2024-2025 学年重庆市 K12 九年级（下）第一次月考
数学试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.下列四个数中，最大的数是( )
A. 9 B. 8 C. 0.6 D.
2.下列四种中国古代青铜器上的纹饰中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3 = 6.反比例函数 的图象在( )
A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
4.如图， // ，∠2 = 115°，则∠1 的度数是( )
A. 55°
B. 65°
C. 75°
D. 85°
5.若两个相似三角形的周长比是 1：5，则这两个相似三角形的面积比是( )
A. 1：5 B. 1：10 C. 1：15 D. 1：25
6.如图，小红休息时用黑色的围棋子摆出了一些有规律的图形，①中黑色围棋子的数量是 12，②中黑色围
棋子的数量是 16，③中黑色围棋子的数量是 20，按此规律摆下去，第六个图形中的黑色围棋子的数量是( )
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A. 24 B. 28 C. 32 D. 36
7.已知 = 18 + 2，则实数 的范围是( )
A. 2 < < 3 B. 3 < < 4 C. 4 < < 5 D. 5 < < 6
8.如图，在长方形 中， 是对角线，∠ = 30°，以 为圆心， 为半径画圆弧.若 = 6，则图中
阴影部分的面积为( )
A. 18 3 3
B. 18 3 + 3
C. 36 3 + 3
D. 36 3 3
9 .如图，在正方形 中， 是对角线，点 在边 上， ⊥ ，∠ = 45°.则 的值为( )
A. 2
B. 1
C. 22
D. 32
10.有依次排列的 2 个整式： + 3， ，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得之
差写在这两个整式之间，可以产生一个新整式串： + 3，3， ，这称为第一次操作；将第一次操作后的整
式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此类推.通过实际操作，有同学得出了
下列结论：
(1)第二次操作后整式串为： + 3， ，3，3 + ， ；
(2)第二次操作后的整式串中，当| | ≥ 3 时，所有整式的积不大于 0；
(3)第四次操作后整式串中共有 15 个整式；
(4)第 2025 次操作后的整式串中，所有的整式的和为 2 + 6078；
四个结论正确的有( )个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。
11.重庆市，简称“渝”，别称山城，是中华人民共和国直辖市，它的土地面积约为 82400 平方公里，数据
82400 用科学记数法表示为______．
12.巴渝小吃是指重庆及其周边地区具有地方特色的传统美食，小明和小兵两人分别从重庆小面、酸辣粉、
山城小汤圆三种小吃中随机选择一种，则两人刚好选择同一种小吃的概率为______．
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13.如图，在△ 中， 是线段 的垂直平分线，点 是线段 的中点，其中
= 5， = 4，则△ 的周长为______．
2( + 3) > + 6
14.若关于 的不等式组 2 4 ≥ 3 至少有 3 个整数解，且关于 的分式3
1
方程 2 2 = 2的解为正整数，则所有满足条件的整数 的值之和为______．
15.如图， 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线，点 是⊙ 上一点， 与⊙
交于点 ，连接 ， ⊥ ， ⊥ .若 = 1， = 13，则 = ______；
= ______．
16.如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为 0，满足 + = 88，那么称这个四位
数为“发财数”.例如：四位数 1672，∵ 16 + 72 = 88，∴ 1672 是“发财数”；又如：四位数 2645，∵ 26 +
45 = 71 ≠ 88，∴ 2645 不是“发财数”.则最小的“发财数”与最大的“发财数”之和为______；若一个
“发财数” 的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被 7 整除，且
+ = .则满足条件的数是______．
三、解答题：本题共 8 小题，共 86 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 16 分)
计算：
(1)( 1 ) 12 + ( 1)
0 ÷ 45° 3 8；
(2) 16 × ( 1)2 + |2 5| 4 ÷ 23；
(3)( + )( ) + ( 3)；
(4)(1 ) ÷
2 6 +9
+3 2 9 ．
18.(本小题 10 分)
某校举办了环保知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩(百分制)进行收集、整
理、描述、分析.所有学生的成绩均高于 60 分(成绩得分用 表示，共分成四组： . 60 < ≤ 70； . 70 < ≤ 80；
. 80 < ≤ 90； . 90 < ≤ 100)，下面给出了部分信息：
七年级 20 名学生的竞赛成绩在 组的数据是：
81，82，83，87，89，89．
八年级 20 名学生的竞赛成绩为：
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68，68，69，69，73，83，84，86，86，87，87，87，87，89，93，94，96，97，98，99．
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 87
众数 78
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中 = ______； = ______； = ______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的环保知识竞赛成绩较好？请说明理由(写出
一条理由即可)；
(3)该校七年级有 800 名学生，八年级有 900 名学生参加了此次环保知识竞赛，估计该校七、八年级参加此
次环保知识竞赛成绩优秀( > 90)的学生人数是多少？
19.(本小题 10 分)
在学习了正方形与菱形的相关知识后，小红同学进行了更深入的研究，她发现：正方形任一外角平分线都
与该正方形的其中一条对角线互相平行，与另一条对角线互相垂直.并利用平行线的判定和垂直的定义进行
证明.根据她的想法与思路，完成以下作图与填空：
(1)如图，在正方形 中，点 是 的延长线上一点.用尺规过点 作∠ 的角平分线 ，连接 ，
. (不写作法，保留作图痕迹)
(2)已知：四边形 是正方形，点 是 的延长线上一点， 是∠ 的角平分线.求证： // ， ⊥ ．
证明：∵四边形 是正方形，
∴ ∠ = ∠ = 1 1① ______，∠ = 2∠ ，∠ = 2∠ ．
∴ ∠ = 12 × 90° = 45°，∠ =
1
2 × 90° = 45°．
∵点 是 的延长线上一点，
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∴ ∠ = 180° ∠ = 180° 90° = 90°．
∵ 是∠ 的角平分线，
∴ ∠ = ∠ = 1 12∠ = 2 × 90° = 45°．
∴ ∠ = ② ______．
∴ ③ ______．
∵ ∠ = 45°，∠ = 45°，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 45° + 45° = 90°．
∴ ④ ______．
进一步思考，如果四边形 是菱形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：
⑤ ______．
20.(本小题 10 分)
某大型超市花 6000 元购进甲、乙两种商品共 220 件，其中甲种商品每件 25 元，乙种商品每件 30 元．
(1)求甲、乙两种商品各购进多少件？
(2) 公司决定花 1500 元从该超市购买甲商品为员工发福利， 公司决定花 1900 元从该超市购买乙商品为
员工发福利，其中甲商品的售价比乙商品的售价便宜 8 元，若两个公司购买的商品数量刚好一样，则超市
能从这次销售中获利多少元？
21.(本小题 10 分)
如图，在直角三角形 中，∠ = 90° 1， = 3， = 4，动点 以2个单位每秒的速度沿 的线路
运动， ⊥ 交 于点 .设运动时间为 秒，三角形 的周长记为 1， 与 的比值记为 2．
(1)请直接写出 1、 2分别关于 的函数表达式，并注明 的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数 1， 2的图象；请分别写出函数 1， 2的一条性质；
(3)请结合函数图象，直接写出 1 < 2时 的取值范围. (近似值保留一位小数，误差不超过 0.2)
22.(本小题 10 分)
如图，小红和小明家相约去动物园看熊猫，到了动物园大门 处，小明家决定先去 处看恐龙，小红家决定
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先去 处看金鱼，然后两家人再到 处熊猫馆碰面一起游玩. 在 的北偏西 60°方向 400 米， 在 的北偏东
45°方向； 在 的北偏东 30°方向， 在 的正西方向， 在 的正北方向. (参考数据： 2 ≈ 1.41， 3 ≈ 1.73，
6 ≈ 2.45)
(1)求 的长度；(结果保留整数)
(2)若小明和小红两家人的速度相同(停留在 、 的玩耍时间相同)，哪家人先到达 处熊猫馆？请通过计算
说明．
23.(本小题 10 分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线 = 2 + 5 经过点(1, 8)，与 轴交于 ， 两点，交 轴于点 ，
抛物线的对称轴是直线 = 2．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点 是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点 作 // 轴交直线 于点 ，点 是线段 上一
动点， 垂直对称轴，垂足为 ，连接 ，当线段 长度取得最大值时，求 + + 的最小值；
(3)将该抛物线沿射线 方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段 长度取得最大值时的点 ，且与直线
相交于另一点 .点 为新抛物线上的一个动点，当∠ = ∠ 时，直接写出所有符合条件的点 的坐标．
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24.(本小题 10 分)
如图，△ 为直角三角形，∠ = 90°，点 是 上一点，连接 ．
(1)如图 1，若 平分∠ ， ⊥ ，垂足为 ，若 = 6， = 4，求 的长；
(2)如图 2，若∠ = 45°， 为线段 靠近 的三等分点，∠ = ∠ ， ⊥ ， 延长线与
延长线交于点 ， ⊥ ，猜想 ， ， 三者的数量关系，并说明理由；
(3)如图 3，点 是平面内一点，且∠ = 90°， = 10，过点 作 ⊥ 交 于点 ，交 于点 ，连
接 .若 = 25， = 23，直接写出 的最小值．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】8.24 × 104
12. 1【答案】3
13.【答案】18
14.【答案】 2
15. 4 4 26【答案】 13
16.【答案】8888；3256
17.解：(1)原式= 2 + 1 ÷ 1 2
= 2 + 1 2
= 1；
(2)原式= 4 × 1 + 5 2 4 × 32
= 4 + 5 2 6
= 5 4；
(3)原式= 2 2 + 2 3
= 2 3 ；
(4) = +3 原式 +3
( +3)( 3)
( 3)2
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3 ( + 3)( 3)
= + 3 ( 3)2
= 3 3．
18. (1) 20 = 87+89解： 七年级 名学生的竞赛成绩的中位数 2 = 88，
八年级 20 名学生的竞赛成绩的众数 = 87，
七年级 20 名学生的竞赛成绩在 、 组的人数为 20 × (10% + 20%) = 6(人)，
七年级成绩在 组的人数为 20 (6 + 6) = 8(人)，
所以八年级成绩在 8组人数所占百分比 % = 20 × 100% = 40%，即 = 40；
故答案为：88、87、40；
(2)八年级学生的环保知识竞赛成绩较好，因为八年级学生的环保知识竞赛成绩的众数大于七年级，
七年级学生的环保知识竞赛成绩较好，因为七年级学生的环保知识竞赛成绩的中位数大于八年级(答案不唯
一，合理均可)；
(3)800 × 820 + 900 ×
6
20 = 590(人)，
答：估计该校七、八年级参加此次环保知识竞赛成绩优秀( > 90)的学生人数是 590 人．
19.(1)解：如图， 为所作；
(2)证明：∵四边形 是正方形，
∴ ∠ = ∠ = 90°，∠ = 12∠ ，∠ =
1
2∠ ．
∴ ∠ = 12 × 90° = 45° ∠ =
1
， 2 × 90° = 45°．
∵点 是 的延长线上一点，
∴ ∠ = 180° ∠ = 180° 90° = 90°．
∵ 是∠ 的角平分线，
∴ ∠ = ∠ = 12∠ =
1
2 × 90° = 45°．
∴ ∠ = ∠ ，
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∴ // ，
∵ ∠ = 45°，∠ = 45°，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 45° + 45° = 90°．
∴ ⊥ ．
类似，菱形任一外角平分线都与该菱形的其中一条对角线互相平行，与另一条对角线互相垂直．
故答案为：90°，∠ ， // ， ⊥ ；菱形任一外角平分线都与该菱形的其中一条对角线互相平行，
与另一条对角线互相垂直．
20.解：(1)设甲种商品购进 件，乙种商品购进 件，
+ = 220
由题意得： 25 + 30 = 6000，
= 120
解得： = 100，
答：甲种商品购进 120 件，乙种商品购进 100 件；
(2)设甲商品的售价为 元，则乙商品的售价为( + 8)元，
1500 = 1900由题意得： +8，
解得： = 30，
经检验， = 30 是原方程的解，且符合题意，
∴ 1500 ÷ 30 = 50(件)，
∴ 50 × (30 25) + 50 × (30 + 8 30) = 650(元)，
答：超市能从这次销售中获利 650 元．
21.解：(1)在 △ 中， = 3， = 4，则 = 5，
则 = =
4
5， =
3
5，
则 △ 中， = 12 ， = ， = ，
则 1 = + + =
1
2 (1 +
4
5 +
3 ) = 65 5 (0 < ≤ 6)；
1 10
则 2 = ： = 5：( 2 ) = (0 < ≤ 6)；
(2)当 = 1 时， 1 =
6
5， 2 = 10，当 = 5 时， 1 = 6， 2 = 2，
根据上述各点可大致画出函数的图象如下：
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从函数图象看， 1随 的增大而增大， 2随 的增大而减小(答案不唯一)；
(3)从图象看，两个函数的交点的横坐标约为 2.9，
故 1 < 2时 的取值范围 0 < < 2.9(答案不唯一)．
22.解：(1)过 点作 ⊥ 于 点，如图，
∵ 在 的正西方向， 在 的正北方向，
∴ ⊥ ，
在 △ 中，∵ ∠ = 60°，
∴ = 12 =
1
2 × 400 = 200(米)，
∴ = 3 = 200 3米，
在 △ 中，∵ ∠ = 90° 45° = 45°，
∴ = = 200 3米， = 2 =
200 6米，
∴ = + = 200 + 200 3 ≈ 546(米)；
(2)小明家先到达 处熊猫馆．
理由如下：
在 △ 中，∵ ∠ = 30°，
∴ = 33 =
3
3 (200 + 200 3) = (
200 3
3 + 200)米，
∴ = 2 = ( 400 3 米，3 + 400)
∵ + = 400 + 200 6 ≈ 890(米)， + = ( 400 33 + 400) + (
200 3
3 + 200) ≈ 946(米)，
∴ + < + ，
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∵小明和小红两家人的速度相同(停留在 、 的玩耍时间相同)，
∴小明家先到达 处熊猫馆．
+ 5 = 8
23.解：(1)由题意得： = 2 = 2
，
= 1
解得： = 4，
则抛物线的表达式为： = 2 4 5；
(2)由抛物线的表达式知，点 、 、 的坐标分别为：( 1,0)、(5,0)、(0, 5)，
由点 、 的坐标得，直线 的表达式为： = 5，
设点 ( , 2 4 5)，点 ( 5)，
= 2 + 5 5 5 5则 ，当 = 2时， 取得最大值，此时，点 ( 2 , 2 )，
5 1
则 = 2 2 = 2，
1 1将点 向右平移2个单位得到点 ( 2 , 5)，连接 交 于点 ，作 ⊥直线 = 2 交于点 ，连接 ，则此
时 + + 的最小，
理由： // 且 = ，则四边形 为平行四边形，则 = ，
则 + + = + + = + = 12 + (5
1 2 2 2+ 181为最小；
2 ) + 5 = 4
(3)将该抛物线沿射线 方向平移，则设抛物线向右向上平移了 个单位，则新抛物线的表达式为： = (
)2 4( ) 5，
5 5 5 5将点 的坐标代入上式得： 22 = ( 2 ) 4( 2 ) 5，则 = 2 (不合题意的值已舍去)，
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5
则新抛物线的表达式为： = ( )22 4(
5
2 ) 5，
当点 在 上方时，
∵ ∠ = ∠ ，则直线 / / ，
由点 、 的坐标得，直线 表达式中的 值为 5，则直线 表达式为 = 5( 52 )
5
2，
当点 在 下方时，
根据图象的对称性，直线 1 5 5的表达式为： = 5 ( 2 ) 2，
联立 和抛物线的表达式得：( 5 )22 4(
5 ) 5 = 5( 5 ) 52 2 2或(
5
2 )
2 4( 52 ) 5 =
1
5 (
5
2 )
5
2，
5 3 63
解得： = 2 (舍去)或2或10，
3 5 63 163
则点 ( 2 , 2 )或( 10 , 50 ).
24.解：(1) ∵ 平分∠ ， ⊥ ，∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ = ∠ = 90°．
∵ = ，
∴△ ≌△ ( )．
∴ = ， = ．
∵ = 6，
∴ = 6．
∵ = 4，
∴ = + = 6 + 4 = 10．
在 △ 中，∠ = 90°， = 2 2 = 102 62 = 8．
设 = = ，
∴ = = 8 ．
在 △ 中，∠ = 90°， 2 + 2 = 2
∴ 2 + 42 = (8 )2.解得 = 3．
∴ = = 3．
∴ = 2 + 2 = 62 + 32 = 3 5；
(2) = + .理由如下：如图，延长 和 交于点 ，
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∵ ∠ = 90°，
∴ ∠ = ∠ = 90°．
∵ = ，∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ( )．
∴ = ， = ．
∴ = + = 2 ．
又∵ 为线段 靠近 的三等分点，
∴ = 2 ．
∴ = ．
又∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°．
又∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ ( )．
∴ = ．
又∵ ∠ = 45°，设∠ = ∠ = ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ = 45° + ，∠ = ∠ ∠ = 45° ．
又∵ ⊥ ，
∴ ∠ = 90°．
∴ ∠ = 90° ∠ = 90° (45° + ) = 45° ，
∴ ∠ = ∠ ．
∴ = ．
又∵ = = + ， = ，
∴ = + ．
(3)取 中点 ，连接 ， ，
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∵△ ∽△ ，
∴ = 2 ，即 = ．
∵△ ∽△ ，
∴ = 即 = ．
∴ 2 = ，
∵ = 10， = 25，
∴ = 4．
又∵ 为 中点，∠ = 90°，
∴ = 12 = = 2．
又∵ = 25，
∴ = = 25 2 = 23．
又∵ ∠ = 90°， = 23，
∴ = 2 + 2 = 23 2．
又∵ ≥ ，
∴当 、 、 共线时， 取到最小值 = 23 2 2．
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