2025年春高河中学高二第一次月考数学试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1．已知函数在处的导数为4，则（ ）
A． B．2 C． D．4
2．下列求导运算不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知等比数列是递增数列，其前n项和为，，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知P是椭圆E：上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为
A． B． C． D．
5．已知函数为连续可导函数，的图像如右图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的极大值 B．是函数的极小值
C．在区间上单调递增 D．的零点是和
6．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ）
A．当时，有极小值 B．当时，有极大值
C．当时，有极小值 D．当时，有极大值
7．已知等差数列（）的前n项和为，公差，，则使得的最大整数n为（ ）
A．9 B．10 C．17 D．18
8．函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
10．已知抛物线：的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，且，在其准线上的射影分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A.若直线轴，则 B. C. D.
11．已知函数的导函数为（ ）
A．若有三个零点，则 B．
C．是的极小值点 D．当时，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数，则_____________.
13．已知曲线与的公切线为，则实数__________.
14．已知，对任意的，不等式恒成立，则k的取值范围是_____．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）设函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围．
16．（15分）已知函数．
(1)若，求函数在上的最大值和最小值；
(2)讨论函数的单调性．
17．（15分）如图1，在矩形中，是中点，将沿直线翻折到的位置，使得，如图2.
（1）求证：面PCE面ABCE；
（2）求与面所成角的正弦值.
18．（17分）已知正项数列的前项和为，且满足.
(1)证明：为等差数列.
(2)求的值和的通项公式.
(3)若数列满足，其前项和为，证明：.
19．（17分）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，讨论方程的根的个数.
高二月考数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D C B B C D AC CD
题号 11
答案 ABD
12． 13． 14．
15．(1)答案见解析 (2)
【详解】（1）由，则
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，令，解得，
时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减．
（2） 由题意恒成立，
因为，即得恒成立，即，，
记则，
令，得，令，得，即在上单调递减，
令可得，即在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
16．(1)最大值为，最小值为；(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
17．（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）证明：连结，
由图1可得
在图2中
又面PEC
面ABCE面PCE面ABCE
（2）以点为原点，分别以直线为轴，轴，以经过点且垂直于平面的直线为轴建立直角坐标系.
由题意可知，
设面的法向量为
则令得所以
所以直线与面所成角的正弦值为.
18．(1)证明过程见解析；(2)，；(3)证明过程见解析
【详解】（1）①，
当时，②，
式子①-②得，
故，故，
为正项数列，故，所以，
即，为公差为2的等差数列；
（2）由（1）知，为公差为2的等差数列，
，故，
中，令得，
即，
将代入上式得，解得，
的通项公式为；
（3），
③，
故④，
式子③-④得
，
故.
【详解】（1）的定义域为，则，
因，由，解得，
①当时，恒成立，
所以的无递增区间，递减区间为；
②当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
③当时，，
令，得；令，得，
所以的递增区间为，递减区间为；
综上所述，
当时，无递增区间，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
当时，的递增区间为，递减区间为；
（2）由题设，
令，则，即在上单调递增，
故上式中满足，则有，可得，
令，则，由解得.
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
当时，且，当时，，
故.
结合图象，可知，
当时，方程有0个实根；
当或时，方程有1个实根；
当时，方程有2个实根.
