＝12+5+5＝22cm，
故选：C．
18．
【分析】根据平移的性质，证明四边形ABEG是梯形，且梯形ABEG的面积等于四边形DGCF的面积；由三等分点的定义求出GE，根据梯形面积公式求出BE即可．
【解答】解：∵直角三角形ABC从点B出发沿着BC方向匀速平移得到三角形DEF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴SRt△ABC＝SRt△DEF，AB＝DE，AB∥DE，
∴四边形ABEG是梯形，
∵S梯形ABEG+SRt△GEC＝SRt△GEC+S四边形DGCF，
∴S梯形ABEG＝S四边形DGCF＝25cm2．
∵点G是线段DE三等分点，
∴GEDE＝4cm或GEDE＝2cm．
S梯形ABEG（GE+AB） BE，
当GE＝4cm时，得（4+6）BE＝25，解得BE＝5；
当GE＝2cm时，得（2+6）BE＝25，解得BE，
∴平移的距离是5cm或cm．
故选：B．
【必考点7 平方根与立方根】
19．
【分析】根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐个判断即可．
【解答】解：①27的立方根是3，①不正确；
②，②不正确；
③立方根等于平方根的数是0，③不正确；
④4的算术平方根是2，④正确．
综上，只有④正确．
故选：D．
20．
【分析】根据平方根的意义，可判断A、B，根据算术平方根的意义．可判断C，根据立方根的意义，可判断D．
【解答】解：A、，故A选项正确；
B、9，故B选项正确；
C、0.2，故C选项错误；
D、3，故D选项正确；
故选：C．
21．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义解答即可．
【解答】解：A、4是16的算术平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
B、2是4的一个平方根，原说法正确，故此选项不符合题意；
C、0的平方根与算术平方根都是0，原说法正确，故此选项不符合题意；
D、（﹣3）2的平方根是±3，原说法错误，故此选项符合题意；
故选：D．
【必考点8 无理数的定义】
22．
【分析】根据无理数的定义判断即可．
【解答】解：∵（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），是无理数，共有3个，
故选：A．
23．
【分析】根据无理数的定义：不能表示成两个整数之商的数即不循环的无限小数即可求解．
【解答】解：，
在﹣3，，，π，1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1），中，无理数有，π，1.9191191119…（每两个9之间依次多一个1），，共4个，
故选：B．
24．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【解答】解：在实数﹣8，，0，2，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），中，无理数有，0.010010001…（相邻两个1之间依次增加一个0），共2个．
故选：C．
【必考点9 无理数的估算】
25．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵，即45，
∴a＝4，b＝5，
∴ab＝20．
故选：C．
26．
【分析】运用算术平方根的知识进行估算、求解．
【解答】解：∵4.52＝20.25，52＝25，
且20.25＜23＜25，
∴4.55，
故选：C．
27．
【分析】根据立方根和算术平方根的概念进行估算，从而代入求值．
【解答】解：∵正整数a、b分别满足、，且、，
∴a＝4、b＝3，
∴ba＝34＝81，
故选：D．
【必考点10 实数与数轴】
28．
【分析】根据图示，可得：b＜c＜0＜a，据此化简即可．
【解答】解：根据图示，可得：b＜c＜0＜a，
∴
＝﹣c﹣a+（a+b）
＝﹣c﹣a+a+b
＝b﹣c．
故选：A．
29．
【分析】根据正方形的面积求出正方形的边长，即可得出CP的长，从而求得点P在数轴上所对应的数．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为2，
∴正方形ABCD的边长为，
即CD＝CP，
∵点C表示的数为﹣1，点P在点C的左边，
∴点P表示的数为，
故选：D．
30．
【分析】根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得2a+3+a﹣9＝0，x＝（2a+3）2，得出a＝3，x＝16表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
【解答】解：∵一个正数x的两个不同的平方根分别是2a+3和a﹣9，
∴2a+3+a﹣9＝0，x＝（2a+3）2，
解得a＝2，x＝49，
∴，
∵33＝27，43＝64，
∴，即，
故选：B．
【类型2 计算题篇·22题】
【必考点11 实数的混合运算】
1．解：（1）原式
；
（2）原式＝13﹣10﹣3
＝0．
2．解：
．
3．解：（1）
＝1；
（2）
．
4．解：（1）
＝3﹣6+3
＝0；
（2）
|﹣2|
＝1．
5．解：（1）
＝﹣12+3+2×3
＝﹣12+3+6
＝﹣3；
（2）
＝5﹣2+1+π﹣3.14
＝0.86+π．
6．解：
2
＝510
＝5﹣10﹣（）
＝5﹣10﹣1
＝﹣6．
7．解：（1）
；
（2）
．
8．解：（1）原式
；
（2）原式
【必考点12 利用开平方或开立方解方程】
9．解：（1）移项得，9x2＝25，
两边都除以9得，x2，
由平方根的定义得，x＝±；
（2）（x﹣1）2＝36，
由平方根的定义得，x﹣1＝±6，
即x＝7或x＝﹣5．
10．解：（1）3x3﹣1＝17，
3x3＝18，
x3＝6，
∴x；
（2）（x﹣1）2﹣2＝7，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
∴x＝4或﹣2．
11．解：（1）移项，得
x2＝81，
根据平方根的定义可得，
x＝±9；
（2）由立方根的定义可得，
x﹣2＝﹣3，
解得x＝﹣1．
12．解：（1），
，
x＝±±，
故或；
（2），
（x﹣1）3＝﹣8，
x﹣12，
故x＝﹣1．
13．解：（1）2x2＝18，
x2＝9，
x＝±3，
（2）3（x+1）3+81＝0，
3（x+1）3＝﹣81，
（x+1）3＝﹣27，
x+1＝﹣3，
x＝﹣4．
14．解：（1）4x2﹣9＝0，
移项得：4x2＝9，
系数化为1得：，
∴；
（2）64（x﹣2）3﹣1＝0，
移项得：64（x﹣2）3＝1，
系数化为1得：，
∴，
∴．
15．解：（1）9x2＝4
∴
解得：，
（2）2（x+3）3+54＝0
2（x+3）3＝﹣54
（x+3）3＝﹣27
∴x+3＝﹣3，解得：x＝﹣6
16．解：（1）16（x﹣4）2＝4
所以或．
（2）（x+1）3﹣3＝﹣67
（x+1）3＝﹣64
x+1＝﹣4
x＝﹣5．
【必考点13 利用平方根与立方根性质求值】
17．解：（1）由题意，得：2x﹣4+3﹣x＝0，
解得：x＝1，
∴a＝（3﹣x）2＝22＝4；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
18．解：∵2a﹣1的算术平方根是3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b﹣9的立方根是2，
∴3a+b﹣9＝8，
∴b＝2，
∵c是的整数部分，，
∴c＝3，
∴2a+b﹣c2＝2×5+2﹣32＝3，
∴2a+b﹣c2的平方根是．
19．解：（1）∵一个正数的两个不同的平方根是2a﹣4与﹣3﹣a，b的立方根是﹣2，
∴2a﹣4+（﹣3﹣a）＝0，b＝（﹣2）3，
解得a＝7，b＝﹣8，
∴﹣2b﹣a＝﹣2×（﹣8）﹣7＝9，
∴﹣2b﹣a的平方根为±3；
（2）∵，且，，
∴2a+24＝0，，
解得a＝﹣12，，
∴，
∴a+2b2的立方根为﹣2．
20．解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，
∴2a﹣1＝9，
∴a＝5，
∵3a+b+10的立方根是3，
∴3a+b+10＝27，
∴15+b+10＝27，
∴b＝2；
（2）把a＝5，b＝2代入a+b得：a+b＝5+2＝7，
a+b的算术平方根是．
21．解：（1）∵5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，
∴5a+2＝27，3a+b﹣1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3；
（2）将a＝5，b＝2，c＝3代入得：3a﹣b+c＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
22．解：（1）∵一个正数a的两个平方根分别是2b+4和﹣b﹣8，
∴2b+4﹣b﹣8＝0，
∴b＝4，
∴2b+4＝12，
∴a＝（2b+4）2＝144；
∵，
∴
∴b+6＝﹣c+11，即4+6＝﹣c+11，
∴c＝1；
（2）由（1）得a2+b2+c2＝1442+42+12＝20753，
∵1442＜20753＜1452＝21025，
∴，
∴a2+b2+c2的算术平方根的整数部分为144，
∴a2+b2+c2的算术平方根的小数部分为．
【类型3 作图题篇·9题】
【必考点14 格点平移作图】
1．解：（1）如图，线段CD即为所求；
（2）如图，△A′B′C′即为所求；
（3）S△ABCAB CD4×4＝8，
故答案为：8；
（4）AA′＝CC′，AA′∥CC′，
故答案为：AA′＝CC′，AA′∥CC′．
2．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）如图，线段AD即为所求；
（3）由平移变换的性质可知AD∥B′C′，AD＝B′C′．
故答案为：AD∥B′C′，AD＝B′C′．
（4）当BH⊥CE时，BH的值最小．
∵S△CBE＝S△ACB5×51×4﹣1×11×4 CE BH，
∴BH，
∴BH的最小值为．
故答案为：．
3．解：（1）如图1所示，四边形A′B′C′D′即为所求；
（2）如图2所示，线段AB在平移中扫过的面积即为四边形A′B′BA的面积，
∴线段AB在平移中扫过的面积，
故答案为：8；
（3），
∴，
如图所示，点P1，P2即为所求．
4．解：（1）如图，三角形DEF即为所求．
（2）三角形ABC的面积为12﹣2﹣3＝7．
故答案为：7．
（3）由平移得，AD与BE的位置关系是平行．
故答案为：平行．
（4）线段AB扫过的图形的面积为S四边形ABED＝8×648﹣6﹣4﹣6﹣4＝28．
故答案为：28．
5．解：（1）S△ABC＝4×54×31×45×1＝9.5．
故答案为：9.5；
（2）①如图，线段AD即为所求．
②如图，线段CE即为所求．
③如图，△PBC即为所求．
6．解：（1）如图所示，△DEF即为所求，
△ABC的面积＝3×61×6＝8；
（2）如图所示，直线L3∥L2即为所求，
∵L3∥L2，L2⊥L1，
∴L3⊥L1，
∵L3⊥L4，
∴L1∥L4，
∵L4∥L5，
∴L5∥L1，
∵L5⊥L6，
∴L6⊥L1，
∵L7∥L6，
∴L7⊥L1，
所以可得到规律：⊥，⊥，∥，∥，四个一循环，
∵（9﹣1）÷4＝2，
∴根据规律得到L1∥L9，
∵（12﹣1）÷4＝2…3，
∴根据规律得到L1∥L12，
∴L9⊥L12，
∵（100﹣1）÷4＝24…3，
∴L1∥L100，
∵（2023﹣1）÷4＝505…2，
∴L1⊥L2023，
∴L100⊥L2023，
故答案为：∥，⊥．
【必考点15 利用算术平方根解图形裁剪问题】
7．解：不同意，
设长方形纸片的长为5xcm，宽为4xcm．依题意，
5x 4x＝800，
x，
即长方形的长为5cm，
∵40＞36，
∴6，
∴530，
∵30，
∴正方形的边长只有30cm，
∴长方形纸片的长超过了正方形纸片的长，小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
8．解：（1）大正方形的边长是20（cm）；
故答案为：20cm；
（2）设长方形纸片的长为4xcm，宽为3xcm，
则4x 3x＝360，
解得：x，
4x＝420，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：3，且面积为360cm2．
9．解：（1）当n＝2时，则正方形的面积为2dm2，边长为；
当n＝5时，则正方形的面积为5dm2，边长为；
当n＝10时，则正方形的面积为10dm2，边长为．
（2）能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为2x dm，则宽为x dm，
∴2x x＝2.42，
解得：x＝1.1，
∴，
∴能裁出这样的长方形．
（3）不能裁出这样的长方形，理由如下：
设长方形的长为3x dm，则宽为2x dm，
∴3x 2x＝4.86，
解得：x＝0.9，
∴3x＝2.7，
又∵要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，
因此加边框后的长至少要2.7+2×0.3＝3.3（dm），
∵，
∴不能裁出这样的长方形．
【类型4 中档题篇·30题】
【必考点16 探究两个角的两边的关系】
1．
【分析】根据已知得出（2x+10）+（3x﹣20）＝180或2x+10＝3x﹣20，求出x，代入求出即可．
【解答】解：∵∠α与∠β的两边分别平行，且∠α＝（2x+10）°，∠β＝（3x﹣20）°，
∴（2x+10）°+（3x﹣20）°＝180°或2x°+10°＝3x°﹣20°，
x＝38°或x＝30°，
当x＝38°时，∠α＝86°，
当x＝30°时，∠α＝70°．
故选：C．
2．
【分析】根据题意分情况讨论，利用平行线的性质和邻补角的概念求解．
【解答】解：∵α与β的两边分别平行，
∴α+β＝180°或者α＝β，
∵2α＝β+40°，
∴β＝2α﹣40°，
当α+β＝180°时，
α+2α﹣40°＝180°，
∴，
当α＝β时，
α＝2α﹣40°，
∴α＝40°，
∴或40°．
故答案为：或40°．
3．
【分析】根据已知得出∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，和已知组成方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：∵∠A的两边与∠B的两边分别平行，
∴∠A＝∠B或∠A+∠B＝180°，
∵3∠A﹣∠B＝60°，
∴∠A＝30°，∠B＝30°或∠A＝60°，∠B＝120°
故答案为：30°或120°
4．已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍多30°，则∠COD的度数为 ．
【分析】有两种情况：①如图1，根据∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，列方程可得结论；②如图2，根据∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，列方程可得结论．
【解答】解：设∠AOB＝x°，则∠COD＝（2x+30）°，
分两种情况：①如图1，
∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠COD＝90°+90°﹣∠AOB，
即2x+30＝90+90﹣x，
解得x＝50，
∴∠COD＝2×50°+30°＝130°；
②如图2，
∵∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，
∴∠AOB+∠BOD＝∠COD+∠AOC，
∴x+90＝2x+30+90，
x＝﹣30，不合题意，
综上所述，∠COD的度数为130°，
故答案为：130°．
【必考点17 平行线中折叠问题】
5．
【分析】先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后计算∠AEG的大小．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠GFE＝56°，
由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°，
∴∠DEG＝112°，
∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°．
故答案为：68°
6．
【分析】由折叠的性质可得∠3＝2x°，根据平行线的性质可求得∠2，即可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFG＝x°
由题意可知∠1＝∠DEF＝x°，
∴∠2＝180°﹣2x°，
∵AD∥BC，
∴∠3＝180°﹣∠2
＝2x°，
∴∠3﹣∠2＝2x°﹣（180°﹣2x°）＝（4x﹣180）°，
故答案为：（4x﹣180）°．
7．
【分析】由AD∥BC，利用平行线的性质可得出∠BFE和∠CFE的度数，再结合∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE及∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE，即可找出∠CFE的度数．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠BFE＝∠DEF＝α，∠CFE＝180°﹣∠DEF＝180°﹣α，
∴∠CFG＝∠CFE﹣∠BFE＝180°﹣α﹣α＝180°﹣2α，
∴∠CFE＝∠CFG﹣∠BFE＝180°﹣2α﹣α＝180°﹣3α．
故答案为：180°﹣3α．
8．
【分析】首先判定四边形ABCD是平行四边形，得到∠A＝∠C，AD∥BC，再根据折叠变换的性质和平行线的性质将角度转化求解．
【解答】解：∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A+∠B＝180°，∠C+∠B＝180°，
∴∠A＝∠C，
根据翻转折叠的性质可知，∠AEF＝∠GEF，∠EFB＝∠EFK，
∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB，∠AEF＝∠EFC，
∴∠GEF＝∠AEF＝∠EFC，∠DEF＝∠EFB＝∠EFK，
∴∠GEF﹣∠DEF＝∠EFC﹣∠EFK，
∴∠GED＝∠CFK，
∵∠C+∠CFK+∠CKF＝180°，
∴∠C+∠CFK＝140°，
∴∠A+∠GED＝140°，
则，
故答案为：110．
【必考点18 平行线中拐点问题】
9．
【分析】过C作CK∥AB，延长BF交DE于L，得到CK∥ED，推出∠ABC+∠CDE+∠BCD＝360°，得到∠ABC+∠CDE＝270°，因此∠ABF+∠EDF（∠ABC+∠CDE）＝90°，由三角形外角的性质即可求解．
【解答】解：过C作CK∥AB，延长BF交DE于L，
∵AB∥DE，
∴CK∥ED，
∴∠ABC+∠BCK＝180°，∠DCK+∠CDE＝180°，
∴∠ABC+∠BCK+∠DCK+∠CDE＝360°，
∴∠ABC+∠CDE+∠BCD＝360°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠CDE＝270°，
∵∠ABF∠ABC，∠EDF∠CDE，
∴∠ABF+∠EDF（∠ABC+∠CDE）＝90°，
∵AB∥ED，
∴∠FLD＝∠ABF，
∴∠BFD＝∠FLD+∠EDF＝90°．
故选：A．
10．
【分析】过E作EG∥AB，进而利用两直线平行，内错角相等和角平分线的定义解答即可．
【解答】解：过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴EG∥CD∥AB，
∴∠BAE＝∠AEG，∠DCE＝∠CEG，
∴∠AEC＝∠BAE+∠DCE＝α，
同理可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF、CF分别平分∠BAE、∠DCE，
∴∠BAF，
∴∠AFC，
故选：A．
11．
【分析】设∠ABM＝α，∠NDE＝β，推出∠F＝180°﹣（α+β），∠C＝﹣∠F+m（α+β），据此列式计算即可求解．
【解答】解：延长ED，如图，
设∠ABM＝α，∠NDE＝β，则∠CBM＝mα，∠CDN＝mβ，
∵AB∥DE，
∴∠HGB＝α，
∴∠F＝180°﹣（α+β），∠FBC＝180°﹣mα，∠FDC＝180°﹣mβ，
∴∠C＝360°﹣∠F﹣（180°﹣mα）﹣（180°﹣mβ）
＝﹣∠F+m（α+β），
∵4∠F+∠C＝540°，即3∠F+m（α+β）＝540°，
∴3×[180°﹣（α+β）]+m（α+β）＝540°，
∴（m﹣3）（α+β）＝0，
∵α+β≠0，
∴m﹣3＝0，
解得m＝3，
故选：B．
12．
【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝42°，即可得到∠E的度数．
【解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，①
又∵∠E﹣∠BFC＝42°，
∴∠BFC＝∠E﹣42°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣42°）＝180°，
解得∠E＝88°，
故选：C．
13．解：（1）∠APC+∠A+∠C＝360°，理由如下：
如图，作PQ∥AB，
∴∠A+∠APQ＝180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CPQ+∠C＝180°，
∴∠A+∠APQ+∠CPQ+∠C＝360°，
即∠APC+∠A+∠C＝360°；
（2）∠APC＝∠A+∠C理由如下：
如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠A＝∠EPA，∠EPC＝∠C，
∴∠APC＝∠EPA+∠EPC，
∴∠APC＝∠A+∠C；
（3）如图，过点M作MG∥AB，过点N作NH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥MG∥NH∥CD，
∴∠ABM+∠1＝180°，∠2＝∠4，∠3＝∠D，
∵∠ABM＝α，∠DNM＝β，∠CDN＝γ，
∴∠1＝180°﹣α，∠3＝γ，∠2＝β﹣∠3＝β﹣γ，
∴∠BMN＝∠1+∠2＝180°﹣α+β﹣γ．
【必考点19 相交线中求角度问题】
14．
【分析】设∠AOE＝α，∠BOF＝β，根据∠AOE+∠BOF＝66°，得α+β＝66°，则β＝66°﹣α，再根据角平分线的定义得∠DOB＝2β，再由OE⊥CD得∠EOD＝90°，由平角的定义得∠AOE+∠EOD+∠DOB＝180°，即α+2β＝90°，将β＝66°﹣α代入可得α＝42°，进而可求出∠AOD＝132°，然后再根据对顶角相等可得∠BOC的度数．
【解答】解：设∠AOE＝α，∠BOF＝β，
∵∠AOE+∠BOF＝66°，
∴α+β＝66°，
∴β＝66°﹣α，
∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF＝∠BOF＝β，
∴∠DOB＝∠DOF+∠BOF＝2β，
∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠AOE+∠EOD+∠DOB＝180°，
∴α+90°+2β＝180°，
∴α+2β＝90°，
∴α+2（66°﹣α）＝90°，
解得：α＝42°，
即∠AOE＝42°，
∴∠AOD＝∠AOE+∠EOD＝42°+90°＝132°，
∴∠BOC＝∠AOD＝132°．
故答案为：132．
15．解：（1）∵射线OF平分∠AOC，∠AOF＝25°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝50°，
∴∠BOD＝∠AOC＝50°；
（2）∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∵∠AOC＝50°，
∴∠COE＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°．
16．解：（1）∵∠BOD＝44°，
∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝136°，
∵OE平分∠AOD，
∴；
∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣68°＝112°；
（2）如图所示，
①当射线OF在∠DOE内部时，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝90°﹣68°＝22°．
②当射线OF在∠BOC内部时，
∠EOF＝∠AOF+∠AOE＝90°+68°＝158°，
综上所述，∠EOF＝22°或158°．
17．解：（1）∵OF平分∠AOD，∠BOD＝40°，
∴∠AOF＝∠DOF＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
∵∠COA＝40°，
∴∠COF＝∠COA+∠AOF＝40°+70°＝110°；
（2）∵∠AOC：∠COE＝2：3，
设∠AOC＝x，则∠COEx，
∵∠AOC+∠COE+∠EOB＝180°，
∴xx+90°＝180°，
解得：x＝36°，
∵∠BOD＝∠AOC＝36°，∠AOF＝∠DOF，
∠AOF+∠FOD+∠BOD＝180°，
∴2∠DOF+36°＝180°，
解得：∠DOF＝72°．
18．解：（1）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠EOF＝55°，OD⊥OF，
∴∠DOE＝35°，
∴∠BOE＝35°，
∴∠AOC＝70°；
（2）∵OF平分∠COE，
∴∠COF＝∠EOF，
∵∠BOF＝15°，
∴设∠DOE＝∠BOE＝x，
则∠COF＝x+15°，
∴x+15°+x+15°+x＝180°，
解得：x＝50°，
故∠DOE的度数为：50°．
【必考点20 完善平行线证明中推理根据】
19．证明：∵∠3＝∠C（已知），
∴AC∥DG（同位角相等，两直线平行），
∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等），
∵∠ADF+∠EFD＝180°（已知），
∴AD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠1＝∠4（两直线平行，同位角相等），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
20．证明：CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴EF∥CD（垂直同一条直线的两条直线平行），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知），
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CDG＝∠BEF（等量代换），
故答案为：垂直同一条直线的两条直线平行；∠BCD；两直线平行，同位角相等；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；等量代换．
21．证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°（垂直的定义）．
∴AD∥EG（同位角相等，两直线平行）．
∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等），
∵∠E＝∠3（两直线平行，同位角相等）．
∵∠E＝∠1（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AD平分∠BAC（角平分线定义）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠2，两直线平行，内错角相等；∠3，两直线平行，同位角相等；等量代换；角平分线定义．
22．解：∵∠1+∠BDF＝180°，∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2＝∠BDF（同角的补角相等），
∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行）．
∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等）．
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠ADE（等量代换）．
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）．
∴∠AED＝∠ACB（两直线平行，同位角相等）．
∵∠ACB＝∠4（对顶角相等）．
∴∠AED＝∠4（等量代换）．
故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；对顶角相等；等量代换．
【必考点21 平行线的性质与判定证明】
23．证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
24．解：∵BD⊥AC，EF⊥AC，
∴BD∥EF，
∴∠2＝∠CBD，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠CBD，
∴GF∥BC，
∵∠AMD＝∠AGF，
∴MD∥GF，
∴DM∥BC．
25．（1）证明：∵∠1+∠FDE＝180°，∠1，∠2互为补角，
∴∠2＝∠FDE，
∴DF∥AB，
∴∠3＝∠AEF，
∵∠3＝∠B，
∴∠B＝∠AEF，
∴FE∥BC，
∴∠AFE＝∠ACB；
（2）解：∵∠1＝80°，∠3＝45°，
∴∠FED＝80°﹣45°＝35°，
∵EF∥BC，
∴∠BCE＝∠FED＝35°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCE＝70°，
∴∠AFE＝∠ACB＝70°．
26．解：（1）AD∥CE，理由如下：
∵∠1＝∠BDC，
∴AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠ADC+∠3＝180°，
∴AD∥CE；
（2）∵DA平分∠BDC，∠1＝∠BDC＝75°，
∴，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ADC＝37.5°，
∵DA⊥FA，
∴∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAF﹣∠2＝52.5°．
27．（1）证明：∵∠F＝∠EDF，
∴AE∥BF，
∴∠ADC＝∠DCF，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠ABC＝∠DCF，
∴AB∥CD；
（2）①证明：∵∠EDF＝∠CDF，∠F＝∠EDF，
∴∠CDF＝∠F，
∵BD⊥DF，
∴∠BDF＝90°，
∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠DBF+∠F＝90°，
∴∠BDC＝∠DBF，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∴∠ABD＝∠DBF，
∴BD平分∠ABC；
②解：∠A＝60°（1+n），
理由：∵AE∥BF，
∴∠ADC+∠BCD＝180°，
∴∠ADB+∠BDC+∠BCD＝180°，
∵∠ADB+∠BCD＝150°，
∴∠BDC＝30°，
∵∠BDF＝90°，
∴∠CDF＝∠BDF﹣∠BDC＝60°，
∵∠EDF＝n∠CDF，
∴∠CDE＝∠CDF+∠EDF＝60°+60°n＝60°（1+n），
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠CDE＝60°（1+n）．
【必考点22 无理数的整数和小数部分判断】
28．解：（1）∵，
∴整数部分为2，小数部分为，
故答案为：2，．
（2）∵，
∴，
由题意x＝3，y3．
∴x﹣y＝3﹣（）＝4．
29．解：（1）∵，即，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）∵，即，
∴，
，
，
∴的整数部分是3，小数部分是，
∴m＝3，，
∴3m2﹣n
＝3×32﹣（3）
．
30．解：（1）∵25＜33＜36，
∴56，
∴的整数部分是5，小数部分是，
故答案为：5，；
（2）∵121＜143＜169，
∴1113，
∴的整数部分是11，小数部分为，
即a，
∵36＜43＜49，
∴67，
∴的整数部分是6，
即b＝6，
∴2×61．
【类型5 压轴题篇·16题】
【必考点23 平行线中多结论问题】
1．
【分析】先证明∠2＝∠FBC，∠1＝∠FBC，可判断①，由∠ABC+∠BCD＝180°，∠FBC+∠F+∠FCB＝180°可判断②，由CE⊥BF可得，可判断③，再结合平行线的性质证明∠4＝∠ECB可判断④，从而可得答案．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠2＝∠FBC，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠1＝∠FBC，
∴∠1＝∠2，故①符合题意；
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠1+∠FBC+∠FCB+∠3＝180°，
∵∠FBC+∠F+∠FCB＝180°，
∴∠F＝∠1+∠3，故②符合题意；
∵∠ABC+∠BCD＝180°，
∴，
若CE⊥BF，
∴∠EBC+∠ECB＝90°，而，
∴，与题干条件不符，故③不符合题意；
由③可得：当CE⊥BF，
∴，
∵CF平分∠DCE，
∴，
∴∠ECB＝2∠3，
∵AD∥BC，
∴∠4＝∠ECB，
∴∠4＝2∠3，故④符合题意；
故选：C．
2．
【分析】由∠A+∠AHP＝180°，可得PH∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥CD∥PH，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【解答】解：∵∠A+∠AHP＝180°，
∴PH∥AB，
∵AB∥CD，
∴CD∥PH，
故①正确；
∴AB∥CD∥PH，
∴∠BEP＝∠EPH，∠DFP＝∠FPH，
∴∠BEP+∠DFP＝∠EPF，
又∵PG平分∠EPF，
∴∠EPF＝2∠EPG，故②正确；
∵∠GPH与∠FPH不一定相等，
∴∠FPH＝∠GPH不一定成立，故③错误；
∵∠AGP＝∠HPG+∠PHG，∠DFP＝∠FPH，∠FPH+∠GPH＝∠HPG，∠FPG＝∠EPG，
∴∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠DFP﹣∠FDG
＝∠A+∠HPG+∠PHG+∠FPH﹣∠FDG
＝∠A+∠FPG+∠PHG﹣∠EPG
＝∠A+∠PHG，
∵AB∥PH，
∴∠A+∠PHG＝180°，
即∠A+∠AGP+∠DFP﹣∠FPG＝180°，
故④正确；
∵∠BEP﹣∠DFP＝∠EPH﹣∠FPH＝（EPG+∠GPH）﹣∠FPH＝∠FPG+∠GPH﹣∠FPH＝∠GPH+∠GPH＝2∠GPH，
∴则2为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
3．
【分析】根据平行线的性质和”三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得：2∠BED＝3∠BAD，即①结论正确；延长AB、DH交于点M，由对顶角相等、平行线的性质，垂直的定义和三角形内角和定理可得：∠GDH﹣∠ABG＝90°，则②结论正确；根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”及角平分线的定义可得：∠F+∠ADF＝2∠I，即③结论正确；根据直角三角形两锐角互余、“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和“可得：∠F+∠FBG＝35°，而∠ADF 与∠FBG 不一定相等，故∠F+∠ADF＝35° 不一定成立，即④结论不正确，从而得出结论．
【解答】解∵AB∥CD，
∴∠BAD＝∠ADC，
∵∠ADC＝2∠ADE，
∴，
∵∠BED是△ADE的外角，
∴，
∴2∠BED＝3∠BAD，即①结论正确；
如图，延长AB、DH交于点M，
则∠ABG＝∠HBM，
∵AB∥CD，
∴∠CDH+∠M＝180°，
∴∠M＝180°﹣∠CDH，
∵DH⊥BG，
∴∠BHM＝∠GHD＝90°，
∴∠HBM+∠M＝90°，
∴∠ABG+180°﹣∠CDH＝90°，
∴∠CDH﹣∠ABG＝90° 即②结论正确；
∵∠BAD是△ABI的外角，
∴，
∴，
∵∠BED＝∠BAD+∠ADF＝3∠ADF，∠BED是△BEF 的外角，
∴3∠ADF＝∠F+∠ABF，
∴∠F＝3∠ADF﹣∠ABF，
∴∠F+∠ADF
＝4∠ADF﹣∠ABF
＝2∠I+2∠ABI﹣∠ABF，
∵BI平分∠ABF，
∴∠ABF＝2∠ABI，
∴∠F+∠ADF＝2∠I，即③结论正确；
若∠FDH＝55°，则∠DGH＝90°﹣∠FDH＝35°，
∵∠DGH是△BGF的外角，
∴∠F+∠FBG＝∠DGH＝35°，
而∠ADF与∠FBG 不一定相等，
∴∠F+∠ADF＝35° 不一定成立，即④结论不正确，
综上所述，正确结论的序号是①②③．
故答案为：①②③．
4．
【分析】过点H作HL∥AB，利用平行线的性质可得∠BEH+∠DGH＝∠EHL+∠GHL＝∠EHG＝90°，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理∠FQG＝180°﹣∠QFG﹣∠QGF，根据∠CGH＝180°﹣∠DGH，利用平行线的性质即可判断②；设∠DGH＝x°，则∠PGH＝3∠DGH＝3x°，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．
【解答】解：如图，过点H作HL∥AB，
∵AB∥CD，AB∥HL，
∴CD∥HL，
∴∠EHL＝∠HEB，∠GHL＝∠HGD，
∵EH⊥HG，
∴∠EHG＝90°，
∴∠BEH+∠DGH＝∠EHL+∠GHL＝∠EHG＝90°，故①正确；
∵∠FGH与∠BFG的角平分线交于点Q，
∴，
∴∠FQG＝180°﹣∠QFG﹣∠QGF，
根据①中的结论，可得∠FQG＝∠BFQ+∠QGD，
∴∠CGH+2∠FQG＝180°﹣∠HGD+2（180°﹣∠QFG﹣∠QGF）
＝180°﹣∠HGD+360°﹣2QFG﹣2QGF
＝540°﹣（∠HGD+∠BFG+∠FGD），
∵AB∥CD，
∴∠BFG＝∠FGC，
∴∠HGD+∠BFG+∠FGD＝∠HGD+∠FGC+∠FGD＝180°，
∴∠CGH+2∠FQG＝540°﹣180°＝360°，故②错误；
设∠DGH＝x°，则∠PGH＝3∠DGH＝3x°，
∴∠PGD＝4x°，
根据①中结论可得∠BEH＝90°﹣∠DGH＝90°﹣x°，∴∠EPG＝∠BEH+∠PGD＝90°﹣x°+4x°＝90°+3x°，
∴3∠BEH+∠EPG＝270°﹣3x°+90°+3x°＝360°，故③正确；
设∠DGH＝x°，则∠PGH＝n∠DGH＝nx°，
∴∠PGD＝（n+1）x°，
∴，
根据①中结论可得，故④正确．
故答案为：①③④．
5．
【分析】作PQ∥AB，证出PQ∥CD，由内错角相等可得①正确；同理可证∠M＝∠AEM+∠CFM，再根据角平分线的定义，可得②正确；若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，再由平行线的性质和角平分线的定义可得∠AEP＝∠PFH，因为∠CFP与∠PFH不一定相等，所以∠AEM与∠CFM不一定相等，判断③不正确；由FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，得到∠MFN＝90°，即∠N+∠M＝90°，即可判断④正确．
【解答】解：①：作PQ∥AB，
∴∠AEP＝∠EPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠CFP＝∠FPQ，
∵∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ，
∴∠EPF＝∠AEP+∠CFP，故①正确；
同理可得：∠M＝∠AEM+∠CFM，
∵EM平分∠AEP，FM平分∠CFP，
∴∠AEP＝2∠AEM，∠CFP＝2∠CFM，
∴∠AEP+∠CFP＝2（∠AEM+∠CFM），
即∠EPF＝2∠M，故②正确；
设AB交NF于点H，
若EP∥FN，则∠AEP＝∠AHF，
∵AB∥CD，
∴∠AHF＝∠HFD，
∵FN平分∠PFD，
∴∠HFD＝∠PFH，
∴∠AEP＝∠PFH，
若∠AEM＝∠CFM，则∠AEP＝∠CFP，
∵∠CFP与∠PFH不一定相等，
∴∠AEM与∠CFM不一定相等，故③不正确；
∵FN平分∠PFD，FM平分∠CFP，
∴∠MFN＝90°，
∴∠N+∠M＝90°，
∵∠M＝∠AEM+∠CFM，且∠AEM＝∠PEM，∠CFM＝∠PFM，
∴∠M＝∠PEM+∠PFM，
∴∠N+∠PEM+∠PFM＝90°，
∴∠MNF+∠PEM＝90°﹣∠PFM，故④正确．
故答案为：①②④．
【必考点24 平行线判定与性质综合问题】
6．（1）证明：如图，过点P作PF∥AB，
∵AB∥CD，
∴PF∥AB∥CD，
∴∠A＝180°﹣∠FPA，∠C＝180°﹣∠FPC＝180°﹣∠FPA﹣∠APC，
即∠C+∠APC＝180°﹣∠FPA，
∴∠A＝∠C+∠APC，
即∠A＝∠P+∠C；
（2）解：∠APC＝2∠AQP，理由如下：
如图，过点P作PF∥AB，过点Q作QH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PF∥CD，
∴∠GPF＝∠PCD，
∵CE∥PQ，
∴∠GPQ＝∠PCE，
∵CE平分∠PCD，
∴∠PCD＝2∠PCE，
∴∠GPF＝2∠GPQ，
∴PQ平分∠GPF，
∵AQ平分∠PAB，
∴∠PAB＝2∠4，∠GPF＝2∠2＝∠PCD，
∵AB∥CD，
∴QH∥PF∥AB∥CD，
∴∠1+∠4＝180°①，∠1+∠AQP+∠2＝180°②，∠3+2∠4＝180°③，∠APC+∠3+2∠2＝180°④，
由①②得∠4＝∠2+∠AQP，
代入③得∠3+2∠2+2∠AQP＝180°⑤，
由④⑤得∠APC＝2∠AQP；
（3）解：∵∠APC+∠PCE＝110°，CE平分∠PCD，
设∠PCE＝∠DCE＝α，∠APC+α＝110°，
即2α＝220°﹣2∠APC，
延长BA交CP于点G，则∠PGA＝∠PCD＝2α，
①当点M在CG的延长线上时，
由（1）得∠BAM＝∠AMC+∠MGA＝∠AMC+∠PCD＝∠AMC+2α，∠BAM＝∠AMC+220°﹣2∠APC，
即∠BAM﹣∠AMC+2∠APC＝220°；
②当点M在线段CG上时，
∠AMC＝∠MGA+∠GAM＝180°﹣∠PGA+180°﹣∠BAM＝360°﹣2α﹣∠BAM＝360°﹣（220°﹣2∠APC）﹣∠BAM，
∴∠BAM+∠AMC﹣2∠APC＝140°；
③当点M在线段GC的延长线上时，
∠PGA＝∠AMC+∠GAM＝∠AMC+180°﹣∠BAM，
∴2α＝∠AMC+180°﹣∠BAM，
即220°﹣2∠APC＝∠AMC+180°﹣∠BAM，
∴∠AMC﹣∠BAM+2∠APC＝40°．
综上，∠BAM﹣∠AMC+2∠APC＝220°或∠BAM+∠AMC﹣2∠APC＝140°或∠AMC﹣∠BAM+2∠APC＝40°．
7．解：（1）如图，作BM∥DH，
∵DH∥GE，
∴BM∥GE∥DH，
∴∠CBM＝∠BCG，∠HAB＝∠ABM，
∵∠ABM+∠CBM＝∠ABC，
∴∠HAB+∠BCG＝∠ABC；
（2）∵AF平分∠HAB，
∴∠HAF＝∠BAF＝β，∠HAB＝2∠BAF＝2β．
∵∠BCF＝∠BCG＝α，
∴∠FCG＝2∠BCF＝2α．
由（1）可得∠F＝∠HAF+∠FCG＝β+2α，∠B＝∠HAB+∠BCG＝2β+α，
∴∠B+∠F＝3α+3β，
∵∠B+∠F＝138°，
∵3α+3β＝138°，
∴α+β＝46°；
（3）∵CR平分∠BCG，BN平分∠ABC，
∴∠BCG＝2∠BCR，∠ABC＝2∠NBC，
∵BM∥CR，
∴∠BCR＝∠MBC，
∴∠BCG＝2∠MBC，
由（1）知，∠HAB+∠BCG＝∠ABC，
∴∠HAB＝∠ABC﹣∠BCG
＝2∠NBC﹣2∠MBC
＝2（∠NBC﹣∠MBC）
＝2∠NBM
＝48°．
8．（1）证明：如图所示，过A点作AH∥BC，
∴∠HAC＝∠C，∠HAB＝∠ABM，
∴∠BAC＝∠HAB﹣∠HAC，
∴∠BAC＝∠ABM﹣∠ACB．
（2）解：∠A+2∠CED＝180°，证明如下：
如图所示，过点A作AQ∥BC，过点E作EP∥DN，
∵BC∥DN，
∴AQ∥BC∥EP∥DN，
∵CF平分∠ACB，DE平分∠KDA，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
设∠1＝∠2＝x，∠3＝∠4＝y，则∠ACB＝2x，∠ADE＝2y，
∵AQ∥BC，
∴∠QAC＝∠ACB＝2x，
∵AQ∥NK，
∴∠QAD+∠ADK＝180°，
∴∠QAD＝180°﹣2y，
∴∠BAC＝∠QAD﹣∠QAC＝180°﹣2y﹣2x，
∵BC∥EP，
∴∠2＝∠5＝x，
∵PE∥DN，
∴∠6＝∠4＝y，
∴∠CED＝∠5+∠6＝x+y，
∴∠BAC＝180°﹣2（x+y）＝180°﹣2∠CED．
（3）∠BPD的度数为n﹣m或m﹣n或m+n或360°﹣m﹣n．
解：①如图1所示，过点P作PQ∥ND，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠QPD＝∠NDP＝n，
∵PQ∥MB，
∴∠QPB＝∠MBP＝m，
∴∠BPD＝∠QPD﹣∠OPB＝n﹣m．
②如图2所示，过点P作PQ∥MB，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠1＝∠NDP＝n，
∵PQ∥MB，
∴∠2＝∠MBP＝m，
∴∠BPD＝∠1+∠2＝n+m．
③如图3所示，过点P作PQ∥ND，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠DPQ＝∠NDP＝n，
∵PQ∥MB，
∴∠BPQ＝∠MBP＝m，
∴∠BPD＝∠BPQ﹣∠DPQ＝m﹣n．
④如图4所示，过点P作PQ∥MB，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠DPQ+∠NDP＝180°，即∠DPQ＝180°﹣n，
∵PQ∥MB，
∴∠BPQ+∠MBP＝180°，即∠BPQ＝180°﹣m，
∴∠BPD＝∠DPQ﹣∠BPQ＝180°﹣n﹣180°+m＝m﹣n．
⑤如图5所示，过点P作PQ∥ND，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠DPQ+∠NDP＝180°，即∠DPQ＝180°﹣n，
∵PQ∥MB，
∴∠BPQ+∠MBP＝180°，即∠BPQ＝180°﹣m，
∴∠BPD＝∠DPQ+∠BPQ＝180°﹣n+180°﹣m＝360°﹣m﹣n．
⑥如图6所示，过点P作PQ∥ND，
∵MB∥ND，
∴PQ∥MB∥ND，
∵PQ∥ND，
∴∠DPQ+∠NDP＝180°，即∠DPQ＝180°﹣n，
∵PQ∥MB，
∴∠BPQ+∠MBP＝180°，即∠BPQ＝180°﹣m，
∴∠BPD＝∠DPQ+∠BPQ＝180°﹣m﹣180°+n＝n﹣m．
综上所述，∠BPD的度数为n﹣m或m﹣n或m+n或360°﹣m﹣n，
故答案为：n﹣m或m﹣n或m+n或360°﹣m﹣n．
9．解：（1）∵EM⊥CE，
∴∠CEM＝90°，
∴∠ECD+∠CME＝90°，
∴2∠ECD+2∠CME＝180°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD＝2∠ECD，
∴∠ACD+2∠CME＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD+∠A＝180°，
∴∠A＝2∠CME，
∵∠A＝50°，
∴；
（2）如图，过点F作FM∥AB，
∵AB∥CD，
∴FM∥AB∥CD，
∴∠AFM＝∠BAF，∠CFM＝∠DCF，
∴∠AFM+∠CFM＝∠BAF+∠DCF，
即∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，
∴∠CAB＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠CAB+∠DCE＝2（∠BAF+∠DCF）＝2∠AFC，
∵∠AFC＝70°，
∴∠CAB+∠DCE＝140°，
∵AB∥CD，
∴∠CAB+∠ACE+∠DCE＝180°，
∴∠ACE＝180°﹣（∠CAB+∠DCE）＝180°﹣140°＝40°；
（3）∠MNB与∠A之间的数量关系是：∠MNB＝135°﹣∠A，理由：
如图，延长CM交AN的延长线于点F，
∵MN⊥CM，
∴∠NMF＝90°，
∴∠MNB＝90°﹣∠F，
同理：∠HCF＝90°﹣∠F，
∴∠MNB＝∠HCF，
∵，
∴设∠ACH＝x，则∠ECH＝2x，
∵CM平分∠DCE，
∴设∠ECM＝∠DCM＝y，
∴∠MNB＝∠HCF＝2x+y，
∵AB∥CD，CH⊥AB，
∴CH⊥CD，
∴∠HCD＝90°，
∴∠ECH+∠ECD＝90°，
∴2x+2y＝90°，
∴x+y＝45°，
∵CH⊥AB，
∴∠A＝90°﹣∠ACH＝90°﹣x，
∴∠A+∠MNB＝90°﹣x+2x+y＝90°+x+y＝135°，
∴∠MNB＝135°﹣∠A．
10．解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：＝；
（2）①∵ON∥EF，PM∥EF，
∴PO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴α＝∠NOM＝60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO∠ANM＝30°α，
∵AB∥CD，
∴∠MON＝∠ANO＝30°α；
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO[180°﹣（60°+α）]＝60°α，
∴∠MON＝60°α，
综上所述，∠MON的度数为30°α或60°α．
【必考点25 平行线中动态旋转问题】
11．解：（1）如图1所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，
∴∠1+∠2＝∠EGF，即28°+∠2＝73°，
∴∠2＝45°，
故答案为：45°；
（2）∵FN平分∠CFG，∠AEM：∠MEN＝1：2，
∴可设∠AEM＝α，∠NEM＝2α，∠CFN＝∠GFN＝β，
如图2所示，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴NQ∥AB∥CD∥PG，
∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AEN＝3α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°﹣2β，
∴∠FNE＝∠QNF﹣∠QNE＝β﹣3α，∠FGE＝∠PGE+∠PGF＝α+180°﹣2β，
∵，
∴，
∴β＝78°，
∴∠CFG＝2β＝156°；
（3）如图，根据题意，∠AET＝4t°，∠GFH＝t°，
∵AB∥CD，TE∥HF，
∴∠AET＝∠ETC＝∠HFD＝4t°，
∴4t＝t+180﹣156，
解得：t＝8，
如图，根据题意，∠AEA′＝（360﹣4t）°，∠GFW＝t°，
∵AB∥CD，KE∥WF，
∴∠AEA′＝∠FKE＝（360﹣4t）°，∠WFK+∠FKE＝180°，
∴360﹣4t+t+180﹣156＝180，
解得，t＝68，
综上，t＝8或t＝68，
故答案为：8或68．
12．解：（1）延长FP与AB相交于点G，如图1，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝∠PGE＝90°，
∵∠EPF＝∠PGE+∠AEP，
∴∠EPF＝∠PGE+∠AEP＝90°+30°＝120°；
（2）①Ⅰ如图2，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝10°，
∴射线ME的运动时间，
∴射线PN旋转的角度∠FPN＝1×30°＝30°，
又∵∠FPE＝120°，
∴∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN＝120°﹣30°＝90°；
Ⅱ如图3所示，
∵∠AEP＝30°，∠MEP＝20°，
∴∠AEM＝50°，
∴射线EM运动的时间，
∴射线PN旋转的角度：5×30°＝150°，
又∵∠EPF＝120°，
∴∠FPN＝150°﹣120°＝30°；
∴∠EPN的度数为90°或30°；
②Ⅰ当PN从PF出发，运动如图4时，EM∥PN，PN与AB相交于点H，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝10t°，∠FPN＝30t°，
∵EM∥PN，
∴∠AEM＝∠AHP＝10t°，
又∵∠FPN＝∠EGP+∠AHP，
∴30t°＝90°+10t°，
解得t＝4.5；
Ⅱ射线PN垂直AB后，再顺时针向PF运动时，运动如图5时，EM∥PN，
根据题意可知，∠AEM＝10t°，EM∥PN，∠GHP＝10t°，射线PN的转动度数为30t°，
则∠GPN＝30t°﹣180°，
又∵∠PGE＝90°，
∴∠GHP+∠GPN＝90°，
∴10t°+30t°﹣180°＝90°，
解得t＝6.75；
Ⅲ当PN从PF出发，运动如图6时，此时PN垂直AB后立刻按原速返回PF的过程中，EM∥PN，
根据题意可知，经过t秒，
∠AEM＝10t°，∠GPN＝30（t﹣6）°，
∵∠AEP＝30°，∠EPG＝60°，
∴∠PEM＝10t°﹣30°，∠EPN＝30（t﹣6）°﹣60°＝30t°﹣240°，
又∵EM∥PN，
∴∠PEM+∠EPN＝180°，
∴10t°﹣30°+30t°﹣240°＝180°，
解得t＝11.25，
综上所述：满足条件的t的值为4.5秒或6.75秒或11.25秒．
13．解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，
∴∠BAN＝180°60°，
故答案为：60；
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜90时，如图1，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，
∴∠CAM＝∠BDA，
∴∠CAM＝∠PBD
∴2t＝1 （30+t），
解得 t＝30；
②当90＜t＜150时，如图2，
∵PQ∥MN，
∴∠PBD+∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，
∴∠CAN＝∠BDA
∴∠PBD+∠CAN＝180°
∴1 （30+t）+（2t﹣180）＝180，
解得 t＝110，
综上所述，当t＝30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；
（3）∠BAC和∠BCD关系不会变化．
理由：设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣2t，
∴∠BAC＝60°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣120°，
又∵∠ABC＝120°﹣t，
∴∠BCA＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣t，而∠ACD＝120°，
∴∠BCD＝120°﹣∠BCA＝120°﹣（180°﹣t）＝t﹣60°，
∴∠BAC：∠BCD＝2：1，
即∠BAC＝2∠BCD，
∴∠BAC和∠BCD关系不会变化．
14．解：（1）如图①中，
∵∠ACB＝30°，
∴∠ACN＝180°﹣∠ACB＝150°，
∵CE平分∠ACN，
∴∠ECN∠ACN＝75°，
∵PQ∥MN，
∴∠QEC+∠ECN＝180°，
∴∠QEC＝180°﹣75°＝105°，
∴∠DEQ＝∠QEC﹣∠CED＝105°﹣45°＝60°；
（2）①如图②中，
∵BG∥CD，
∴∠GBC＝∠DCN，
∵∠DCN＝∠ECN﹣∠ECD＝75°﹣45°＝30°，
∴∠GBC＝30°，
∴4t＝30，
∴t＝7.5s，
∴在旋转过程中，若边BG∥CD，t的值为7.5s；
②如图③中，当BG∥HK时，延长KH交MN于R，
∵BG∥KR，
∴∠GBN＝∠KRN，
∵∠QEK＝60°+3t，∠K＝∠QEK+∠KRN，
∴∠KRN＝90°﹣（60°+3t）＝30°﹣3t，
∴4t＝30°﹣3t，
∴ts；
如图③﹣1中，当BG∥HK时，延长HK交MN于R，
∵BG∥KR，
∴∠GBN+∠HRB＝180°，
∵∠QEK＝60°+3t，∠EKR＝∠PEK+∠KRM，
∴∠KRM＝90°﹣（180°﹣60°﹣3t）＝3t﹣30°，
∴4t+3t﹣30°＝180°，
∴t＝30s．
综上所述，满足条件的t的值为s或30s．
15．解：（1）连接AB，如图①所示，
∵EF∥MN，∠ABN＝45°，
∴∠BAF＝180°﹣∠ABN＝135°（两直线平行，同旁内角互补），
故答案为：135；
（2）设当t时刻时，点C、D分别转到了C'、D'，如图②所示，
将BD'延长，交EF于点H；将AC'反向延长，交BD'延长线于点G，
∠AGH或其补角为射线AC与射线BD所在直线的夹角，
由题意可知：∠CAC'＝2t，∠DBD'＝6t，
∵BD转到BN时同时停止转动，
∴t的最大值为秒，
∴0≤t≤30，
∵EF∥MN，∠GAH＝∠CAC'＝2t（对顶角相等），
∴∠EHG＝∠DBD'＝6t（两直线平行，同位角相等），
∴∠AGH＝∠EHG﹣∠GAH＝6t﹣2t＝4t，其补角为180°﹣4t，
当4t＝80时，t＝20（秒）；
当180°﹣4t＝80时，t＝25（秒）．
答：存在这样的时刻，当t＝20秒或t＝25秒时，射线AC与射线BD所在直线的夹角为80°；
（3）不会发生改变；
理由：如图③，由题意可知：∠CAC''＝2t，∠DBD''＝6t，∠BHP＝90°，
∴∠HBP＝180°﹣6t，
∵EF∥MN，
∴∠PGH＝∠CAC''＝2t，
∴∠GHP＝180°﹣90°﹣2t﹣（180°﹣6t）＝4t﹣90°，
∴∠AHK＝∠GHP＝4t﹣90°，
∵∠ABH＝6t﹣135°，
∴．
16．解：（1）∵AB∥CD，∠MNB＝45°，
∴∠DMP＝180°﹣∠MNB＝135°，
∵∠MDP＝20°，
∴∠MPD＝180°﹣∠DMP﹣∠MDP＝25°，
∴∠MPD的度数为25°；
（2）是定值，
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠DPG+∠BPG，
∴∠DPB＝∠CDP+∠ABP，
同理可得：∠Q＝∠CDQ+∠ABQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
∴∠CDQ∠CDP，∠ABQ∠ABP，
∴∠Q＝∠CDQ+∠ABQ
∠CDP∠ABP
（∠CDP+∠ABP）
∠DPB，
∴；
（3）是定值，
理由：过点P作PG∥CD，
∴∠CDP＝∠DPG，
∵CD∥AB，
∴PG∥AB，
∴∠ABP＝∠BPG，
∵∠DPB＝∠BPG﹣∠DPG，
∴∠DPB＝∠ABP﹣∠CDP，
同理可得：∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ，
∵DQ平分∠CDP，BQ平分∠ABP，
∴∠CDQ∠CDP，∠ABQ∠ABP，
∴∠Q＝∠ABQ﹣∠CDQ
∠ABP∠CDP
（∠ABP﹣∠CDP）
∠DPB，
∴．
