2025年广东省广州市中考数学模拟试题2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是从不同方向看某个立体图形所得到的平面图形，则这个立体图形是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥
3．水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位吨），数据为：7，5，6，8，8，9，10，这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．9，8 B．8.5，8 C．8，8 D．7，8
4．下列计算中，正确的是（）
A． B．
C． D．
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于一次函数，，下列说法：①函数与的图象关于y轴对称；②当时，；③若函数的图象过点，则函数的图象必过一、三象限．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．小明在学习了勾股定理的证明后，尝试制作了四个全等三角形纸板，并拼出一个新图形，如图所示，若，则正方形的周长为（ ）
A．14 B．17 C．20 D．24
8．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到800里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马的速度．若设慢马的速度为里／天，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，半圆的直径，两弦相交于点，弦，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．2024年11月14日，中国新能源汽车迎来年度首次突破1000万辆的重要里程碑．数据1000万用科学记数法可以表示为 ．
12．二次函数的顶点坐标为 .
13．如图为某天参观文化馆的学生人数统计图，则图中代表小学生的扇形圆心角度数是 度．
14．在中，，，，点P为上一动点，连接，则长的最小值为 ．
15．如图，中，，与的角平分线交于点，交于，，则的长为 ．
16．如图，直角三角形中，，，长为4，射线，点E为射线上一点，过点E作于点F，连接，点M为中点，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．解下列方程：
(1)
(2)．
18．计算：
(1)
(2)
19．如图，点在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．在“学习总理精神，担当时代责任”主题演讲比赛中，、两所学校各有10名学生进入决赛，现对他们的成绩（满分100分）进行整理分析，得到如图表信息：
平均数 众数 中位数
学校 85.5 80
学校 85.5 86
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ；
(2)、两所学校决赛成绩的方差分别记为，，请判断 （填“”“”或“”）；
(3)本次比赛的前4名分别来自、两所学校，该区决定从这4位学生（校3位，校1位）中随机选取2位学生参加市级竞赛，求选中的两位学生恰好在同一学校的概率．
21．某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示．
(1)求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长．
(2)求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离．
22.如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点A，与x轴相交于点C．已知点A的坐标分别为．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P为反比例函数图象上的任意一点，若，求点P的坐标．
23．如图，二次函数的图像分别与x轴交于点A、点B（A点在B点左侧），与y轴正半轴交于点C，其中．
(1)求该二次函数关系式；
(2)如图①，点是线段上一动点，在y轴上取一点，连接．
①若线段绕点M逆时针旋转，点N的对应点刚好落在该抛物线上，求m的值；
②将（1）中的二次函数图像沿着射线方向平移个单位长度得到新二次函数图像．平移后点C的对应点为E，新抛物线的顶点为F，则在新抛物线上是否存在点G，使得？若存在，请直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
24．如图1，在平面直角坐标系中，，双曲线与矩形的两边、分别交于、两点，连接、、，将沿翻折后得．
(1)探究一：如图2，若点为中点时，点又恰好落在线段上，证明：平分：
(2)探究二：如图3，若平分，当四边形是正方形时，求矩形的面积：
(3)探究三：如图4，若点在直线上，是否存在的值使点落在轴上，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．【问题情境】在学完等边三角形后，老师拿了两个大小不一样的等边三角形，让同学们开展了摆放活动，如图1，和都是等边三角形，
(1)【问题初探】证明：；
(2)【深入探究】若点不共线，，求的长度；
(3)【拓广探究】若点共线（如图2）且和边长分别为2和4，请直接写出的长度．
参考答案
1．【考点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数的乘方运算
【分析】本题考查了有理数的乘方，绝对值的意义，多重符号的化简，根据有理数的乘方，绝对值的意义，多重符号的化简法则逐项判断即可．
解：A．，原计算错误；
B．，原计算错误；
C．，原计算错误；
D．，原计算正确；
故选：D．
2．【考点】由三视图还原几何体
【分析】本题考查几何体的三视图，根据圆锥的三视图直接判断即可得到答案；
解：∵几何体的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆，
∴这个几何体是圆锥，
故选：D．
3．【考点】求中位数、求众数
【分析】本题考查了求中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的求法是解题的关键．根据中位数和众数的定义求解即可．
解：将这组数据从小到大排列：5，6，7，8，8，9，10．
所以这组数据的中位数是8，众数是8．
故选：C．
4．【考点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查了整式的加减，同底数幂相除，积的乘方，根据合并同类项法则，同底数幂相除法则，积的乘方法则，幂的乘方法则逐项判断即可．
解：A．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误；
B．，故原计算错误；
C．，故原计算错误；
D．，故原计算正确；
故选：D．
5．【考点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查了解不等式组及在数轴上表示不等式组的解集；首先求出不等式组的解集，把解集在数轴上表示出来即可得到正确的答案．
解：解不等式，得；
解不等式，得；
∴不等式组的解集为：；
在数轴上表示为：；
故选：C．
6．【考点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，画出一次函数，的图象，结合一次函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
解：画出一次函数，的图象如图所示，
由图象可得，两函数的图象关于y轴对称；
由图象可知，当时，，故②正确；
∵函数的图象过点，，
∴，
∴，
∴函数，
∴函数的图象必过一、三象限，故③正确；
综上所述：正确的个数有3个．
故选：D．
7．【考点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查勾股定理、正方形的性质，先设每个三角形的长直角边为，短直角边为，然后根据题意和图形可以得到，然后求出的值，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据正方形的周长边长计算即可．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
解：设每个三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意可得，解得，
∴，
∴正方形的周长为，
故选：C．
8．【考点】列分式方程
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程．设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等可得方程．
解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，
根据题意，得．
故选：D．
9．【考点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关考点是解题的关键．
连接，得到，根据勾股定理求出根据圆周角定理得到，可证明，得到，得出，得到，即，计算即可得到答案．
解：如图，连接，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
或（舍去），
故选：B．
10．【考点】根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．利用一元二次方程根的判别式求解即可．
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选：C．
11．【考点】用科学记数法表示绝对值大于1的数
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于等于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
解：1000万
故答案为：．
12．【考点】y=ax +k的图象和性质
【分析】本题考查了二次函数的图象性质．根据的顶点坐标为，即可作答．
解：∵，
∴顶点坐标为．
故答案为：．
13．【考点】求扇形统计图的圆心角
【分析】利用乘以对应的百分比即可求得对应的圆心角的度数．
解：图中代表小学生的扇形圆心角度数是．
故答案是：126．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与的比．
14．【考点】垂线段最短、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短的性质，熟练掌握以上考点是解答本题的关键．
根据垂线段最短可知当时，的长度最小，再根据等腰直角三角形的性质解答即可．
解：如图所示，当时，的长度最小，
，
是等腰直角三角形，
，
故答案为：．
15．【考点】线段垂直平分线的性质、三线合一、根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形
【分析】延长交于点，过作于点，由与的角平分线交于点，，平分，则，，即垂直平分，故有，，又，则，，最后通过等角对等边和勾股定理即可求出．
解：如图，延长交于点，过作于点，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴平分，
∴，
∵，平分，
∴，，即垂直平分，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的性质，等角对等边，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识，掌握考点的应用是解题的关键．
16．【考点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于点N，连接，，易得四边形是平行四边形，进而得到C，M，N三点共线，再利用直角三角形的性质得到，当时，有最小值，即有最小值，求出，即可求出，利用勾股定理即可求出长，即可解答．
解：延长交于点N，连接，，
∵，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵点M为中点，
∴C，M，N三点共线，
∵，
∴，
当时，有最小值，即有最小值，
∵中，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
17．【考点】因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程．
（）利用因式分解法法求解即可；
（）利用因式分解法法求解即可.
（1）解：
方程化为：，，
∴，
∴或；
∴，．
（2）解：
∴，
∴或，
∴，．
18．【考点】实数的混合运算、分式加减乘除混合运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数
【分析】本题考查了实数的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算加减即可得解；
（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简．
（1）解：
；
（2）解：：
．
19．【考点】两直线平行内错角相等、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理：
（1）先由平行线的性质得到，再证明，即可利用证明；
（2）先由三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可得到答案．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
20．【考点】求中位数、求众数、根据方差判断稳定性、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）从比赛成绩折线统计图得到、两所学校各10名学生的成绩，利用众数和中位数的计算方法即可得到答案；
（2）由题中成绩的折线统计图波动幅度比较即可得到答案；
（3）将校3位学生分别记为甲、乙、丙，将校1位学生记为丁，列表分析结果即可得到答案．
（1）解：如图所示：
学校10名学生的成绩为，
则学校10名学生的成绩的众数为，即；
学校10名学生的成绩为，
学校10名学生的成绩的中位数为，即；
故答案为：，；
（2）解：由题意可得两所学校10名学生成绩的平均数均是，
如图所示：
学校10名学生成绩的波动幅度明显大于学校10名学生成绩的波动幅度，则，
故答案为：；
（3）解：将校3位学生分别记为甲、乙、丙，将校1位学生记为丁，
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由表可知，共有12种等可能的结果，其中选中的两位学生恰好在同一学校的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（乙，甲），（乙，丙），（丙，甲），（丙，乙），共6种，
∴选中的两位学生恰好在同一学校的概率为．
【点评】本题考查概率与统计综合，涉及折线统计图、求众数、求中位数、通过折线统计图的数据波动比较方差大小、列表法求两步概率问题等知识，熟记相关统计量的求法，掌握列举法求概率的方法是解决问题的关键．
21．【考点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了函数图象，一元一次方程的应用，熟练掌握函数图象，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）根据图象得出甲乙机器人的路程和时间，然后计算即可；
（2）结合图象分为甲机器人表演前、表演时、到达终点时三种情况，分别计算即可．
（1）解：甲机器人速度：（米/秒），
乙机器人速度：（米/秒），
（秒），
∴甲、乙两款机器人各自的慢跑速度分别为5米/秒和3.5米/秒，甲机器人表演的时长为4秒．
（2）当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时，
乙机器人的函数表达式：，
甲机器人的函数表达式：（），
当时，得，
当，，
所以，
答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米．
22.【考点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式
【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数综合，掌握利用待定系数法求函数解析式和数形结合的思想是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，从而可求出，进而可求出，最后根据三角形面积公式求解即可．
（1）解：把点代入直线得，
解得：，
一次函数的解析式为；
把点代入得，
，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入，得：，
∴点的坐标为，
．
，
，
．
当代入，得，
当代入，得
∴点的纵坐标为，则，
点的坐标为或．
23．【考点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解
【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数图像的平移，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）①过作，证明，即可求解；
②分当点在右侧时和点在左侧时两种情况分类讨论即可．
（1）解：，与y轴正半轴交于点C，
，
将代入中，
，
，
；
（2）解：①过作，
线段绕点M逆时针旋转，
，
，
，
，
，
，
，
，
在抛物线上，
，
，
，
；
②二次函数图像沿射线方向平移个单位长度，
二次函数图像是向右平移两个单位，向上平移两个单位，
，平移后点C的对应点为E，
，
，
平移后的函数解析式为，
，
①当点在右侧时，
令，
解得，
，
，点，点的横坐标相同且均为，
，
点是抛物线与轴的交点，
令，则，
解得（舍去），
；
②当点在作侧时，即点在，过点作轴于点，设平移后抛物线与轴交于点，连接交于点，过点作于点，
平移后的函数解析式为，
平移后函数图像的对称轴为直线，
令，则，
，
，
点与点关于直线对称，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
设点，
则，
，
化简得，
解得（舍去），
，
，
综上所述，点的坐标为或．
24．【考点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的其他综合应用
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及正方形的性质，相似三角形的判定与性质，根据，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长是解本题的关键．
探究一：证明平分可转化为证明，即证明是的中点即可，根据、的坐标满足函数的解析式即可证得；
探究二：证明四边形是正方形，证，即可求得，则和的比值是，则可利用的长表示出的坐标，代入反比例函数解析式，即可求得的长，则面积即可求解；
探究三：首先解方程组求得的坐标，作于点，则，利用表示出的长度，根据相似三角形的对应边的比相等求得的长，即可求得，求得的长，则的横坐标即可求得，代入反比例函数解析式即可求得纵坐标．
（1）探究一：证明：，，
的坐标是，
的坐标是：，
在线上，
，
又的横坐标是，把代入，则，
是的中点，即，
又，
，
在的平分线上，即平分；
（2）探究二：解：设正方形的边长是，则，，
则的坐标是：，的坐标是，
则，
．
四边形是正方形．
∴，，
∵，
∴
又∵，
∴，
，
又平分，
，
，
设，则，
∴的坐标是，
代入得：，
∴，
∴正方形的面积是；
（3）解：根据题意得：
解得：或 舍去，
则的坐标是．
的横坐标是，则的横坐标是，则，
在中，当时，
，，
如图所示，作于点．
折叠
又
则，
解得：，
∴在中，，
则，
，
，
把代入中得：，
．
25．【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）依据等式的性质可证明，然后依据可证明；
（2）由（1）知：，利用勾股定理计算的长，可得的长；
（3）取的中点M，连接，证明为等边三角形，求出，再求出，得到，利用勾股定理即可求出．
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，
∴；
（3）解：如图，取的中点M，连接，
∵和都是等边三角形，且和的边长分别为2和4，
∴，，
∴，
∵点共线，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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