2024-2025 学年江苏省南京市鼓楼二十九中高二（下）第二次 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数 ( ) = ( 4) 2 +3，则 ′( ) =( )
A. ( 3) 2 +3 B. 2( 3) 2 +3 C. (2 5) 2 +3 D. (2 7) 2 +3
2.如图，空间四边形 中， = ， = ， = ，且 = 2 ， = ，则 等于( )
A. 23 +
2
3
+ 1 B. 12 2 +
1
2
12
C. 23 +
1 1 1
2 + 2 D. 2
2 + 13 2
3.已知{ }是单调递增的等比数列，且 4 + 5 = 27， 3 6 = 162，则公比 的值是( )
A. 3 B. 3 C. 2 D. 2
2
4
2
.已知双曲线 2 4 = 1( > 0)的一条渐近线与直线 2 + 3 = 0 垂直，则 的值为( )
A. 4 B. 14 C. 2 D.
1
2
5.已知点 (4,0)，圆 ：( )2 + ( )2 = 1，若圆 上存在点 使得 = 3，则实数 的最小值是( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. 2
6.在最近南京市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校 5 名同学到甲、乙、丙三个服务
点做志愿者，每名同学只去 1 个服务点，每个服务点至少 1 人，则不同的安排方法共有( )
A. 25 种 B. 150 种 C. 300 种 D. 50 种
7.甲口袋中有 3 个红球，2 个白球和 5 个黑球，乙口袋中有 3 个红球，3 个白球和 4 个黑球，先从甲口袋
中随机取出一球放入乙口袋，分别以 1， 2和 3表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从
乙口袋中随机取出一球，以 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )
A. ( | ) = 42 11 B.事件 1与事件 相互独立
C. ( 3| ) =
1
2 D. ( ) =
3
10
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8 .已知函数 ( ) = 2 + ， ( ) = + ，当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≥ ( )恒成立，则实数 的取值范
围是( )
A. [ 1 2 , + ∞) B. [
1
, + ∞) C. [1, + ∞) D. [ , + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A.若 ( ) > 0，则 ( | ) ≥ ( )
B.若 ( ) = 0.64, ( ) = 0.32，则 ( ) = 0.32
C. 1若随机变量 ( , 3 )，且 (3 + 2) = 12，则 (3 + 2) = 8
3
D.若随机变量 的分布列为 ( = ) = 2 133 ( = 0,1,2) ( ) =
1
，则
15 3
10.在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 在底面 内运动(含边界)，点 是棱 1的中点，则( )
A.若 是棱 的中点，则 //平面 1
B.若 ⊥平面 1 1 ，则 是 上靠近 的四等分点
C.点 到平面 1
3
1 的距离为 4
D.若 在棱 上运动，则点 到直线 21 的距离最小值为5 5
11.已知函数 ( ) = sin2 + (参考数据： 2 ≈ 7.4)，则下列说法正确的是( )
A. ( )在(0, 2 )上单调递增
B. ( )在 = 0 处的切线方程为 =
C. ( )在( , )内共有 1 个极值点
D.设 ( ) = ( ) 1，则 ( )在 上共有 3 个零点
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.二项式( 3 + 1 2 ) 的展开式中，只有第 6 项的系数最大，则该展开式中的常数项为____．
13.如图所示是某展区的一个菊花布局图，现有 5 个不同品种的菊花可供选择，要求相邻的
两个展区不使用同一种菊花，则不同的布置方法有______种.
14.在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，按照这个原理，已知 是滑杆上的一个定点， 可以在滑杆上
4
自由移动，线段| | = | | = 4，点 ， 是 上两点， 是 中点，且| | = 3，如图，过 作 的垂线，
满足| | = 1，则点 所形成的轨迹 1的离心率 1 = ______；点 所形成的轨迹 2的离心率 2 = ______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = 1 且 2 = ( + 1) ．
(1)求{ }的通项公式；
(2) = 1记 + 2
，求数列{ }的前 项和 +1
16.(本小题 15 分)
“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统.在一个分布式计算系统中，若
一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的 20%，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采
购了一批共计 台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为 ．
(1)若 = 3， = 0.2，记 为一次计算中正常运行的计算机数量，求 的分布列和数学期望；
(2)若 = 24， = 0.16，请估计一次计算中正常运行的计算机数量最有可能是多少？
17.(本小题 15 分)
3 3
已知动点 到点(0, 2 )的距离比它到直线 + 3 = 0 的距离小2，记动点 的轨迹为 ．
(1)求轨迹 的方程．
(2)已知直线 ： = + 3 与轨迹 交于 ， 两点，以 ， 为切点作两条切线，分别为 1， 2，且 1， 2相交
于点 .若点 在直线 = + 3 上，求 的值．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)若底面 是正方形， = = 6. 为 中点，点 在棱 上，且平面 与平面 的夹角的余
3
弦值为 3 ．
(ⅰ)求 ；
(ⅱ)平面 交 于点 ，点 在平面 上，求 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
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19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( ) ．
(1)当 = 时，求 ( )的单调区间；
(2)设 1， 2( 1 < 2)是 ( )的两个极值点，
①求证： 1 + 2 >
2
；
2 1+
②求证： < 2
2
1 < + 2 + 1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.210
13.420
14.2 2 4 153 17
15. = ；
+1 = +1 + 2 2．
16.
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17.
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18.解：(1)证明：在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ，
∵ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ．
又 ⊥ ， 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ．
(2)底面 是正方形， = = 6. 为 中点，
点 在棱 上，且平面 与平面 的夹角的余弦值为 3，
3
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示空间直角坐标系，如图．
(ⅰ) (0,6,0)， (0,0,6)， (3,0,3)，
= (3,0,3)， = (0,6, 6)， = (0,0,6)，
设 = = (0,6 , 6 )(0 ≤ ≤ 1)，
则 = + = (0,0,6) + (0,6 , 6 ) = (0,6 , 6 6 )．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 3 + 3 = 0
则 ，取 = ，得 = ( , 1, )，
= 6 + 6(1 ) = 0
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∵ ⊥平面 ，∴ = (0,0,6)是平面 的一个法向量．
∵平面 与平面 的夹角的余弦值为 3，
3
∴ |cos , | = | | = 3
2 2 3 ，解得 =
1
2，∴ =
1
2 = 3 2．2 +( 1)
(ⅱ)平面 交 于点 ，点 在平面 上，
设 = ，则 = + = (0,0,6) + (6,6, 6) = (6 , 6 , 6 6 )．
∵ = ( 1 1 12 , 2 , 2 )为平面 的一个法向量，∴ ⊥ ，
∴ = 3 3 + 3 3 = 9 + 3 = 0，即 1 3 = 0 =
1
，得 3，
∴ = (2,2,4)， (2,2,4)．
(0,3,3)， = (6,0,0)， = (0,6,0)， = ( 6,0,6)， = (0,6,0)， = ( 1,2,1)，
∵ 在平面 上，∴ = + ，
∴ = + + = (6,0,0) + (0,6,0) + ( 6,0,6) = (6 6 , 6 , 6 )．
设平面 的法向量 = ( 1, 1, 1)，
= 6 1 = 0则 ，取 1 = ，得 = ( , 0, 1)， = (6 6 ) 1 + 6 1 + 6 1 = 0
设 与平面 所成角为 ，
1 1
则 = |cos < ， > | = =6 2+( 1)2 6 2 2 2 +1，
∵ 2 2 2 + 1 ∈ [ 12 , + ∞)，∴ ∈ (0,
3
3 ]，
∴ 与平面 所成角的正弦值的取值范围为(0, 33 ]．
19.解：(1) = 时， ( ) = ( ) ， ′( ) = 在(0, + ∞)上单调递增，又 ′( ) = 0，
所以 ∈ (0, )， ′( ) < 0， ∈ ( , + ∞)， ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, )单调递减，在( , + ∞)单调递增．
(2) 证明：①依题意 ′( ) = = 0，即 = 的两根为 1， 2，
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令 ( ) = ， ′( ) = 1 + ，
∈ (0, 1 ), ′( ) < 0
1 1
， ( )单调递减， ∈ ( , + ∞), ′( ) > 0， ( )单调递增，则 0 < 1 < < 2 < 1．
令 ( ) = ( 2 ) ( ), (0 < <
1
)，
2
则 ′( ) = ln( 2 + ) 2 > 0，所以 ( )
1
在(0, )单调递增，所以 ( ) < (
1
) = 0，
2 2
所以 ( 1) < ( 1) = ( 2)，又 >
1
1 , 2 >
1
， ( ) (
1
在 , + ∞)单调递增．
2
所以 1 < 2，即 1 + >
2
2 ．
2 2 1+ 2 2 1+
②由 2 > 1，要证明 2 1 > ，只需证 2 1 > ，
即证明 1 1 > 1 + ，
即证明 21 2 1 > = 1 1
即证明 1 2 > 1，
即证明 1 1 > ( ) = 1 ∈ (0,
1
1，设 ， )，
( ) = 1 1则 ′ ，则当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0，则 ( )
1
在(0, )单调递减，
1 1
则 ( ) > ( ) = + 1 > 0，则 1 > 0 在(0,
1
)上恒成立，从而左边得证．
因为 ′(1) = 1 + = 1， ′( 2) = 1 + 2 = 1，且 (1) = 0， ( 2) = 2 2，
则 ( )在(1,0)和( 2, 2 2)处的切线分别为 = 1 和 = 2，
令 = ，得 3 = 2, 4 = + 1，
再证明 > 1 恒成立，
设 ( ) = + 1，则 ′( ) = ，令 ′( ) = 0，解得 = 1，
且 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减； ∈ (1, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
则 ( ) > (1) = 0，则 > 1 恒成立，
设 ( ) = + + 2， ′( ) = 1 + 2 > 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
又因为 → 0 且大于 0 时， ( ) → 2，则 ( ) > 0 恒成立，
所以 22 1 < 4 3 = + 2 + 1．
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