2024-2025 学年上海师范大学附属外国语中学高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .设 是第一象限的角，则2所在的象限为( )
A.第一象限 B.第三象限
C.第一象限或第三象限 D.第二象限或第四象限
2.已知 3 为锐角 的内角，则“sin = 2 ”是“ = 3”的( )
A.充分而不必要条件 B.充要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.在 中， = 4， = ， = 1，若满足条件的 有 2 个，则 的取值范围是( )
A. (0,1] ∪ 2 B. 0,1 ∪ 2 C. 0, 2 D. 1, 2
4 2 4 .设集合 = | = sin 2023 + sin 2023 + sin
6 2
2023 + + sin 2023 , ∈ , > 0 ，则集合 的元素个数为( )
A. 1011 B. 1012 C. 2022 D. 2023
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.1860 的角属于第 象限．
6.已知 5,12 在角 的终边上，则 cos + = ．
7.已知扇形圆心角 = 60 , 所对的弧长 = 6 ，则该扇形面积为 ．
8.已知 sin + cos = 15，则 sin cos = ．
9.若 是第三象限角，且 sin + cos sin cos + = 513，则 tan 等于 ．
10.在 中， = 2, = 3，其面积为 5 3，则边 = ．
11.若 tan = 2，则 sin2 = ．
2216 1
12. 2sin18 的值为 ．
13.若 2 + 2 = ，则 cos( + )cos( ) = ．
14 3 4.如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，且点 位于第一象限，点 的坐标为 5 , 5 ，
∠ = .若 = 1，则 3 2 2 sin
2 cos
3的值为 ．
2 2
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2
15.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 2sin sin cos + cos2 = 1 ，则 的最小值为 ．
16.在 1 1 1中，若 1， 1， 1三点分别在边 1 1， 1 1， 1 1上(均不在端点上)，则△ 1 1 1，△ 1 1 1，
△ 1 1 1的外接圆交于一点 ，称为密克点.在梯形 中，∠ = ∠ = 60 ， = 2 = 2， 为 的
中点，动点 在 边上(不包含端点)， 与 的外接圆交于点 (异于点 )，则 的最小值为 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知 0 < < 2 < < ，sin =
5
13，cos =
3
5．
(1)求 sin( + )的值；
(2)计算 2 的值．(用反三角表示)
18.(本小题 14 分)
如图，为了测量山顶 和山顶 之间的距离，飞机沿水平方向在 ， 两点进行测量， ， ， ， 在同一铅
垂平面内．飞机从点 到点 路程为 ，途中在点 观测到 ， 处的俯角分别为 ， ，在点 观测到 ，
处的俯角分别为 ， ．
(1)求 的面积(用字母表示)；
(2)若 = 10 3， = 75 ， = 30 ， = 45 ， = 60 ，求 ， 之间的距离．
19.(本小题 14 分)
tan +tan 2sin 1+sin2 cos2
已知条件：① tan = sin ；② 1+sin2 +cos2 = 3；③ 3sin = 2sin sin +
3 .在这三个条件中任
选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在 中，角 ， ， ，满足：______.注：如果选择多个
条件分别作答，按第一个解答计分．
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(1)求角 的大小；
(2)若 为锐角三角形，求 2 + 2 的取值范围．
20.(本小题 14 分)
在平面直角坐标系 中， ， 是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点 )于 ，
两点
(1) 1 3 已知点 ( 2 , 2 )，将 绕原点顺时针旋转2到 ，求点 的坐标；
(2) 1若角 为锐角，且终边绕原点逆时针转过6后，终边交单位圆于 ( 3 , )，求 sin 的值；
(3)若 ， 两点的纵坐标分别为正数 ， ，且 cos( ) ≤ 0，求 + 的最大值．
21.(本小题 14 分)
2
对于集合 = , , , 和常数 ，定义： = 1 0 +
2 2 0 +…+ 2 0
1 2 0 为集合 相对 0的
“余弦方差”．
(1)若集合 = 6 , 4 ， 0 = 0，求集合 相对 0的“余弦方差”；
(2)求证：集合 = 3 ,
2
3 , ，相对任何常数 0的“余弦方差”是一个与 0无关的定值，并求此定值；
(3) 若集合 = 4 , , ， ∈ 0, , ∈ , 2 ，相对任何常数 0的“余弦方差”是一个与 0无关的定值，求
出 、 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.一
6. 513
7.54
8. 1225
9. 512
10.10
11. 45
12. 12/ 0.5
13. 1
14.45/0.8
15.23
16. 7 1/ 1 + 7
17.(1)因为 0 < < 2 < < , sin =
5 3
13 , cos = 5，
所以 cos = 1 2 = 1213 , sin = 1
2 = 45，
sin + = sin cos + cos sin = 5 3 12 4 33则 13 × 5 + 13 × 5 = 65．
2
(2)因为 cos2 = 1 2 2 = 1 2 × 5 11913 = 169 > 0，
又 0 < 2 < 0 < 2 < ，则 2，故 2 = arccos
119
169．
18.解：(1)由题意可知∠ = ，
= = sin sin 由正弦定理sin∠ sin ，得 sin∠ = sin + ，
2
面积 = 12 sin =
sin sin
2sin + ．
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(2) (1) = sin 10 3sin45
由 知 sin + = sin 75 +45 = 10 2，
在 中，sin∠ = sin∠ ，
= ∠ = 10 3 120
∠ (180
= 30，
120 30 )
在 中，∠ = = 45 ，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠
= 200 + 900 2 × 10 2 × 30 × cos45 = 500，
所以 = 10 5．
19.(1) tan +tan 2sin 选择条件① tan = sin ：
sin +sin cos cos = 2sin 则有 sin sin ，sin cos + cos sin = sin + = sin = 2sin cos ，
cos
∈ 0, ，sin ≠ 0 1 ，于是 cos = 2，又 ∈ 0, ，所以 = 3．
1+sin2 cos2
选择条件② 1+sin2 +cos2 = 3：
1+sin2 cos2 2sin cos +2 2 2sin cos +sin
因为1+sin2 +cos2 = 2sin cos +2 2 = 2cos cos +sin = tan ，
解得 tan = 3，又 ∈ 0, ，所以 = 3．
选择条件③ 3sin = 2sin sin + 3 ：
即 3sin + = sin sin + 3sin cos ，
整理得： 3sin cos = sin sin ，由 sin ≠ 0 得：tan = 3，又 ∈ 0, ，所以 = 3
(2)由(1)知， = 3 , =
2
3 ， 为锐角三角形，
< < 所以6 2，
1 cos 4 2
2
2 1 cos2 3
+ 2 = 2 + 2 3 = 2 + 2
= 1 12 cos2 + cos
4
3 2 = 1
1 1
2 2 cos2
3 sin2 = 1 + 1 sin 2 2 2 6 ，
因为6 < <
5
2，所以6 < 2 6 < 6，
1
所以2 < sin 2 6 ≤ 1，
5 < 1 + 14 2 sin 2
≤ 36 2，故
2 + 2 5 3的取值范围为 4 , 2 ．
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20.(1)设点 在角 的终边上，
1 3 1
又 2 , 2 ，则 cos = 2 , sin =
3
2 , = 1，
所以点 在角 2的终边上，且 = 1，
所以点 的横坐标为 cos 2 = sin =
3 sin 2 ，纵坐标为 2 = cos =
1
2，即
3 1
点坐标为 2 , 2 ．
(2) ∵ 1顶点在原点的锐角 绕原点逆时针转过6后，终边交单位圆于 ( 3 , )，
∴ > 0 1，且 2 = 9 +
2 = 1，求得 = 2 23 ，
则 sin + 6 = =
2 2
3 ，cos +
1
6 = 3，
则 sin = sin + 6 6 = sin + 6 cos 6 cos +
6 sin
6
= 2 2 × 3 1 1 2 6+13 2 + 3 × 2 = 6 ．
(3)角 和角 一个在第一象限，另一个在第二象限，
不妨假设 在第一象限，则 在第二象限，
根据题意可得 cos , , cos , ，且 = sin > 0, = sin > 0，
∴ cos = 1 2，cos = 1 2，
∴ cos = cos cos + sin sin = 1 2 1 2 + ≤ 0，
即 1 2 1 2 ≥ ，平方可得， 2 + 2 ≤ 1，当且仅当 = 时，取等号．
∴ + = + 2 = 2 + 2 + 2 ≤ 2 2 + 2 ≤ 2，当且仅当 = 时，取等号，故当 = 时，
+ 取得最大值为 2．
2 6 0 +
2 0 3+1
21.(1) = 4 = 4 2 = 5依题意得， 2 2 8；
2 0 + 2
2 0 + 2 (2) 0证明：由“余弦方差”定义得： = 3 33
，
2
= cos cos + sin sin + cos 2
2
则分子 3 0 3 0 3 cos 0 + sin
2
3 sin 0 + cos cos 0 + sin sin
2
0
2 2
= 12 cos
3 1
0 + 2 sin 0 + 2 cos 0 +
3 2 1 2 3 2 2 3
2 sin 0 + 0 = 2 0 + 2 0 + 0 = 2，
3
∴ = 2 = 13 2为定值，与 0的取值无关．
(3)分子
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2
= cos 4 cos
2 2
0 + sin 4 sin 0 + cos cos 0 + sin sin 0 + cos cos 0 + sin sin 0
1 1
= 2
2 0 + 2
2 0 + sin 0cos 0
+ 2 2 2 20 + 0 + 2sin 0cos 0sin cos
+ 2 2 2 20 + 0 + 2sin 0cos 0sin cos
1 1
= 2 +
2 + 2 2 0 + 2+
2 + 2 2 0 + 1 + sin2 + sin2 sin 0cos 0
1+ cos2 0 1 1 cos2 1= 2 2+
2 + 2 + 0 2 22 2 + +
1
+ 2 1 + sin2 + sin2 sin2 0
cos2 0 sin2 1 1= 2 cos2 + cos2 +
0
2 1 + sin2 + sin2 + 2 2+
2 + 2
1 1
+ 2 22 2 + +
= 32 +
1
2 sin2 0 1 + sin2 + sin2 +
1
2 cos2 0 cos2 + cos2 ．
要使 是一个与 0无关的定值，
2 + 2 = 0
则{ ,
1 + 2 + 2 = 0
∵ cos2 = cos2 ，
∴ 2 与 2 终边关于 轴对称或关于原点对称，
又 sin2 + sin2 = 1，得 2 与 2 终边只能关于 轴对称，
1
2 = 2 =
∴ { 2 ,
2 = 2
又 ∈ 0, , ∈ , 2
则当 2 = 76
23
时，2 = 6
2 = 11 2 = 19当 6 时， 6 ．
= 7 = 23 = 11 19故 12 ， 12 或 12 ， = 12
= 7 23 11 19故 12 ， = 12 或 = 12 ， = 12 时，相对任何常数 0的“余弦方差”是一个与 0无关的定值．
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