2024-2025学年江苏省南京二十九中高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
3.如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，点在射线上，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.设当时，函数取得最大值，则( )
A. B. C. D.
6.在中，为的中点，为上靠近的三等分点，与交于点，若，，则( )
A. B. C. D.
7.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示若实数满足，则的值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对应的边分别为，，，设的面积为，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法中正确的是( )
A. 若为锐角三角形，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则
D. 若，，，则符合条件的只有一个
10.已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于对称
B. 在上单调递减
C. 的解集为
D. 方程在上有且只有三个相异实根
11.已知函数，下列关于该函数结论正确的是( )
A. 是偶函数 B. 的一个周期是
C. 的最小值是 D. 在区间是减函数
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.的内角，，的对边分别为，，，若，，的面积为，则 ______．
13.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为______．
14.已知函数在内恰有两个不同的零点，，则 ______， ______．
四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，
求与的夹角；
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，若，，的平分线交于．
求；
若，求．
17.本小题分
已知函数的最小正周期为，
求和的值；
若对任意，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数，其中，，试分别解答下列两小题．
若函数的图象过点，求函数的解析式；
Ⅱ如图，点，分别是函数的图象在轴两侧与轴的两个相邻交点，函数图象上的一点满足，求函数的最大值．
19.本小题分
在中，是边上靠近的三等分点，若．
求面积的最大值；
求的最小值．
20.本小题分
对于三个实数，，，若成立，则称，具有“性质”
试问：
，是否具有“性质”？
，是否具有“性质”？
若存在及，使得成立，且，具有“性质”，求实数的取值范围
设，，，为个互不相同的实数，点均不在函数的图象上，是否存在，，且，，使得，，具有“性质”，请说明理由
参考答案
1.
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8.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：，，
又，，，，
，
又，．
．
与的夹角，
又，
．
16.解：由，
结合正弦定理可得，
又因为，
所以，联立可得，，
所以，由余弦定理可得，，
所以，．
若，则，，
所以，；
由角平分线性质可得，，，
所以，
在中，由正弦定理得，
解得．
17.
18.解：函数的图象过点，
，，
，
展开化简可得
，
函数，
，
；
Ⅱ设在轴上的射影为，
在图象上
函数的最大值为
19.
20.解：，具有“性质”，
由基本不等式知后者成立，所以，具有“性质”；
令，则，，具有“性质”，所以，不具有“性质”；
依题意，成立，则，且，，具有“性质”，
，即，
，则，
令，则，，
单调递减，则在处取得最大值，
，又，，
实数的取值范围为；
存在．
假设具有“性质”，则，
即证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个实数，，满足；
证明如下：由，
令，由万能公式知，，将分成个小区间，
则，，，，这个数，必有两个数落在同一个区间，
令其为，，即，也就是说，在，，，这个数中，一定有两个数满足，
即一定存在两个实数，满足，从而得证．
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