2024-2025 学年四川省射洪中学校高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cos57 cos3 sin57 sin3 的值为( )
A. 0 B. 12 C.
3
2 D. cos54
2.如图，在正六边形 中， + =( )
A. 0 B. 2 C. D.
3.在 中， 为 的中点， = 2 ，则 =( )
A. 1 + 1 B. 1 2 3 3 +
1
2
C. 1 6
2 3
D. 2 1 3 6
4.在平行四边形 中，已知 = , = ，若 = + ，则该四边形一定是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
5.已知函数 = sin2 ，为了得到函数 = sin 2 + 6 的图象，可以将 的图象( )．
A. 向右平移6个单位长度 B.向左平移12个单位长度
C. 向左平移6个单位长度 D.向右平移12个单位长度
6 1.若 sin + 4 = 4，则 sin2 =( )
A. 3 B. 34 4 C.
7 7
8 D. 8
7 .已知 ∈ 0, 2 ，若 sin 6 =
3
5，则 cos =( )
A. 4 3 310 B.
4+3 3 C. 4 3 3 4 3+310 10 D. 10
8 5 .已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < 2 )， ( 4 ) = 0， = 4为 ( )图象的对称轴，且 ( )在( 18 , 36 )
上单调，则 的最大值为( )
A. 11 B. 9 C. 7 D. 5
第 1页，共 6页
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .函数 = tan 2是( )
A.最小正周期为 4 B.最小正周期为 2 C.偶函数 D.奇函数
10 .定义：角 与 都是任意角，若满足 + = 2，则称 与 “广义互余”.已知 sin + =
1
4，则下列角
中，可能与角 “广义互余”的是( )
A. sin = 15 B. cos + = 1 C. tan = 15 D. tan = 154 4 5
11 .已知函数 = sin + > 0, > 0, < 2 的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A. 的图象关于点 6 , 0 对称
B. 5 的图象关于直线 = 12对称
C.将函数 = 2sin 2 6 的图象向左平移2个单位长度得到函数 的图象
D.若方程 = 在 ∈ 2 , 0 上有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 2, 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.化简 4 3 6 2 = ．
13 4.已知 cos + = 5，cos =
1
5，则 tan tan 的值为 ．
14 1
.如图，在 中， = 3 ，
1
是线段 上一点，若 = + ，则实数 的值为 ．6
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2页，共 6页
15.(本小题 13 分)
= sin 2 cos 3 已知函数 ．
2sin 11 2
(1)化简 ；
(2) = 2若 4 ，且 为第四象限角，求 tan 的值．
16.(本小题 15 分)
设向量 ， 满足 = 3， = 3， = 2．
(1)求向量 ， 的夹角；
(2)求 ．
17.(本小题 15 分)
2
已知函数 = sin + > 0, 2 < < 0 的最小正周期为 ，且一个对称中心为 3 , 0 ．
(1)求函数 的解析式；
(2) 0, 求函数 在区间 2 上的值域．
18.(本小题 17 分)
如图，在 中， = 2 5 ，点 为 中点，点 为 上的三等分点，且靠近点 ，设
= ， = ．
(1)用 、 表示 、 ；
(2)若 = 3， = 4，且 与 的夹角为 60 ，求 ；
(3)如果∠ = 60 ， = 2，且 ⊥ ，求 ．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 + 3sin cos > 0 ，其相邻两个对称中心之间的距离为2．
(1)求函数 表达式；
(2)求函数 的单调递减区间；
(3)设 = ，若函数 在 ∈ 6 , 3 上有两个不同零点，求实数 的取值范围．
第 3页，共 6页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.10
13. 35/ 0.6
14.13
15. (1) = sin cos = sin cos = 1解： sin
2sin 2cos 22
(2) 2 1因 = 4 ，故 2 sin =
2 2
4 ，即 sin = 2 ，
因 为第四象限角，故 cos > 0，
故 cos = 1 2 = 22 ，故 tan = 1．
16.解：(1)因为 = 3， = 3， = 2，所以 cos , = = 3 = 1，
3×2 2
, ∈ 0, , = 又 ，所以 3；
2 2
(2) = = 2 2 + = 9 2 × 3 + 4 = 7．
17. 2 解：(1) ∵ 的最小正周期为 ，∴ = ，∴ = 2．
2
又 的一个对称中心为 3 , 0 ，
第 4页，共 6页
∴ 2 3 × 2+ = , ∈ =
4
，即 3 , ∈ ，
< < 0 = 1 = 因 2 ，故当 时， 3满足，
∴ = = sin 2 3，所以 3 ．
(2) ∵ 0 ≤ ≤ 2 2，∴ 3 ≤ 2 3 ≤ 3，
3
结合正弦函数图象可得： 2 ≤ sin 2
3 ≤ 1．
∴函数 在区间 0, 32 上的值域为 2 , 1 ．
18. 2解：(1)因为 = ，所以， = + = + 2 2 3 2 3 2 5 5 = + 5 = 5 + 5 = 5 + 5 ，
因为 为 中点，点 1 1为 上的三等分点，且靠近点 ，则 = ， 2 =
3 ，
1 1 1 1
则 = = 3
2 = 3 2 ．
(2)可知， = 35 +
2
5
1 1， = 3 2 ，
2
因为 = 3， = 4，则 = 1 13 2
3 + 2 5 5
= 2 3 2 = 2 × 16 3 1715 10 15 10 × 9 = 30．
2
(3)因为 ⊥ ，则 = 2 + 3 1 1 = 2 3 2 = 0 = 35 5 3 2 15 10 ，可得 2 ，
= 2 = 3又因为 ，则 2 = 3，
又因为∠ = 60 ，由平面向量数量积的定义可得 = cos60 = 2 × 3 × 12 = 3，
2
所以， = 3
2 2
5 +
2 1
5 = 5 3 + 2
= 1 9 2 + 12 5
+ 4
= 15 9 × 4 + 12 × 3 + 4 × 9 =
6 3
5 ．
19.解：(1) = 2 + 3sin cos = 1+cos2 + 32 2 sin2
1 1 3 1
= 2 + 2 cos2 + 2 sin2 = 2 + sin 2 + 6
因为相邻两个对称中心之间的距离为2 = 2．
∴函数 = 2 的周期 2 = ，解得 = 1，
第 5页，共 6页
∴ = 12 + sin 2 +
6 ；
(2)由(1) 1知 = 2 + sin 2 +
6 ，
= 2 + 令 6，
∵ = sin 3 的单调递减区间为 2 + 2 , 2 + 2 , ∈ ．
∴ 2 + 2 ≤ 2 +
≤ 3 6 2 + 2 , ∈ ．
∴ 2 6 + ≤ ≤ 3 + , ∈ ．
故 2 单调递减区间是 6 + , 3 + ∈ ；
(3)由函数 = 单调性可知， 在 6 ,
3
6 上单调递增，函数值从 0 增大到2，
, 3在 6 3 上单调递减，函数值从2减小到 1，
函数 = 在 6 , 3 的图象，如图，
由 = 0，得 = ，函数 在 ∈ , 6 3 上有两个不同零点，
即直线 = 与函数 = 在 36 , 3 的图象有两个公共点，此时 1 ≤ < 2，
3
所以实数 的取值范围是 1 ≤ < 2．
第 6页，共 6页
