2024-2025 学年天津市静海一中高二（下）3 月调研
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导运算正确的是( )
A. ( )′ = ( 1为常数) B. (log2 )′ = 2
C. (3 ) = 3 D. ( + 1) = 2′ 3 ′ +1
2 = ( ) = △ → 0 ( 0+3△ ) ( 0).设函数 在 0处可导，且 2△ = 1，则 ′( 0)等于( )
A. 2 23 B. 3 C. 1 D. 1
3.已知曲线 = + 在点(1, )处的切线方程为 = 2 + ，则( )
A. = ， = 1 B. = ， = 1
C. = 1， = 1 D. = 1， = 1
4 ( ) =
.函数 2 3在[2, + ∞)上的最小值为( )
3 3
A. 6 B.
2 C. 4 D. 2
5.已知函数 ( ) = + 2 ， = ( )， = (2 )， = ( 2)，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6 1.已知函数 ( ) = 33
2 + + 9 在 上无极值，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,0) ∪ (1, + ∞) B. ( ∞,0] ∪ [1, + ∞)
C. (0,1) D. [0,1]
7.已知 ′( )是函数 ( )的导函数，且对任意实数 都有 ′( ) ( ) = (2 1)， (0) = 4，则不等式
( ) < 10 的解集为( )
A. ( 2,3) B. ( 3,2)
C. ( ∞, 3) ∪ (2, + ∞) D. ( ∞, 2) ∪ (3, + ∞)
8
2+1
.若函数 ( ) = ( 为自然对数的底数)是减函数，则实数 的取值范围是( )
A. ≤ 0 B. ≤ 1 C. > 0 D. 0 ≤ ≤ 1
| |, > 0
9.设函数 ( ) = ( + 1), ≤ 0，若函数 ( ) = ( ) 有三个零点，则实数 的取值范围是( )
A. (1, + ∞) B. ( 1 2 , 0) C. (1, + ∞) ∪ {0} D. (0,1]
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二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
10.函数 ( ) = ( )的单调递减区间是______．
11.若函数 ( ) = 1 33 4 + 在[0,3]上的最大值为 4，则 = ______．
12 ( ) = 1.已知函数 22 3 + 4 在( , + 2)在上不单调，则实数 的取值范围是 ．
13.已知 ( ) = ， ( ) = ( + 1)2 + ，若 1， 2 ∈ ，使得 ( 2) ≤ ( 1)成立，则实数 的取值范围
是______．
14.设实数 > 0，对任意的 > 1，不等式 ≥ 恒成立，则 的取值范围为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + 2 3 ，曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 2 + 4 = 0．
(1)求实数 ， 的值：
(2) 若曲线 ： = 12
3 4 ，求曲线 过点(2,4)的切线方程．
16.(本小题 14 分)
已知函数 ( ) = ( ∈ )， ( ) = ．
(1)当 = 1 时，求函数 ( )的极值；
(2)若存在 ∈ (0, + ∞)，使不等式 ( ) ≤ ( ) 成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题 18 分)
(1)已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 1， ∈ ，若函数 ( )在( 23 ,
1
3 )单调递减，求实数 的取值范围．
(2)已知 = 13
3 + 2 + ( + 2) + 3 在 上不是单调函数，则 的取值范围．
(3)已知函数 ( ) = ( 2 + ) 在[1, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围．
(4)已知 ( ) = + 12
2( > 0) ( ) ( )，若对任意两个不等的正实数 1， ，都有 1 22 > 2 恒成立，则实1 2
数 的取值范围．
18.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = ( + 1) ， ( ) = 22 ， > 0， ∈ ．
(1)讨论函数 ( )零点的个数；
(2)若 ( ) = ( ) + ( )，讨论函数 = ( )的单调性．
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19.(本小题 20 分)
已知函数 ( ) = + 2 ( > 0, ≠ 1)．
(1)求函数 ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)求函数 ( )单调增区间；
(3)若存在 1， 2 ∈ [ 1,1]，使得| ( 1) ( 2)| ≥ 1( 是自然对数的底数)，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.[ 1 , 0)
11.4
12.[0,1)
13.[ 1 , + ∞)
14.[ 1 , + ∞)
15.解：(1) ( ) = + 2 3 的导数为 ′( ) = + 2 ，
由曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 2 + 4 = 0，
可得 + 2 = 2，即 = 4，
又 (1) = 1 3 = 2 1，解得 = 3，
即有 = 4 1， = 3；
(2)曲线 ： = 12
3 4 ，即 = 1 3 43 + 3，
导数 ′ = 2，
设曲线与过点 (2,4)的切线相切于点 ( , 1 3 + 40 3 0 3 )，
则切线的斜率 = 20，
1 4
所以切线方程为 ( 3 + ) = 23 0 3 0( 0)，
2 4
即 = 20 33 0 + 3，
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因为点 (2,4)在切线上，
4 = 2 2 2所以 0 3
3 4
0 + 3，
即 30 3 20 + 4 = 0，
即有 3 2 20 + 0 4 0 + 4 = 0，
所以( 0 + 1)( 2)20 = 0，
解得 0 = 1 或 0 = 2，
故所求的切线方程为 4 4 = 0 或 + 2 = 0．
16.解：(1)当 = 1 时， ( ) = ，则 ′( ) = 1 ，
当 < 0 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 > 0 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )的极大值为 (0) = 1，无极小值．
(2)若存在 ∈ (0, + ∞)，使不等式 ( ) ≤ ( ) 成立，
≤ 则 ( > 0)，即 ≤ 2 ( > 0)，
问题转化为 ≤ ( 2 ) ( > 0)，
令 ( ) = 2， > 0，
′( ) = 2 1 2 4 = 3 ，
所以当 0 < < 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 > 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
1
所以 ( ) = ( ) = 2 ，
所以 ≤ 12 ，
1
所以实数 的取值范围为( ∞, 2 ].
17.解：(1)根据函数单调性与函数导数的关系，可知，函数 ( ) 2 1在( 3 , 3 )上单调递减，
即得 ′( ) ≤ 0 在( 2 13 , 3 )上恒成立，
∵ ( ) = 3 + 2 + + 1 ′( ) = 3 2 + 2 + 1，
∴ 3 2 + 2 + 1 ≤ 0 2 1在( 3 , 3 )上恒成立，
2
∴ ≥ 3 +1 2 1 2 在( 3 , 3 )上恒成立，
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3 2+1 2
令 ( ) = 2 =
3 1 3 1 1 3 2 2 ，则有 ′( ) = 2 + 2 2 = 2 2 ，
令 ′( ) = 0 =± 33 ；则有 ′( ) > 0 ∈ (
3 , 3 ) 3 33 3 ；′( ) < 0 ∈ ( ∞, 3 )或 ∈ ( 3 , +
∞)，
2 1
∵ ∈ ( 3 , 3 )
∴ ( ) 2 3 3 1在( 3 , 3 )上单调递减，在( 3 , 3 )上单调递增，
∴ ( )在 = 33 时取得最小值，
2 7 1 2 1
又因为 ( 3 ) = 4， ( 3 ) = 2，所以 ( )在( 3 , 3 )上有最大值为 2，
≥ 2，即得 ∈ [2, + ∞)．
(2) 1假设函数 = 33 +
2 + ( + 2) + 3 在 上是单调函数，则有 ′ ≥ 0 在 上恒成立，
即 ′ = 2 + 2 + + 2 ≥ 0 在 上恒成立，
根据二次函数的性质可得，此时△= 4 2 4( + 2) ≤ 0 1 ≤ ≤ 2，
故可得，若函数 = 1 33 +
2 + ( + 2) + 3 在 上不是单调函数，则有 ∈ ( ∞, 1) ∪ (2, + ∞)；
(3)根据函数导数与函数单调性的关系，可知，
若函数 ( )在[1, + ∞)上单调递增，则有 ′( ) ≥ 0 在[1, + ∞)上恒成立，
即 ′( ) = 2 + 1 ( + 1) = 2 ≥ 0 在[1, + ∞)上恒成立，
∵ ∈ [1, + ∞)，
∴ ≥ 2 在[1, + ∞)上恒成立，令 ( ) = 2 ( ∈ [1, + ∞))，则有 ≥ ( ) ，
∵ ′( ) = 1 2 2 ，则有 ′( ) = 0 = ，
∴ ′( ) > 0 ∈ (0, )； ′( ) < 0 ∈ ( , + ∞)，
∴ ( ) 1 2 = ( ) = 2 = 2 ， + 2
∴ ≥ 1 12 ，即得 ∈ [ 2 , + ∞)．
(4) ( ) ( )根据题意，若对任意两个不等的正实数 1， ，都有 1 22 1
> 2 恒成立，
2
则有 ′( ) ≥ 2 在(0, + ∞)上恒成立，
∵ ′( ) = + ，
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∴ + ≥ 2 ≥
2 + 2 = ( 1)2 + 1 在(0, + ∞)上恒成立，
∴ ≥ 1，即得 ∈ [1, + ∞)．
18.
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19.解：(1) ∵ ( ) = + 2 ，
∴ ′( ) = + 2 ，
∴ ′(0) = 0， (0) = 1，
即函数 ( )图象在点(0,1)处的切线斜率为 0，
∴图象在点(0, (0))处的切线方程为 = 1；
(2)由(1)知，
′( ) = + 2 = 2 + ( 1) ，
①当 > 1， = 2 单调递增， > 0，
所以 = ( 1) 单调递增，
故 = 2 + ( 1) 单调递增，
∴ 2 + ( 1) > 2 × 0 + ( 0 1) = 0，
即 ′( ) > ′(0)，所以 > 0，
故函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
②当 0 < < 1， = 2 单调递增， < 0，
所以 = ( 1) 单调递增，
故 = 2 + ( 1) 单调递增，
∴ 2 + ( 1) > 2 × 0 + ( 0 1) = 0，
即 ′( ) > ′(0)，所以 > 0，
故函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
综上，函数 ( )单调增区间(0, + ∞)；
(3)因为存在 1， 2 ∈ [ 1,1]，使得| ( 1) ( 2)| ≥ 1，
所以当 ∈ [ 1,1]时，
| ( 1) ( 2)| = ( )max ( )min 1，
由(2)知，
( )在[ 1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，
所以当 ∈ [ 1,1]时，
( )min= (0)=1，
( )max=max{ ( 1), (1)},
而 (1) ( 1)
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1
= ( + 1 ) ( + 1 + )
= 1 2 ，
记 ( ) = 1 2 ( > 0)，
1 2
因为 ′( ) = 1 + 2 = (
1
1)
2 ≥ 0(当 = 1 时取等号)，
1
所以 ( ) = 2 在 ∈ (0, + ∞)上单调递增，
而 (1) = 0，
所以当 > 1 时， ( ) > 0；
当 0 < < 1 时， ( ) < 0，
也就是当 > 1 时， (1) > ( 1)；
当 0 < < 1 时， (1) < ( 1)
①当 > 1 时，由 (1) (0) ≥ 1，
得 ≥ 1，解得 ≥ ，
②当 0 < < 1 时，由 ( 1) (0) ≥ 1，
1
得 + ≥ 1
1
，解得 0 < ≤ ，
1
综上可知，所求 的取值范围为 ∈ (0, ] ∪ [ , + ∞)．
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