2024-2025 学年江苏省南通市海安市十三校联考八年级（下）月考数学
试卷（3 月份）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A. 13 B. 3 C. 8 D. 0.5
2.下列运算，结果正确的是( )
A. 5 3 = 2 B. 3 + 2 = 3 2 C. 6 × 2 = 2 3 D. 6 ÷ 2 = 3
3.下列判断错误的是( )
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.四个内角都相等的四边形是矩形
C.邻边相等的平行四边形是菱形 D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形
4.已知 、 、 分别为△ 的三条边，下列条件不能判别△ 为直角三角形的是( )
A. ∠ ：∠ ：∠ = 3：4：5 B. 2 2 = 2
C. ∠ ∠ = ∠ D. ： ： = 2.5：6：6.5
5.如图，长方形 的边 长为 2， 长为 1，点 在数轴上对应的数是 1，以点 为圆心，对角线
长为半径画弧，交数轴于点 ，点 表示的实数是( )
A. 5 + 1 B. 5 1 C. 5 + 1 D. 52
6.如图，在 △ 中， 为斜边 的中点， 为 上一点， 为 中点．若 = ， = 2，则 的
长为( )
A. 2 2
B. 3
C. 2 3
D. 4
7.如图，四边形 和四边形 都是矩形，点 在 边上，若矩形 和矩形 的面积分别为 1，
第 1页，共 11页
2，则 1和 2的大小关系是( )
A. 1 > 2
B. 1 = 2
C. 1 < 2
D. 5 1 = 4 2
8.如图，将一边长为 12 的正方形纸片 的顶点 折叠至 边上的点 ，使
= 5，若折痕为 ，则 的长为( )
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
9.如果实数 满足|2024 | + 2025 = .那么 20242的值是( )
A. 2025 B. 2024 C. 2023 D. 2022
10.如图，在正方形 中，以 为边作等边三角形 ，连接 ， ， ，则
下列结论；①∠ = 75°；②△ ≌△ ；③△ 和△ 的面积比为 1：
2 1；④ 2△ = 4 .其中结论正确的序号有( )
A.①②④ B.②③ C.①③④ D.①②③④
二、填空题：本题共 8 小题，共 30 分。
11.若二次根式 + 2有意义，则 的取值范围为 ．
12.比较大小：6 5______7 3. (填“>”，“=”，“<”号)
13.若直角三角形的两边长分别为 1 、2 ，则第三条边长为______ ．
14.在平行四边形 中，若∠ + ∠ = 140°，则∠ =______．
15.菱形 的对角线 = 24， = 10，则菱形的高为______．
16.如图，平行四边形 的周长是 14 ，对角线 、 相交于点 ， ⊥
交 于点 ，则△ 的周长为______ ．
17.如图，在矩形 中，对角线 、 相交于点 ， 为边 上任意一点
(不与点 、 重合)，过点 作 ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 、 ，若 = 8，
= 6，则 + =______．
第 2页，共 11页
18.如图，点 是边长为 8 的正方形 的对角线 上的一个动点(不
与点 、 重合)，连接 ，以 为边向左侧作正方形 ，点 为
的中点连接 、 ， 与 的延长线交于点 ，在点 运动过程中，
线段 的最小值是______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 90 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题 12 分)
计算：
(1)(2 3 1)2 + ( 3 + 2)( 3 2)；
(2) 6 × 3 ( 1 23 2 ) + | 2 2|．
20.(本小题 10 分)
如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个顶点叫做格点．
(1)在图 1 中以格点为顶点画一个面积为 17 的正方形(正方形是四条边相等，四个内角都是 90°的四边形)；
(2)在图 2 中， 、 均为格点，请画出所有格点 ，使得∠ = 45°(如果有多个点 ，请分别以点 1， 2，
3，…编号)；
(3)在图 3 中，用无刻度的直尺找出一个格点 ，使 平分∠ . (不写画法，保留画图痕迹)．
21.(本小题 10 分)
如图，一架长 2.5 的梯子 斜靠在墙 上，∠ = 90°，此时，梯子的底端 离墙底 的距离 为 0.7 ．
(1)求此时梯子的顶端 距地面的高度 ；
第 3页，共 11页
(2)如果梯子的顶端 下滑了 0.9 ，那么梯子的底端 在水平方向上向右滑动了多远？
22.(本小题 10 分)
如图， 中， = 10， = 8， ⊥ ，求 、 以及 的面积．
23.(本小题 10 分)
已知一个直角三角形的斜边长为 4，周长为 4 + 3 2，求这个三角形的面积．
24.(本小题 12 分)
如图，将矩形 折叠，使点 、 重合，折痕分别与 、 、 相交于点 、 、 ，连接 、 ．
(1)求证：四边形 是菱形．
(2)若矩形 的边 = 6， = 8，求菱形 的边长．
25.(本小题 13 分)
四边形 为正方形，点 为对角线 上一点，连接 .过点 作 ⊥ ，交射线 于点 ．
(1)如图 1，若点 在边 上，求证： = ；
(2)以 ， 为邻边作矩形 ，连接 ．
①如图 2，若 = 4， = 3 2，求 的长度；
②当线段 与正方形 一边的夹角是 35°时，直接写出∠ 的度数．
第 4页，共 11页
26.(本小题 13 分)
如图 1，在△ 中. ∠ = 90°，∠ = 30°， = 2.以 为边，在△ 外作等边△ ， 是
的中点，连结 并延长，交 于点 ．
(1)求边 的长；
(2)求证：四边形 是平行四边形；
(3)将图 1 中的四边形 折叠，折痕为 ， 在 上， 在 上：
①如图 2，若使点 与点 重合.直接写出 的长是______；
②若使点 与△ 的一边中点重合，直接写出 的长是______．
第 5页，共 11页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. ≥ 2
12.>
13. 3或 5
14.110°
15.12013
16.7
17.245
18.2 2
19.解：(1)原式= 12 4 3 + 1 + 3 4
= 12 4 3；
3 1
(2) 6 × 3 (
2
2 ) + | 2 2|
= 2 4 + 2 2
= 2．
20.【答案】解：(1)
如图 1 中，正方形
即为所求；
(2)如图 2 中， 1， 2
即为所求．
第 6页，共 11页
(3)如图 3 中，取格点 ，连接 ，取 的中点 ，连接 ，点 即为所求．
21.解：(1) ∵ ∠ = 90°， = 2.5， = 0.7，
∴ = 2 2 = 2.52 0.72 = 2.4( )，
答：此时梯顶 距地面的高度 是 2.4 ；
(2) ∵梯子的顶端 下滑了 0.9 米至点 ′，
∴ ′ = ′ = 2.4 0.9 = 1.5( )，
在 △ ′ ′中，由勾股定理得： ′ 2 + ′ 2 = ′ ′2，
即1.52 + ′ 2 = 2.52，
∴ ′ = 2( )，
∴ ′ = ′ = 2 0.7 = 1.3( )，
答：梯子的底端 在水平方向滑动了 1.3 ．
22.【答案】解：∵ 中， = 10， = 8， ⊥ ，
∴ = 8，则 = 2 2 = 6，
∴ = = 3，
∴ 的面积为： × = 6 × 8 = 48．
23.解：设直角三角形的两直角边为 和 ，则 2 + 2 = 42，
∴ 2 + 2 = 16， + = 3 2，
把 + = 3 2两边同时平方，
可得： 2 + 2 + 2 = 18，
∴ 12 =
1
2，
∴ 1直角三角形的面积为2．
24.(1)证明：由折叠的性质可知 = ， ⊥ ，
∵四边形 是矩形，
∴ // ，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
= ，
∠ = ∠
∴△ ≌△ ( )，
第 7页，共 11页
∴ = ，
又∵ / / ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ⊥ ，
∴四边形 是菱形；
(2)解：∵四边形 是菱形，
∴ = ，
在矩形 中，∠ = 90°，
设 = = ，则 = 8 ，
在 △ 中，由勾股定理得： 2 = 2 + 2，
∴ 62 + (8 )2 = 2，
解得： = 254，
∴ = 254，
∴菱形 25的边长为 4．
25.【答案】(1)证明：连接 ，如下图，
∵直线 是正方形 的对角线，
∴ ∠ = ∠ = 45°，
=
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ,
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ∠ = 90°，
∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ + ∠ = 360° (∠ + ∠ ) = 180°，
∵ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ∠ = ∠ ，
第 8页，共 11页
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ，
∴ = ；
(2)解：① ∵四边形 为矩形， = ，
∴四边形 为正方形，
∴ = ，
∵四边形 为正方形，
∴ = ，∠ = 90° = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ ，
=
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ ,
=
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ = 4，
∴ = 2 = 4 2，
∵ = 3 2，
∴ = = = 2；
②∠ = 125°或 35°．
26.(1)解：在 △ 中，∠ = 90°，∠ = 30°， = 2，
∴ = 2 = 4，
∴ = 2 2 = 42 22 = 2 3；
(2)证明：∵ △ 中， 为 的中点，
∴ = 1 12 ， = = 2 ，
∴ = ，
∴ ∠ = ∠ = 30°，∠ = 90°，
第 9页，共 11页
∴ ∠ = 60°，
又∵△ 为等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∴ // ，
∵ ∠ = ∠ = 90°，
∴ // ，
∴四边形 是平行四边形；
(3)解：①设 = ，由折叠可得： = = 4 ，
在 △ 中，∠ = 90°，∠ = 30°， = 4，
∴ = 30° = 4 × 32 = 2 3，
在 △ 中， 2 + 2 = 2，
2 + (2 3)2 = (4 )2，
解得： = 12，
∴ = 12，
1
故答案为：2；
②当点 与 重合时， = = 2；
当点 与 的中点 ′重合时，连接 (如图 3.1 中)．
则有 2 + ( 3)2 = (4 )2，
∴ = 138；
当点 与 的中点 ′重合时，连接 ′，过点 ′作 ′ ⊥ 于点 .如图 3.2，
第 10页，共 11页
则 = ′ = 1， = ′ = 2 3，
∴ (12 )2 + (2 3)2 = (4 )2，
∴ = 12．
13 1
综上所述，满足条件的 的长为 2 或 8或2，
13 1
故答案为：2 或 8或2．
第 11页，共 11页
