2024-2025 学年四川省广安友谊中学高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，正确的是( )
A.若 与 都是单位向量，则 =
B.若 与 是平行向量，则 =
C.若用有向线段表示的向量 与 不相等，则点 与 不重合
D.若 > ，则 >
2.sin42 cos18 + cos42 cos72 =( )
A. 3 2 12 B. 2 C. 2 D. 1
3 .函数 = tan(2 3 )的定义域是( )
A. B. ≠ 4 + 6 , ∈
C. ≠ + 5 2 12 , ∈ D. ≠
2 + 6 , ∈
4.在 中，若点 满足 = 3 ，则 =( )
A. 1 + 3 B. 34 4 4
+ 1 4 C.
2 1 D. 5 2 3 3 3 3
5.已知向量 ， 满足 = 3， = 2 且 2 + = 5，则 在 方向上的投影向量为( )
A. 1 2
B. 1 C. 2 D.
6 = cos .函数 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.数学里有一种证明方法叫做 ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就
能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条
第 1页，共 7页
理．如下图，点 为半圆 上一点， ⊥ ，垂足为 ，记∠ = ，则由 tan∠ = 可以直接证明
的三角函数公式是( )
A. tan = sin sin 2 1 cos B. tan 2 = 1+cos
C. tan = 1 cos 2 sin D. tan
= 1+cos 2 sin
8.已知 ∈ 1, 32 ，记 = sin ， = cos sin ， = tan ，则 ， ， 的大小关系正确的是( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面给出的关系式中，正确的是( )
A. 0 = 0 B. =
C. = D. 2 = | |2
10.已知 sin + 2sin + 2 = 0，则下列结论正确的是( )
A. tan = 2 B. sin cos = 55
C. sin cos + 2 = 35 D.
sin +cos 1
sin cos = 3
11.已知函数 = sin + cos ( > 0)在区间 0, 上有且仅有 4 条对称轴，给出下列四个结论，正确的
是( )
A. 在区间 0, 上有且仅有 3 个不同的零点
B. 的最小正周期可能是2
C. 13 , 17的取值范围是 4 4
D. 在区间 0, 15 上单调递增
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
→ → →
12.化简： + = ．
13.求值：cos40 1 3tan170 = ．
第 2页，共 7页
14.如图，在半径为 2、圆心角为 60 的扇形的弧 上任取一点 ，作扇形的内接平行四边形 ，使点
在 上，点 在 上，则该平行四边形面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = 4， = 2，且 与 的夹角为 120°，求：
(1) 2 ；
(2)若向量 2 与 3 平行，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知4 ≤ ≤ 2， ≤ ≤
3 4
2，sin2 = 5，cos + =
2
10，
(1)求 cos2 的值；
(2)求角 的值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 2sin cos + 2 3 2 3．
(1)求函数 的单调减区间；
(2) 1将函数 = 的图象向右平移4个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的2倍，横坐标不
= ∈ , 1变，得到函数 的图象，当 6 3 ，解不等式 ≥ 2．
18.(本小题 17 分)
已知函数 = sin + ( > 0, > 0, < 2 )的部分图象如图所示．
第 3页，共 7页
(1)求函数 = 的解析式；
(2) = 1 11 + ，若对 2 ∈ 2,4 ， 1 ∈
2 4
, 2 ，使得 2 1 = 2 ，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = sin cos ．
(1)求方程 = cos2 在 0,2 上的解集；
(2) 3设函数 = + 2 ln ；
( ) 5 证明： = ( )在(0, 4 )有且只有一个零点；
( )在( )的条件下，记函数 = 2的零点为 0，证明： 3 < ln +
1
0 3 sin2
1
0 < 3．
第 4页，共 7页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
→
12.
13.1
14.2 3 23 /3 3
2 2
15.(1) 2 = 4 2 2 × 2 + = 64 4 × 4 × 2 × cos120 + 4 = 84，
所以 2 = 84 = 2 21．
(2)由于向量 2 与 3 平行，
所以存在实数 ，使得 2 = 3 = 3 ，
2 =
所以 = 3 ，解得 =± 6．
16.(1) ≤ ≤ 由4 2得2 ≤ 2 ≤ ，因 sin2 =
4
5，则 cos2 = 1
22 = 1 ( 4 2 35 ) = 5；
(2)又由 ≤ ≤ 3 5 2知 4 ≤ + ≤ 2 ，因 cos + =
2
10，
则 sin + = 1 2 + = 1 ( 2 210 ) =
7 2
10 ，
由 sin( ) = sin[ + 2 ] = sin + cos2 cos + sin2
= 7 2 310 × ( 5 ) (
2 4 2
10 ) × 5 = 2 ，
5 3
又因2 ≤ ≤ 4，故 = 4 .
第 5页，共 7页
17.(1)函数 = 2sin cos + 2 3 2 3 = sin2 + 3cos2 = 2sin 2 + 3 ，
∴当 2 + 2 ≤ 2 +
3 ≤
3
2 + 2
， ∈ 时，解得： + 12 ≤ ≤
7
12 + ， ∈ ，
7
因此，函数 的单调减区间为 + 12 , 12 + ∈ ．
(2) 将函数 = 的图象向右平移4个单位，可得 = 2sin 2 6 的图象，
1
再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的2倍，横坐标不变，得到函数 = = sin 2 6 的图象，
由 ≥ 12，即 sin 2
6 ≥
1 5
2，得6 + 2 ≤ 2 6 ≤ 6 + 2 ， ∈ ，
解得6 + ≤ ≤ 2 + ， ∈ 令 = 0，可得 ∈ 6 , 2 ，
令 = 1，可得 ∈ 5 6 , 2 ，
又 ∈ 6 ,
3 ，所以 ∈ 6 , 3 ，
即当 ∈ 1 6 , 3 时，不等式 ≥ 2的解集为 6 , 3 ．
18.(1)由图可得 = 1，函数的最小正周期为 = 2[ 1 23 ( 3 )] = 2，
则 = 2 = ，于是 = sin + ，
1 2
当 = 3 3 = 1 1 12 6时， 取得最小值 ，则得 6 + =
2 + 2 ∈ ，
所以 = 3 + 2 ∈ ，又因为 < 2，故 = 3； = sin 3 ．
(2)设 = 2 的值域为集合 ， 的值域为集合 ，
1 1 7
根据题意可得： ，∵ ∈ 4 , 2 ，∴ 3 ∈ 12 , 6 ，
∴ sin( ) ∈ [ 1, 13 2 ]，即 的值域为[ 1,
1
2 ]，故 = 2,1 ．
又 = 1 + ，∴ + > 0 在 2,4 上恒成立，∴ > 2
2
易知 在 2,4 上单调递减，∵ 2 = 1 2 + ， 4 = 1 4 + ，
2 2
∴ = [ 1 4 + , 1 2 + ]，
2 2
由 得 2 ≤ 1 4 + < 1 2 + ≤ 1，
2 2
解得 32 ≤ ≤ 0，∴
3
的取值范围是[ 2 , 0]．
19.(1)sin cos = cos2 = 2 2
第 6页，共 7页
所以(cos sin )(sin + cos + 1) = 0．
所以 cos sin = 0 或 sin + cos = 1
当 sin cos = 0 时，cos ≠ 0，则 tan = 1，又 ∈ 0,2 5 ，所以 = 4或 = 4，
2 9
当 sin + cos = 1，则 sin + 4 = 2 ，又 ∈ 0,2 , + 4 ∈ 4 , 4 ．
+ 5 7 3 所以 4 = 4或 4，所以 = 或 = 2，
所以方程 ( ) = cos2 5 3 在[0,2 ]上的解集为 4 , , 4 , 2 ．
(2)( )设 ( ) = sin cos + 32 ln = 2sin
3
4 + 2 ln , ∈ (0, + ∞)．
∈ 0, 3 ∈ 当 4 ，则 4 4 , 2 ,
此时 = 2sin 3 4 在区间 0, 4 上单调递增，
= 3 ln 0, 3 3 又 2 在区间 4 上也单调递增，所以 ( )在区间 0, 4 上单调递增，
3
又 4 = 2 ln
0, 4 2 = 2sin
2
+ 34 2 ln
3
2 = 1 + 2 ln 2 0
所以 ( ) ∈ 0, 3 在 4 时有唯一零点，
∈ 3 5 当 4 , 4 , 2sin
4 > 0,
3
2 ln > 0，所以 ( ) > 0，
3 5
所以 ( )在 ∈ 4 , 4 上没有零点，
3 5
综上， ( ) = sin cos + 2 ln 在 0, 4 有唯一零点 0．
( )记函数 = 的零点为 0，
sin cos + 3所以 0 0 2 ln 0 = 0
2
，且 0 ∈ 4 , 2 ，所以 ln 0 = 3 cos 0 sin 0 ，
ln + 1 sin2 = 2 cos sin + 1 sin2 = 2 cos sin 2所以 0 3 0 3 0 0 3 0 3 0 0 + 3 sin 0cos 0，
令 = cos 0 sin
0 = 2cos 0 + 4 ，因为 0 ∈ 4 , 2 ，所以 ∈ ( 1,0)，
2 = 1 2sin cos sin cos = 1
2
又 0 0，则 0 0 2 ，
1 2
所以 ln 0 + 3 sin2 0 =
2 + 2 1 3 3 2 =
1
3 ( 1)
2 + 23 ∈
2 1
3 , 3 ．
第 7页，共 7页
