备战2025年中考数学专题训练：一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知关于x的不等式的解集为，那么直线不经过第（ ）象限．
A．一 B．二 C．三 D．四
2．在平面直角坐标系中，将直线向左平移个单位长度后图象经过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺，上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺，问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？注：1尺寸），如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图像，则图中交点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．45
5．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．上午点接通电源，可以保证当天水温为
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点D在x轴负半轴上，顶点C在直线上，若顶点E的坐标是，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．在中，如果，那么 ；如果，那么 ．
8．一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是 ．
9．某水果店销售某种水果，销售额y（元）与一次销售量与之间的函数关系如图所示．若王叔叔从该水果店一次性购买该种水果，需要付款 元．
10．在物理实验中，弹簧长度与悬挂物质量的关系为．当悬挂物质量为时，弹簧长度为 ．
11．给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“完美间距”，例如：如图，点，，3）的“完美间距”是1．
（1）点，，的“完美间距”是 ；
（2）已知点，点为线段CD上一动点，当的“完美间距”取最大值时，求此时点P的坐标 ．
12．如图所示，已知一次函数 与反比例函数 交于点 ，， 为一次函数上一点，作等腰直角三角形 与 使得 在 轴正半上，延长交 于点 ，连接，若 ，为中点， ，则 ．
13．在平面直角坐标系中，将直线沿轴向下平移5个单位，得到的直线所对应的函数表达式为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点B，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点B的对应点B1落在直线上，再将绕点B1逆时针旋转到的位置，使点O1的对应点O2也落在直线上，如此下去，…，若点B的坐标为，则点的坐标为 ．
三、解答题
15．如图，一次函数的图像l与反比例函数的图像在第四象限内的部分交于点，将一次函数的图像l向上平移后与反比例函数的图像交于点M．已知的面积为3．
(1)求k的值；
(2)求平移后得到的直线相应的函数表达式．
16．某超市购入一批进价为40元/箱的牛奶进行销售，销售单价不低于45元，且不高于60元．经市场调查发现：日销售量（箱）与销售单价（元）（为正整数）是一次函数关系，如图所示．
(1)求与的函数关系式；
(2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
(3)若日销售利润不少于375元，直接写出所有满足条件的销售单价．
17．如图，在平面直角坐标系中，，是一次函数的图象和反比例函数图象的两个交点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)观察图象，直接写出不等式的解集．
18．已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．如图图中x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离 0.6
②填空：张华从文化广场返回家的速度为 ；
③求出张华从画社到到达文化广场前，他离家的距离y关于时间x的函数解析式；
(2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么爸爸在去文化广场的途中，两人相遇时离家的距离是多少？
19．已知二次函数的图像与轴交于、两点，且点，其对称轴为过点且平行于轴的直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)过点作轴的平行线与二次函数图像交于点M、N，点为直线上一动点，点为二次函数图像上一动点（不与重合），连接、、，将沿直线翻折得到．
①当点在对称轴左侧，点与点重合时，求点的坐标．
②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，直接写出点的坐标．
20．某文创店经销两种春节纪念品，两次购进纪念品的情况如表所示：
种纪念品（件） 种纪念品（件） 合计金额（元）
第一次
第二次
（备注：，两种纪念品的进价保持不变）
(1)求、两种纪念品的进价；
(2)销售完前两次购进的纪念品后，该店第三次购进、两种纪念品共件，且进货资金不超过元，将其中的件种纪念品和件种纪念品按进价销售，剩余的种纪念品按元/件，种纪念品按元/件销售．若第三次购进的件纪念品全部售出后，获得的最大利润为元，求的值．
《备战2025年中考数学专题训练：一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A A A C D B
1．A
【分析】由已知不等式的解集确定出k与b的正负，利用一次函数性质判断即可．此题考查了不等式的解集，以及一次函数的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
【详解】解：∵
∴
∵关于x的不等式的解集为，
∴，
∴直线不经过的象限是第一象限．
故选：A．
2．A
【分析】本题主要考查了正比例函数的平移、求正比例函数的解析式，根据将直线向左平移个单位长度后图象经过点，可得平移前直线经过点，利用待定系数法求出的值即可．
【详解】解：将直线向左平移个单位长度后图象经过点，
平移前直线经过点，
即直线经过点，
可得：，
解得：，
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系．根据图象过点，且，即可确定不等式的解集．
【详解】解：根据函数图象可知，不等式即的解集是：，
故选：A．
4．C
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为寸，然后列出相应的方程，求解即可．
【详解】解：设两图象交点的横坐标是，则：
，
解得，
两图象交点的横坐标是，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故A不合题意；利用点，可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意；令，则，求出每20分钟，饮水机重新加热，则时间为时，可以得到饮水机是第二次加热，把，代入到反比例函数中，求出y，即可得到此时水温，故C不符合题意；先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间，故D符合题意．
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意；
在中，令，则，
即：每20分钟，饮水机重新加热，
∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热，
把代入，得：，
即：10:30时的水温为，故C选项说法正确，不合题意；
当水温升至时，用时，
当水温降至时，，解得：，
∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，将此代入直线解析式，求出的坐标，即可求解；掌握平行四边形的性质是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
轴，
，
顶点E的坐标是，
，
，
解得：，
，
，
；
故选：B．
7．
【分析】本题考查求一次函数的函数值或自变量的值，将自变量的值或函数值代入解析式进行求解即可．
【详解】解：当时，；
当时，，解得：；
故答案为：，12．
8．
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，对于一次函数（，k，b为常数），当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小，当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方．根据题意可得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由题意可得，
，
解得：，
故答案为：．
9．220
【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数解析式等知识点，正确求得函数解析式成为解题的关键．
先根据题意求出时与y之间的函数关系式，再把代入计算即可解答．
【详解】
解：当时，设与之间的函数关系式为，
根据题意得：，
解得：，
所以，
当时，，
所以小强同学在该家水果店一次购买该种水果，需要付款元．
故答案为：220．
10．20
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是将给定的自变量的值代入函数关系式中求解因变量的值．
已知弹簧长度与悬挂物质量的函数关系式，要求当时的值，只需将代入函数式计算．
【详解】当悬挂物质量时，将代入中，
，
故答案为：20．
11．
【分析】本题考查一次函数背景下的新定义，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）分别计算出，，的长度，比较得出最小值即可；
（2）当点的“完美间距”为或者的长度，先求出直线的解析式，用表示出线段和线段的长度，分两类讨论，即可求解．
【详解】解：（1）如图，在给出图形中标出点，，，
，，，
，，
在中，，
∴“完美间距”为1，
故答案为：1；
（2）如图：
设直线为，代入点得：，
∴，
∴直线的解析式为：，
∵，且是线段上的一个动点，
∴轴，
∴，
①当时，即时， ，“完美间距”为，此时，
②当，即时，，“完美间距”为，此时，
∴点的“完美间距”取到最大值时，，
，
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
过点作轴于点，过点作，交延长线于点，证明，则有，，从而可得点的横坐标与点的横坐标相同为，再根据 ，轴及等腰三角形的性质可得出，点的纵坐标为，则点，，再求出点，设解析式为，从而有解析式为，联立，求出点即可．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，
∴，
∵ 与 是等腰直角三角形，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的横坐标与点的横坐标相同为，
∵ ，轴，
∴，
∵，，
∴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，
∵，，
∴，
当时，，
∴，点的纵坐标为，
∴点，，
∵为中点，
∴点，
设解析式为，
∴，解得，
∴解析式为，
联立：，解得，
∴点，
∵反比例函数 图象过点 ，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换．根据平移法则“左加右减，上加下减”可得出平移后的解析式．
【详解】解：把直线沿轴向下平移5个单位后，
所得到的直线对应的函数解析式是，即．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，勾股定理等知识，先求出点的坐标，进而得出的周长，根据所给旋转方式发现点（为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题，能根据所给旋转方式发现（为正整数）长度的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题知，
将代入得，，
∴点的坐标为，
∴， ，
在中，，
∴，
由所给旋转方式可知，点（为正整数）在直线上，
∴，
，
，
…，
∴，
令，
解得：，
∴，
即
令点的坐标为，
∴，
解得：（舍正），
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】题目主要考查一次函数得性质，平移，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键．
（1）将点A代入直线解析式，从而得到A点坐标，再代入反比例函数解析式即可求得k；
（2）设平移后的直线交y轴于点B，连接，根据平移可知，可得，从而可得点B的坐标，根据直线平行时k值不变，利用待定系数法即可进行求解．
【详解】（1）解：当时，，
解得：，
∴，
把代入反比例函数得：；
（2）设平移后的直线交y轴于点B，连接．由平移知，
∴．
又∵的面积为3，
∴，即，得，
即，
设平移后的直线的函数表达式为，
把代入得，
∴平移后的直线的函数表达式为．
16．(1)
(2)当销售单价为元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是元
(3)元、元、元、元、元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的最值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）设每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数解析式为，结合图形利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据“每天利润每件利润每天的销售量”建立方程求解，即可解题；
（3）根据利润的表达式，即可解题．
【详解】（1）解：设，将，带入解析式，
得：，
解得，
即．
（2）解：设日销售利润为，
则，
易得当销售单价为50元时，该经销商所获日销售利润最大，最大利润是400元．
（3）解：日销售利润为，
由题意得，即，
化简得，即，
为正整数，
满足条件的销售单价为、、、、．
17．(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数关系式是解题的关键．
（1）先把点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点坐标代入反比例函数解析式求出点的坐标，再把、坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可；
（2）只需要找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：由题意，将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数的表达式为，
将代入，
得：，
解得：，
则，
将，代入，
得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：由函数图象可知不等式的解集为或．
18．(1)①，，；
②；
③y＝0.15x﹣2.25
(2)爸爸在去文化广场的途中，两人相遇时离家的距离是，
【分析】本题主要考查一次函数，熟练掌握一次函数的图像是解题的关键．
（1）①根据函数图像获取信息得到答案即可；
②根据速度的计算公式计算即可；
③用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分爸爸与张华在画社相遇与爸爸与张华在画社到文化广场途中相遇两种情况进行分类讨论即可．
【详解】（1）①由图象可填表：
张华离开家的时间 1 4 13 30
张华离家的距离
故答案为：，，；
②由图象可知，张华从文化广场返回家的速度为，
故答案为：；
③张华从画社到文化广场的速度为，
当时，；
（2）爸爸的速度为：，
①爸爸与张华在画社相遇，，此时张华出发，在画社，符合题意．
②爸爸与张华在画社到文化广场途中相遇，设张华出发x分钟时和爸爸相遇，
根据题意得：，
解得，
，
答：爸爸在去文化广场的途中，两人相遇时离家的距离是，．
19．(1)
(2)①；②，，，
【分析】（1）先根据题意得出抛物线的对称轴为直线，求出a的值，然后把代入求出c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）①连接，交于点Q，根据折叠得出垂直平分，，设点E的坐标为，根据勾股定理得出，求出，根据中点坐标公式得出，求出直线的解析式为：，联立，求出点P的坐标为；
②先说明当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，为直角三角形，只能，一定是矩形的对角线，证明为等腰直角三角形，，过点B作于点H，过点P作于点G，证明，得出，，设点，，点，得出，，，，得出，分类讨论，解方程即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为过点且平行于轴的直线，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：①连接，交于点Q，如图所示：
把代入得：，
解得：，，
∴，，
∴，
根据折叠可知：垂直平分，，
设点E的坐标为，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，即，
设直线的解析式为：，把，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立，解得：，，
∴此时点P的坐标为；
②当以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，为直角三角形，
∵沿直线翻折得到，
∴，，
∴当或时，或，
∴当或时，点E、P、或E、B、在同一条直线上，
∴当或时，以点、E、P、为顶点不可能组成四边形，
∴只能，
∴一定是矩形的对角线，
∴以点、E、P、为顶点的四边形是矩形时，，
∴，
∵，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，，
过点B作于点H，过点P作于点G，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设点，，点，
∴，
，，，
∴，
∴，
Ⅰ．当时，，
把代入得：
，
即，
当时，，解得：或（舍去），
∴此时，，，
根据中点坐标公式得：，
解得：，
∴，
∴此时点E与重合，不符合题意；
当时，，解得：或（舍去），
∴此时，，，
根据中点坐标公式得：，
解得：，
∴；
当时，，
解得：（舍去）或（舍去）；
当时，，解得：（舍去）或，
∴此时，，，
根据中点坐标公式得：，
解得：，
∴；
Ⅱ．当时，，
把代入得：
，
即，
当时，，解得：或（舍去），
∴此时，，，
根据中点坐标公式得：，
解得：，
∴；
当时，，解得：或（舍去），
∴此时，，，
根据中点坐标公式得：，
解得：，
∴；
当时，，解得：（舍去）或，
∴此时，，，
根据中点坐标公式得：，
解得：，
∴；
当时，，解得：（舍去）或（舍去）；
综上分析可知：点的坐标为：，，，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，轴对称的性质，求二次函数解析式，三角形全等的判定和性质，两点间距离公式，中点坐标公式，矩形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
20．(1)元/件，元/件
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式与一次函数，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）设种纪念品的进价为每件元/件，种纪念品的进价为元/件，根据“两次购进纪念品的情况”，列出二元一次方程组，解之即可；
（2）设第三次购进件种纪念品，则购进件种纪念品，根据“进货资金不超过元”，列出一元一次不等式，解出的取值范围，设获得的利润为元，列出关于的一次函数，根据一次函数的性质确定出的值，进而可得到答案．
【详解】（1）解：设种纪念品的进价为每件元/件，种纪念品的进价为元/件，
由题意，得，
解得，
答：种的进价为元/件，种的进价为元/件；
（2）解：设第三次购进件种纪念品，则购进件种纪念品，
由题意，得，
解得：，
设获得的利润为元，
，
，
，
随的增大而减小，
时，的值最大，最大值为
由题意，得，
解得，
的值为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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