2024-2025 学年山东省济南市高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 6+4 .在复平面内，复数(1+ )2所对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.在平行四边形 中， 是对角线 上靠近点 的三等分点，则( )
A. = 1 + 2 3 3
B. = 2 1 3 3
C. = 1 2 3 3
D. = 2 3 +
1 3
3.若圆锥的轴截面(过圆锥轴的一个截面)是一个边长为 2 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
4.已知向量 ， 满足| | = 2， = (1,3)，且 = 4，则向量 ， 夹角的余弦值为( )
A. 5 B. 2 5 10 105 5 C. 5 D. 10
5.在△ 中， = 5， = 6， = 7，则△ 的面积为( )
A. 15 32 B. 6 6 C. 12 D. 12 6
6.已知复数 1的实部大于等于 1，则| + 1 + |的最小值为( )
A. 2 B. 3 C. 13 1 D. 37 32 2
7.已知正四棱锥 — 的底面边长为 2，高为 3，则其内切球半径是( )
A. 1 B. 3 32 C.
3
4 D.
3
3
8.如图，设 ， 是平面内相交成 角的两条数轴， 1， 2分别是与 轴、
轴正方向同向的单位向量，若向量 = 1+ 2，则把有序数对( , )叫做向
量 在坐标系 中的坐标，则该坐标系中 ( 1, 1)和 ( 2, 2)两点间的距离
为( )
A. ( )2 21 2 + ( 1 2) 2( 1 2)( 1 2)
B. ( 1 2 22) + ( 1 2) + 2( 1 2)( 1 2)
C. ( 1 2)2 + ( 1 2)2 2( 1 2)( 1 2)
D. ( 1 2)2 + ( 1 )22 + 2( 1 2)( 1 2)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知复数 1， 2，则下列命题一定成立的有( )
A.若| 1 + 2| = 0，则 1 = 2 B.若| 1| = | 2 22|，则 1 = 2
2 C. | 1 2| = | 1 2| D. ( 1 + 2) = ( 2+ )22
10.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法中正确的是( )
A.若 > ，则 >
B.若 + + > 0，则△ 是锐角三角形
C.若 = 10， = 8， = 60°，则符合条件的△ 有两个
D.对任意△ ，都有 + > 0
11.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现
了数学的对称美.按照以下方式可构造一个半正多面体：如图 1，在一个棱长为
4 的正方体中， 1 1 = 1 1 = 1 1 = ， 1 2 = 1 2 = 1 2 = ，…， ∈
(0,4)，过 1 1 1三点可做一截面，类似地，可做 8 个形状完全相同的截面.关
于该几何体，下列说法正确的是( )
A.当 = 1 时，该几何体是一个半正多面体
B.若该几何体是由正八边形与正三角形围成的半正多面体，则边长为 4 2 2
C. 160若该几何体是由正方形与正三角形围成的半正多面体，则体积为 3
D.该几何体可能是由正方形与正六边形围成的半正多面体
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ， 为实数，且 ≠ 0，虚数 为方程 2 + + = 0 的一个根，则| |的
值为______．
13.如图所示， ， ， ， 为空间四点，在△ 中， = 2， = = 2，
等边三角形 以 所在直线为轴旋转，当平面 ⊥平面 时， = ______．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角
形三条边所对的外接圆的三条圆弧(劣弧)沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交
于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心(即三角形三条高线的交点)如图，
已知锐角△ 外接圆的半径为 4，且三条圆弧沿△ 三边翻折后交于点 .若
= 6，则 cos∠ = ______；若 ： ： = 6：5：4，则 + + 的
值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，我国南海某处的一个海域上有四个小岛，小岛 与小岛 、小岛 相距都为 5 海里，与小岛 相距为 3 5
海里. ∠ 3为钝角，且 = 5．
(1)求小岛 与小岛 之间的距离；
(2)已知∠ 与∠ 互补，求四个小岛所形成的四边形的面积．
16.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4， 是 的中点．
(1)求证： 1//平面 1 ；
(2)求异面直线 1 与 1所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
在锐角三角形 中， ， ， 分别为内角 ， ， 所对的边，且( 1) = sin( + 2 )．
(1)求角 ；
(2)若 = 2，求△ 周长的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，圆 的半径为 3，其中 ， 为圆 上两点．
(1)若 cos∠ = 13，当 为何值时，
+ 2 与 垂直？
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(2)若 为△ 的重心，直线 过点 交边 于点 ，交边 于点 ，且 = , = 2，求 + + 3
最小值．
(3)若| + |的最小值为 1，求| |的值．
19.(本小题 17 分)
如图 1，由射线 、 、 构成的三面角 ，∠ = ，∠ = ，∠ = ，二面角
的大小为 ，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理： = +
．
(1)如图 2，在三棱锥 中，△ 为等腰直角三角形，∠ = 90°，△ 为等边三角形，∠ = 90°，
求二面角 平面角的正弦值；
(2)如图 3，在三棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ，连接 ， = 4，∠ = 45°，∠ = 60°，
∠ = 90°， + = 6，求三棱锥 体积的最大值；
(3) 当 、 、 ∈ (0, 2 )时，请在图 1 的基础上，试证明三面角余弦定理．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.2
14.3 234 ； 2
15.
16.(1)证明：连接 1交 1 于 ，
在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4，
因此四边形 1 1 是正方形，所以 是 1的中点，而 是 的中点，
因此有 // 1，而 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 1//平面 1 ；
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(2)解：由(1)可知： // 1，
因此异面直线 1 与 1所成角为∠ 1 (或其补角)，
1 1
因为 1 1 是正方形，所以 1 = 2
2 2
1 = 2 4 + 4 = 2 2，
在直三棱柱 1 1 1中，所有棱长均为 4，
因此四边形 是正方形，因此有 = 1 = 1 42 21 1 2 1 2 + 4 = 2 2，
在直三棱柱 1 1 1中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有 1 = 2 2 2
1 2
1 + = 4 + ( ，2 × 4) = 2 5
8+20 8 10
由余弦定理可知：cos∠ 1 = ，2×2 2×2 5 = 4
因此 sin∠ 1 = 1 cos2∠ 1 = 1
10 6．
16 = 4
17.
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18.
19.解：(1)取 的中点 ，连接 ， ，如图所示，
则 ⊥ ， ⊥ ，于是∠ 是二面角 的平面角，
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设 = 1，则 = 22 , =
6
2 , = 3，
2 2 2 1+3 3
由余弦定理得 cos∠ =
+ 2 2 3
2 = 2× 2
= ，
2 ×
6 3
2
故 sin∠ = 6．3
(2)二面角 的平面角的大小为 ，
利用三面角余弦定理得 90° = 45° 60° + 45° 60° ，
计算得 = 3，3
于是 cos∠ = 33 , sin∠ =
6，
3
由于 = 4，则 = 4 45° = 2 2, = ∠ = 4 3，3
= 1 = 1 1 60° 4 3 = 1 ≤ 1 ( + 2 3 △ ，3 2 3 3 3 2 ) = 3
即当 = = 3 时，三棱锥 体积的最大值为 3．
(3)证明：如图过射线 上一点 在面 作 ⊥ 交 于点 ，
在面 内作 ⊥ 交 于点 ，连接 ，
则∠ 是二面角 的平面角，
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
在△ 中，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
两式相减得： 2 2 + 2 2 2 + 2 = 0，
则 2 = 2 2 + 2 ，
两边同除以 2 ，得：
2
= + =
+ = + ，
从而得证．
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