2024-2025 学年新疆兵团图木舒克一中高一（下）质检数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2}， = { 2,0,1}，则( )
A. ∩ = {0} B. ∪ = {0,1,2}
C. ∩ = {0,1} D. ∪ = { 2,0,1}
2.已知角 的终边经过点(3, 4)，则 cos( 2 + ) =( )
A. 4 B. 3 3 45 5 C. 5 D. 5
3.函数 ( ) = + 2 的零点所在的区间是( )
A. (1,2) B. (2, ) C. ( , 3) D. (3,4)
4 1. > 1 是 < 1 的( )
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.函数 ( ) = log2(| | 1)的图象为( )
A. B.
C. D.
6.碳 14 是碳元素的一种同位素，具有放射性.活体生物其体内的碳 14 含量大致不变，当生物死亡后，其组
织内的碳 14 开始衰变并逐渐消失.已知碳 14 的半衰期为 5730 年，即生物死亡 年后，碳 14 所剩质量 ( ) =
1 0( )57302 ，其中 0为活体组织中碳 14 的质量.科学家一般利用碳 14 这一特性测定生物死亡年代，2023 年
科学家发现某生物遗体中碳 14 含量约为原始质量的 0.4 倍，依据计算结果可推断该生物死亡的时间约为公
元前(参考数据： 2 ≈ 0.3010)( )
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A. 5554 年 B. 5546 年 C. 7576 年 D. 7577 年
2 + 5, ≤ 1
7.已知函数 ( ) = 2 1, > 1 满足对任意实数 1 ≠ 2，都有 ( ) ( ) < 0 成立，则实数 的取值 2 1
范围是( )
A. (0,3] B. [2, + ∞) C. (0, + ∞) D. [2,3]
8.函数 ( ) = 3 ( 6 )( > 0)在区间[0, ]上恰有 2 个零点，则 的取值范围为( )
A. ( 76 ,
13 7 13 5 11 5 11
6 ] B. [ 6 , 6 ) C. ( 6 , 6 ] D. [ 6 , 6 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法错误的是( )
A.函数 ( + 1)的定义域为[ 2,2)，则函数 ( )的定义域为[ 1,3)
2
B.函数 = +3 +3 +1 ( > 1)的最小值为 3
C. ( ) =
2
和 ( ) = 表示同一个函数
D. = cos( 3 2 )是奇函数且最小正周期是
10.已知函数 ( ) = sin( + ), ( > 0, | | < ) ( , 1) 2 的图象经过 6 ，且相邻的两条对称轴之间的距离是2，
则下列选项正确的是( )
A. ( ) = sin(2 + 3 )
B. ( ) 2 的单调递减区间为[ 6 + , 3 + ], ∈
C. ( ) 5 的对称轴为 = 12 + , ∈
D. 3不等式 ( ) ≥ 2 的解集为[
12 + ,
4 + ], ∈
2
11 + 2 + 1, ≤ 0,.已知函数 ( ) = | |, > 0, 方程 ( ) = 0 有四个不同的实数根 1， 2， 3， 4，满足 1 < 2 <
3 < 4，则( )
A. = 1 时，符合题意 B. 1 2 = 1
C. ( ( 3)) = 2 2 D. 4 < 100 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 tan( + .已知 4 ) = 3
2
，sin2 sin cos +1 = ______．
13.已知 ( ) = ( 2 3 3) 1是幂函数，且在(0, + ∞)上单调递增，则 (3) = ______．
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2
14.已知函数 ( ) = ( 2 )| |3 3，使得不等式 (2 1) > ( + 3)成立的实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知关于 的一元二次不等式 2 + 4 > 0 的解集为{ | < 1 或 > 4}．
(1)求实数 、 的值；
(2)若 > 0 5 1， > 0， + = 1，且 +
2
≥ 3 4 恒成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 3 2 2 ( ∈ )．
(1)求函数 ( )的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数 ( ) 1的图象向左平移6个单位长度，然后把所得函数图像上所有点的横坐标缩小到原来的2倍，得
到 ( )的图象，求函数 ( )在[0, 4 ]上的值域．
17.(本小题 15 分)
已知 10 1为锐角， 为钝角，且 = 10 ， = 7．
(1)求 2 的值；
(2)求 2 的值．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( )满足对一切实数 1， 2都有 ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2) 1 成立，且 (1) = 0，当 > 1 时有
( ) < 0．
(1)求 (0)， (2)；
(2)判断并证明 ( )在 上的单调性；
(3)解不等式[ ( 2 + )]2 ( 2 + 1) 1 < 0．
19.(本小题 17 分)
对于函数 ( )，若其定义域内存在非零实数 满足 ( ) = ( )，则称 ( )为“局部奇函数”．
(1)已知函数 ( ) = 2 +1，判断 ( )是否为“局部奇函数”．
(2)若幂函数 ( ) = ( 1) 3 ( ∈ )使得 ( ) = 2 ( ) + 在[ 1,1]上是“局部奇函数”，求： 的取值
范围．
(3)若整数 使得 ( ) = 4 2 +1 + 2 3 是定义在 上的“局部奇函数”，求： 的取值集合．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.47
13.27
14.( 23 , 4)
15.解：(1)根据不等式 2 + 4 > 0 的解集为{ | < 1 或 > 4}，所以 1 和 4 是对应方程的解，
1 + 4 =
由根与系数的关系知， ，解得 = 1、 = 5；
1 × 4 = 4
(2) 5 1 5 1 25 25 由 > 0， > 0， + 5 = 1，所以 + = ( + )( + 5 ) = 10 + + ≥ 10 + 2 = 20，
25
当且仅当 = 且 + 5 = 1，即 =
1 1
2且 = 10时取等号，
5 1
所以不等式 + 2 2 ≥ 3 4 恒成立，即 20 ≥ 3 4 ，
10
所以 3 2 4 20 ≤ 0，解得 2 ≤ ≤ 3，
{ | 2 ≤ ≤ 10所以实数 的取值范围是 3 }.
16.解：(1) ( ) = 2 3 2 2 = 3 2 2 1 = 2 (2 6 ) 1，
∴ ( )的最小正周期为 ；
令 2 2 ≤ 2 6 ≤ 2 + 2，则 6 ≤ ≤ + 3 ( ∈ )，
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∴ ( ) 的单增区间为[ 6 , +
3 ]( ∈ )；
(2) ( ) 的图象向左平移6个单位长度得到 = 2 (2 + 6 ) 1 的图像，
再将 = 2 (2 + 6 ) 1 图像上所有点的横坐标缩小到原来得到 ( ) = 2 (4 +
6 ) 1，
∈ [0, ] 4 + 4 时， 6 ∈ [ 6 ,
7
6 ]，
1
所以 2 ≤ sin(4 + 6 ) ≤ 1，
故 ( ) ∈ [ 2,1]，即 ( )的值域为[ 2,1]．
2×( 117. )解：(1) 2 = 2 = 2 2 7 7cos2 +sin2 = 1+tan2 = = ；1+( 17)2 25
(2) = 10 3 10因为 为锐角， 10 ，可得 = 10 ，
由 2 = 1 2 2 = 4 35，可得 2 = 1 2 = 5，
2 = 2 3所以 2 = 4，
1 3
2 ( )
则 tan( 2 ) = = 7 41+tan 2 1 3 = 1，1+( 7)×4
又因为 2 = 3 > 0 0 < 2 < 4 ，所以 2，而2 < < ，
可得 0 < 2 < 2 = 3 ，所以 4．
18.解：(1)由题意，对一切实数 1， 2，都有 ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2) 1 成立，
令 1 = 2 = 0，可得 (0) = 2 (0) 1，即 (0) = 1，
令 1 = 2 = 1，可得 (2) = 2 (1) 1 = 1，故 (2) = 1， (0) = 1；
(2)函数 ( )为 上的减函数，证明如下：
设 > 0，则 + 1 > 1，又 (1) = 0， ( + 1) < 0，
所以 ( + 1) = ( ) + (1) 1 = ( ) 1 < 0，可得 ( ) < 1，
所以当 > 0 时， ( ) < 1，
任取 1， 2 ∈ 且 1 > 2，则 1 2 > 0， ( 1 2) < 1，
( 1) ( 2) = ( 1 2 + 2) ( 2) = ( 1 2) 1 < 0，即 ( 1) < ( 2)，
因此函数 ( )在 上为单调递减函数；
(3)令 1 = 1， 2 = 1 可得 (0) = (1) + ( 1) 1，所以 ( 1) = 2，
因为 ( 2 + 1) = ( 2 + ) + ( 1) 1 = ( 2 + ) + 1，
设 = ( 2 + )，由[ ( 2 + )]2 ( 2 + 1) 1 < 0，得[ ( 2 + )]2 [ ( 2 + ) + 1] 1 < 0．
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2 2 < 0，得 1 < < 2，
所以 1 < ( + 2) < 2，
因为 (2) = 1， ( 1) = 2，所以有 (2) < ( + 2) < ( 1)，
因为函数 ( )在 上为单调递减函数，则 1 < + 2 < 2，
解得 2 < < 1，
因此，原不等式的解集为( 2,1)．
19.解：(1) 2因为 ( ) = +1，
则 ( ) = 2 +2 +1 = 1，
2
则 ( ) + ( ) = +2 + 2 = 2 +4 1 +1 ( +1)( 1)，
因为 2 2 + 4 ≥ 4 恒成立，故不存在 使得( ) + ( ) = 0，即不存在 使得 ( ) = ( )，
所以 ( )不是“局部奇函数”．
(2)因为 ( ) = ( 1) 3 是幂函数，则 1 = 1，所以 = 2，
故 ( ) = ( 1) 3 = ，
所以 ( ) = 2 ( ) + = 2 + ，
则 ( ) = 2 + ，
所以 ( ) + ( ) = 2 + 2 + 2 = 0，
因为 ∈ [ 1,1]，所以2 + 2 + 2 = 0 在 ∈ [ 1,1]上有解，
则 = 12 (2
+ 2 )， ∈ [ 1,1]，
因为2 ∈ [ 1 12 , 2]，所以 = 2 + 2 在[ 1,0]上单调递减，在[0,1]上单调递增，
所以当 = 0 时，函数 = 2 + 12 取得最小值 2，
又当 = 1 和 = 1 时， = 52，
5
所以 ∈ [2, 2 ]，
故 = 12 (2
+ 1 52 ) ∈ [ 4 , 1]，
5
所以实数 的取值范围为[ 4 , 1]．
(3)由定义可得， ( ) + ( ) = 0，
则4 + 4 2 (2 + 2 ) + 2 2 6 = 0，
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所以(2 + 2 )2 2 (2 + 2 ) + 2 2 8 = 0 有解，
令 = 2 + 2 ，则 ∈ [2, + ∞)，
则方程 2 2 + 2 2 8 = 0 在[2, + ∞)上有解，
令 ( ) = 2 2 + 2 2 8， ∈ [2, + ∞)，
①当 ≥ 2 时，则 = 4 2 4(2 2 8) ≥ 0，所以 2 2 ≤ ≤ 2 2，故 2 ≤ ≤ 2 2；
< 2, < 2,
②当 < 2 时，则 (2) ≤ 0,，即 1 3 ≤ ≤ 1+ 3,
≥ 0, 2 2 ≤ ≤ 2 2,
故 1 3 ≤ < 2．
综上，实数 的取值范围为[1 3, 2 2]，
又 为整数，则 = 0，1，2，
即 的取值集合为{0,1,2}．
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