2024-2025 学年山东省青岛市二中分校高一（下）3 月质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设 = (2,3)， = ( 1,4)，则 等于( )
A. (1, 7) B. (1,7) C. ( 1, 7) D. ( 1,7)
2.为了得到函数 = 3 (2 4 )的图象，只要把函数 = 3 2 图象上所有的点( )
A. 向右平行移动8个单位长度 B.向左平行移动8个单位长度
C. 向右平行移动4个单位长度 D.向左平行移动4个单位长度
3.将向量 = (1,1)绕坐标原点 逆时针旋转 60°得到 ，则 =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
4.已知平面向量 , 满足：| | = 2| | = 2, 与 的夹角为 120°，若( + ) ⊥ ( )( ∈ )，则 =( )
A. 0 B. 1 C. 32 D.
5
2
5.在△ 中， 2 + 2 2 = ，且 = ，则△ 的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6 1.如图所示，△ 中，点 是线段 的中点， 是线段 上的动点，若 = + 2 ，则 + 的值
为( )
A. 1
B. 3
C. 5
D. 8
7.若两个非零向量 ， 满足| + | = | | = 2| |，则向量 + 与 的夹角为( )
A. 6 B.
2 5
3 C. 3 D. 6
8.已知函数 ( ) = 2 ( > 0) 2 在区间[ 3 , 3 ]上是增函数，其在区间[0, ]上恰好取得一次最大值 2，则
的取值范围是( )
A. [ 12 ,
3
4 ] B. [
1
2 ,
5 ) C. [ 3 , 52 4 2 ) D. [
5
2 , 3)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设 1， 2是平面内两个不共线的向量，则以下 ， 可作为该平面内一组基底的( )
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A. = 1+ 2， = 1 B. = 2 1 + 2， =
1 1
2 1+ 4 2
C. = 1 + 2， = 1 2 D. = 1 2 2， = 1 + 4 2
10.函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. = 3
B. ( 11 24 ) = 2
C. 函数 ( )关于( 3 , 0)对称
D.函数 ( ) 3 在[ , 2 ]上是增函数
11.下列说法正确的是( )
A.已知向量 = (1,1)， = ( , 2)，且 ⊥ ，则 = 2
B.向量 = (2,3)， = ( , 2)，则“ , 的夹角为锐角”是“ > 3”的充要条件
C.若 2 + + 3 = 0， △ 、 △ 分别表示△ 、△ 的面积，则 △ ： △ = 1：6
D.在△ 中，向量
与 满足( +
) = 0，且 =
1
2，则△ 为等边三角形| | | | | | | |
三、填空题：本题共 3 小题，共 15 分。
12 △ = 5 = = 2 5.在 中，若 ， 4， 5 ，则 = ______．
13.已知 = (2,1)， = ( , )，则 的最大值为______．
14.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，图
2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图 2，正八边形 中，若 = + ( , ∈ )，
则 + 的值为______；若正八边形 的边长为 2， 是正八边形 八条边上的动点，则
的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
设向量 ， 满足 = 3，| | = 3，| | = 2．
(1)求向量 ， 的夹角；
(2)求| |.
16.(本小题 15 分)
在平面四边形 中，∠ = 3，∠ =
2， = 4．
(1)若△ 的面积为 3 3，求 ；
(2)若 = 3 3，∠ = ∠ ，求 tan∠ ．
17.(本小题 15 分)
已知平面向量 , , ，且 = ( 2,1)．
(1)若 // ，且| | = 25，求向量 的坐标；
(2)若 = (3,2)，求 在 方向的投影向量(用坐标表示)．
18.(本小题 17 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 + = 2 ．
(1)求 ；
(2) = 2 若 3，且△ 的周长为 2 + 5，求△ 的面积．
19.(本小题 17 分)
已知 为坐标原点，对于函数 ( ) = + ，称向量 = ( , )为函数 ( )的相伴特征向量，同时
称函数 ( )为向量 的相伴函数．
(1)记向量 = (3, 3)的相伴函数为 ( )，若当 ( ) = 3 且 ∈ ( 3 , 3 )时，求 的值；
(2)设 ( ) = 3cos( + 3 ) + cos(
6 )( ∈ )，试求函数 ( )的相伴特征向量
，并求出与 同向的单
位向量；
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(3)已知 = (0,1)为函数 ( )的相伴特征向量，若在△ 中， = 2， = ( 6 )，若点 为该△
的外心，求 + 的最大值．
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参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.2 10
13. 5
14. 2 2 2
15.解：(1) ∵ = 3，| | = 3，| | = 2，
∴ cos < , >= = 3 = 1，
| || | 3×2 2
又< , >∈ [0, ]，∴< , >= 3；
(2)| | = ( )2 = | |2 2 + | |2 = 9 2 × 3 + 4 = 7．
16.
17.解：(1)设 = ( , ), = ( 2,1)，
∵ // ，
∴ = 2 ，
又| | = 25，
∴ 2 + 2 = 625，
∴ 2 = 125，
∴ =± 5 5，
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∴ = 10 5 = 10 5或 ，
= 5 5 = 5 5
∴ = ( 10 5, 5 5)或(10 5, 5 5)；
(2) = 6+ 2 = 4，
∴
= 4 13 =
4 13
13 ，| |
∴ 在 12 8上的投影向量为( 13 , 13 )．
18.解：(1)由题设有 ( + ) = 2 ，
则 ( + ) = 2 ，
所以 ( + ) = 2 ，而 + = ，
故 = 2 ，又 > 0，
所以 = 2．
2 2 2 2 2
(2) (1) = + = + 4 1由 及已知，有 2 2 = 2，
整理得 2 + 2 + = 4，
又 + + = 2 + 5，即 + = 5，
所以( + )2 = 5 = 4，解得 = 1，
1故 △ = 2 =
3
4 ．
19.解：(1) 为坐标原点，对于函数 ( ) = + ，
称向量 = ( , )为函数 ( )的相伴特征向量，同时称函数 ( )为向量 的相伴函数．
向量 = (3, 3)的相伴函数为 ( )，当 ( ) = 3 且 ∈ ( 3 , 3 )时，
根据题意知，向量 = (3, 3)的相伴函数为：
( ) = 3 + 3 = 2 3sin( + 6 )，
当 ( ) = 2 3sin( + 6 ) = 3 时，sin( +
6 ) =
3
2 ，
∈ ( 又 3 ,
3 )，则 + 6 ∈ ( 6 , 2 )，
∴ + 6 = 3，故 = 6；
(2) ∵ ( ) = 3cos( + 3 ) + cos( 6 ) = 3( 3 3 ) + 6 + 6 = +
3 ，
∴函数 ( )的相伴特征向量 = ( 1, 3)，
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= ( 1, 3)
1
与 同向的单位向量为 = ( 1, 3) = (
1 , 3 )；
| | 2 2 2
(3) = (0, 1)为函数 ( )的相伴特征向量，
在△ = 2 = ( 中， ， 6 )，点 为该△ 的外心，
由题意得， ( ) = ，
△ = 2 = ( ) = cos = 3 在 中， ， 6 6 2 ，∴ = 6，
设△ 外接圆半径为 ，根据正弦定理， = 2 = 4，∴ = 2，
∴ | | = | | = | | = 2，
+ = ( ) + ( ) ( )
= +
2
+
2
= 2 + + = 8 ∠ + 4 ∠ + 4，
= 6 , ∠ = 2 =
3 , cos∠ = cos
3 =
1
2，
代入得 + = 6 8 ∠ ，
∴当∠ = 时， + 的最大值为 6 + 8 = 14．
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