2024-2025 学年江苏省苏州市工业园区南京航空航天大学苏州附属中
学唯亭校区高一下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式正确的是( )
A. = B. + + =
C. + = 0 D. + = 0
2 .如果函数 = sin(2 + )的图象关于点 3 , 0 中心对称，那么 的值可以是( )
A. 3 B.
6 C. 6 D. 3
3.若 tan = 4 cos2 ，则1 sin2 =( )
A. 5 B. 3 C. 33 5 5 D.
5
3
4 ∈ 0, 4 + 4 = 17 .已知 4 ， 25，则 tan + 4 =( )
A. 1 B. 13 2 C. 2 D. 3
5 1.下列选项中，值为4的是( )
A. 2 sin 5 B. 1 2 cos215° C. 1 + 312 12 3 3 sin50 D. cos 72°·cos 36°cos50
6 = cos + .已知函数 3 , > 0，下列说法正确的是( )
A. 1若函数周期为 4，则 = 2
B.当 = 2 时，函数的对称轴为 = 3 + , ∈
C. 若函数在 0, 3 单调，则 有最大值 2
D.若函数 = sin 1可以由 先向右平移9个单位长度，再横坐标变为原来的 3 倍得到，则 = 3
7.下列命题：
①若 = ，则 = 或 = ② = 的充要条件是 = 且 //
③若 // ， // ，则 // ；④起点相同的单位向量，终点必相同
其中，真命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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8.已知函数 ( ) = 3cos + 4 + cos
4 ( > 0)，当 ∈ 0, 2 时函数恰有 3 个零点，则正整数
的取值可以是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 = sin + > 0,0 < < 的部分图象如图，若 的相邻两个零点间的距离为2，则( )
A. = 2
B. = 6
C. 的零点形成的集合为{ | = 12 } ∈
D. 2 的单调递减区间为 + 6 , + 3 ( ∈ )
10.下列选项正确的是( )
A. sin +cos 若sin cos = 3，则 tan = 2
B.若 sin = 5 , sin = 105 10 .
且2 < < , 2 < < ，则 + =
7
4
C. cos cos 2 cos 4 = 19 9 9 4
D. 1 + tan13 1 + tan32 = 2
2sin 2 5 ,
15
4 ≤ ≤
5
11.已知函数 ( ) = 45 ，若存在实数 1, 2, 3, 4( 1 < 2 < 3 < 4)满足 ( 1) = 2( 1) , > 4
( 2) = ( 3) = ( 4) = ，则正确的是( )
A. 23 + 24 > 6 B.
5
1 + 2 = 2
C. 3 4 3 4 = 0 D. 0 < < 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在平行四边形 中， = 1 4
.设 = , = ，请用 , 表示 = ．
13.若 sin 4 2 6 = 5，则 cos 2 + 3 = ．
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14.近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带
来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，
风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为 120 ，现有一座风车，塔高 90 米，叶片长 40
米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每 6 秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点 在风车的最
低点(此时 离地面 50 米).设点 转动 (秒)后离地面的距离为 (米)，则 关于 的函数关系式为 ，叶片
旋转一圈内点 离地面的高度不低于 70 米的时长为 秒．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2cos sin 5
已知 sin cos = 2, cos + = 5 ，且 , 均为锐角．
(1)求 tan 的值；
(2)求 sin2 的值；
(3)求 tan 的值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 = sin 4 ( > 0, ∈ )的最小正周期为 ．
(1) 求 6 ．
(2)在图中给定的平面直角坐标系中，画出函数 = ( )在区间 ∈ [0, ]上的图象，并根据图象写出其在 ∈
[0, ]上的单调递减区间．
17.(本小题 15 分)
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( ) = 3sin( + ) + 2 2 + 已知函数 2 1( > 0,0 < < )为奇函数．且 ( )图象的相邻两对称
轴间的距离为2．
(1)将函数 ( ) 1的图象向右平移6个单位长度，再把横坐标缩小为原来的2 (纵坐标不变)，得到函数 = ( )
的图象，当 ∈ 12 , 6 时，求函数 ( )的值域．
(2)设 ( ) = ( ) + sin + cos ，若 ( ) ≤ 恒成立，求实数 的最小值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + 4 3cos(2 ) 1( > 0)， ( )的最小正周期为 ．
(1)求 ( )的单调增区间;
(2)方程 ( ) 2 + 1 = 0 在 0, 712 上有且只有一个解，求实数 的取值范围;
(3)是否存在实数 满足对任意 1 ∈ [ 1,1]，都存在 2 ∈ ，使得4 1 + 4 1 + 2 1 2 1 + 1 > 2 成
立.若存在，求 的取值范围;若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2sin( + ) > 0, | | < 2 的图象与 轴的两个相邻交点之间的距离为2，直线 = 6是
( )的图象的一条对称轴．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) 将 ( )图象上所有的点向左平移4个单位长度，得到函数 = ( )的图象，若对于任意的 1, 2 ∈ [
, ]，当 1 > 2时， 1 2 < 1 2 恒成立，求实数 的最大值．
(3) ∈ 0, 11 若 212 ，方程 ( ) + (2 ) ( ) + 3 = 0 存在 4 个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. + 1 4
13. 725/0.28
14. = 90 40cos 3 ( ≥ 0)； 4
15.(1) 2cos sin 2 tan 4由 sin cos = 2，可得tan 1 = 2，解得 tan = 3．
2×4
(2)sin2 = 2sin cos = 2sin cos = 2tan 2 + 2 2 +1 =
3
2 =
24
．
4
3 +1
25
(3)tan = tan + = tan + tan 1+tan + tan ，
5
因为 cos + = 5 ，所以 sin + =± 1
2 + =± 1 1 =± 2 55 5 ，
又因为 , 均为锐角，所以 0 < + < ，而 cos + = 55 < 0，
所以2 < + < ，故 sin + =
2 5
5 ，
所以 tan + = 2，
2 4
所以 tan = tan + = tan + tan 31+tan + tan = 4 = 2．1+ 2 ×3
16.(1) 2 由题意得 = ，又 > 0，所以 = 2， = sin 2 4 ，
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3 2 1 2 6 2则 6 = sin 3 4 = 2 × 2 2 × 2 = 4 ．
(2) 7 因为 ∈ 0, ，所以 2 4 ∈ 4 , 4 ，
列表如下：
2 3 7 4 4 0 2 2 4
0 3 5 7 8 8 8 8
2 0 1 0 1 22 2
画出函数 = 在区间 0, 上的图象如下：
0, 3 , 7 所以图象在 上的单调递减区间为 8 8 ．
17.(1) = 3sin + cos + = 2sin + 6 ，
因为 为奇函数，所以 0 = 2sin 6 = 0，解得 = 6 + , ∈ ，
又 0 < < ，所以 = 6，
因为 图象的相邻两对称轴间的距离为2，所以 的最小正周期为 ，
2
所以 = ，解得 = 2，
所以 = 2sin2 ，
由题意得 = 2sin 4 3 ，
当 ∈ 12 ,
2
6 时，4 3 ∈ 3 , 3 ，则 2sin 4 3 ∈ 2, 3 ，
所以 的值域为 2, 3 ．
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(2) = 2sin2 + sin + cos = 2 sin + cos 2 + sin + cos 2，
令 sin + cos = 2sin + 4 = ∈ 2, 2 ，
2
则 = 2 2 + 2 = 2 + 1 174 8，
所以当 = 2时， 取得最大值，最大值为 2 + 2，
因为 ≤ 恒成立，所以 ≥ max = 2 + 2，
所以 的最小值为 2 + 2．
18.(1)函数 ( ) = sin(2 ) 3cos(2 ) = 2sin 2 3
∵ ( ) 2 的最小正周期为 ． > 0 ∴ 2 = ，∴ = 1．
那么 ( )的解析式 ( ) = 2sin 2 3
2 令 2 ≤ 2 3 ≤ 2 + 2 , ∈
得： 12 ≤ ≤ +
5
12
∴ ( ) 5 的单调增区间为 12 , + 12 , ∈ ．
(2)方程 ( ) 2 + 1 = 0; 7 在 0, 12 上有且有一个解，
转化为函数 = ( )与函数 = 2 1 只有一个交点．
∵ ∈ 0, 7 12 ，∴ 3 ≤ 2
5
3 ≤ 6
= ( ) = 2sin 2 0, 5 5 , 7 因为函数 3 在 12 上增，在 12 12 上减，
且 (0) = 2sin 3 = 3, (
5
12 ) = 2, (
7
12 ) = 1，
∴ 3 ≤ 2 1 < 1 或 2 1 = 2 1 3 3，所以 2 ≤ < 1 或 = 2．
(3)由(1)可知 ( ) = 2sin 2 3 ，∴ 2 min = 2．
实数 满足对任意 1 ∈ [ 1,1]，都存在 2 ∈ ，
使得4 1 + 4 1 + 2 1 2 1 + 1 > 2 成立．
即4 1 + 4 1 + 2 1 2 1 + 1 > 2 成立
令 = 4 1 + 4 1 + 2 1 2 1 + 3
设2 1 2 1 = ，那么4 1 + 4 1 = 2 1 2 1 2 + 2 = 2 + 2
∵ 1 ∈ [ 1,1]，∴ ∈
3
2 ,
3
2 ，
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可得 2 + + 5 > 0 在 ∈ 3 32 , 2 上恒成立．
令 ( ) = 2 + + 5，其对称轴 = 2，
∵ ∈ 32 ,
3
2 上，
∴ ①当 2 ≤
3
2时，即 ≥ 3， ( )
3
min = 2 =
29
4
3 29
2 > 0，解得 3 ≤ < 6 ;
3 3 2
②当 2 < 2 < 2，即 3 < < 3 时， ( )min = 2 = 5 4 > 0，解得 3 < < 3;
3
③当2 ≤
2，即 ≤ 3 时， ( )
3 29 3
min = 2 = 4 + 2 > 0，解得
29
6 < ≤ 3;
29 29
综上可得，存在 ，可知 的取值范围是 6 , 6 ．
19.(1) 2 由条件可知，周期 = ，所以 = ，又 > 0，得 = 2，
2 × 6 + = 2 + , ∈
，因为 < 2，所以 = 6，
即函数 = 2sin 2 + 6 ；
(2) ( ) 2 将 图象上所有的点向左平移4个单位长度， = 2sin 2 + 2 + 6 = 2sin 2 + 3 ，
若对于任意的 1, 2 ∈ [ , ]，
当 1 > 2时， 1 1 < 2 2 恒成立，
所以 ∈ [ , ]， = 单调递减，
2
= = 2sin 2 + 6 2sin 2 + 3
3 1 1 3
= 2 2 sin2 + 2 cos2 + 2 sin2 2 cos2 = 2 2sin 2 12
2 3 12 ∈ 2 + 2 , 2 + 2 单调递减，
3
所以 2 12 ≤ 2 , 2 2
12 ≥ 2 , > ,，
17 17
所以2 < ≤ 24 ， 的最大值为 24 ．
(3)因为 2( ) + (2 ) ( ) + 3 = 1 + 3 = 0，
可得 = 1 或 = 3，
当 ∈ 0, 11 12 ，设 2 + 6 ∈ 6 , 2 ，
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由条件转化为 = 与 = 1 的交点，
sin 2 + = 16 2在 ∈ 0,
11
12 上的图象恰有 2 个不同的交点，
方程 2( ) + (2 ) ( ) + 3 = 0 存在 4 个不相等的实数根，
则 = 与 = 3 必有 2 个交点，
即 = 2sin 2 + 11 6 在 ∈ 0, 12 上的值域为 1,2 ∪ 2,0 时，函数 与 = 3 有 2 个交点，
则 1 ≤ 3 < 2 或 2 < 3 ≤ 0，即 4 ≤ < 5 或 1 < ≤ 3
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