2024-2025学年山东省济南市莱芜区九年级（下）质检
数学试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.2024 年全国普通高校毕业生规模预计达到 1179 万人，将 1179 万用科学记数法表示为( )
A. 1.179 × 107 B. 1.179 × 108 C. 1.179 × 103 D. 1179 × 104
2.下列命题正确的是( )
A.方差越小则数据波动越大 B.等边三角形是中心对称图形
C.对角线相等的四边形是矩形 D.正多边形的外角和为 360°
3.下列运算正确的是( )
A. 3 2 = 2 B. ( + )2 = 2 + 2
C. 3 2 ÷ 2 = D. ( 2 )2 = 4 2
4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的
小立方块个数，则这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
5.实数 ， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确的是( )
A. > 0 B. + < 0
C. | | > | | D. < 0
6.小刚同学一周的跳绳训练成绩(单位：次/分钟)如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据
的众数和中位数分别是( )
A. 160，162 B. 158，162 C. 160，160 D. 158，160
7.已知点 ( 3, 1)， ( 2,3)， ( 1,
2)， (2, 3)都在反比例函数 = ( ≠ 0)的图象上，则 1， 2， 3
的大小关系为( )
A. 2 < 1 < 3 B. 3 < 1 < 2 C. 2 < 3 < 1 D. 1 < 3 < 2
8.如图，在矩形 中， = 6， = 8， 是 上不与 和 重合的一个动点，过
点 分别作 和 的垂线，垂足为 ， ，则 + 的值为( )
A. 125 B.
24 28
5 C. 5 D. 5
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9.如图，在 中， = 2， = 3，∠ = 60°，在 和
上分别截取 ( < )， ，使 = ，分别以 ， 为圆心，以大
于的长为半径作弧，两弧在∠ 内交于点 ，作射线 交 于点 ，
连接 ，分别以 ， 1为圆心，以大于2 的长为半径作弧，两弧相交
于点 和 ，作直线 交 于点 ，则 的长为( )
A. 3 B. 2 C. 3 14 3 5 D. 2
10.如图 1，在 △ 中，∠ = 90°， = 4，动点 从点 开始沿 边以每秒 0.5 个单位长度的速度
运动，同时，动点 从点 开始沿 边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连
接 ， 为 中点，连接 ， ，设时间为 ( )， 2为 ， 关于 的函数图象如图 2 所示，则下列说法正
确的是( )
①当 = 1 时， = 2.5；② = 2；
③ 有最小值，最小值为 2；④ + 有最小值，最小值为 26．
A.①②③ B.①③④
B. C.②③ D.②④
二、填空题：本题共 5小题，每小题 4分，共 20分。
11.在平面直角坐标系中有五个点，分别是 (1,3)， ( 1,3)， ( 1, 3)， (4,3)，
(3, 5)，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______．
12.如图，纸片的边缘 ， 互相平行，将纸片沿 折叠，使得点 ， 分别
落在点 ′， ′处.若∠1 = 80°，则∠2 的度数是______．
13.在 △ 中，∠ = 90°， = 6，△ 的周长为 14，则 边上的高
为______．
14.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿
原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同
速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离 ( )与时间 ( )的关系，
则小明与小亮交谈的时间为______ .
15.如图，在矩形纸片 中， = 4， = 6， 为 中点， 为边 上一
点，连接 ，将△ 沿 翻折，点 的对应点为 ′， 为边 上一点，连
接 ，将△ 沿 翻折，点 的对应点恰好也为 ′，则 = ______．
三、计算题：本大题共 1小题，共 7分。
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16 1.计算：( 1)2010 × ( 2 )
3 + ( 58° )02 + | 3 4 60°|
四、解答题：本题共 9小题，共 83分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 7 分)
2 1 < 3 ,
解不等式组： 2 1 ≤ 0,，并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．2 3
18.(本小题 7 分)
如图，在 中，点 ， 分别是 ， 上的点，且 = ，连结 ， .求证： = ．
19.(本小题 8 分)
根据以下素材，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
某小区为解决“停车难”这个问题，改造
一个地下停车库.图 1 是该地下停车库坡道
素材 1
出入口的侧面示意图.地下停车库高 =
4.5 ⊥ ，出入口斜坡 长 20.5 ．
图 2 是地下停车库门口安装的车牌识别设备，摄像头 点位于 点正上方 = 1.5 ， ， ，
三点共线.摄像头在斜坡上的有效识别区域为 ，车辆进入识别区域无需停留，闸门 3 秒即会自动
打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭. (参考数据 53° ≈ 0.8 53° ≈ 0.6 53° ≈ 4， ， 3 )
素材 2
素材 3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速 5 / ．
任务一 确定斜坡坡比：如图 1，求 的值．
问题解 判断车辆是否顺利通过：如图 3，当∠ = 53°时，
决 任务二 请判断此时车辆以最高限速行驶到达 点时，闸门是否
已经打开，请通过计算说明．
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20.(本小题 8 分)
如图，在⊙ 中， 是直径，点 是⊙ 上一点， = 9， = 3，点 在 上， = 2 ，连接 并延
长交⊙ 于点 ，连接 ， ⊥ ，垂足为 ．
(1)求证：△ ∽△ ；
(2)求 的长．
21.(本小题 9 分)
为了增强青少年的法律意识，呵护未成年人健康成长，某学校展开了法律知识竞赛活动，并从七、八年级
分别随机抽取了 40 名参赛学生，对他们的成绩进行了整理、描述和分析．
①抽取七、八年级参赛学生的成绩统计图如图(不完整)：
说明： ：0 ≤ < 60； ：60 ≤ < 70； ：70 ≤ < 85； ：85 ≤ ≤ 100；
②抽取八年级参赛学生的成绩等级为“ ”的分数为：70，71，71，72，73，74，75，76，77，77，78，
80，81，82，84．
③抽取七、八年级参赛学生成绩的平均数、中位数、众数如表：
年级平均数中位数众数
七 73.5 74 84
八 73.5 ______ 85
根据以上信息，解答下列问题：
(1)请将条形统计图补充完整；
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(2)八年级这 40 名学生成绩的中位数是______；
(3)在这次竞赛中，小明和小亮均得了 75 分，但小明的成绩在其所在年级排名更靠前，可知小明是
______(填“七”或“八”)年级的学生；
(4)该校七年级有 720 名学生，八年级有 800 名学生，若该校决定对于竞赛成绩不低于 85 分的学生授予“法
治先锋”称号，则请估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有多少人？
22.(本小题 10 分)
某超市销售 ， 两种品牌的牛奶，购买 3 箱 种品牌的牛奶和 2 箱 种品牌的牛奶共需 285 元；购买 2 箱
种品牌的牛奶和 5 箱 种品牌的牛奶共需 410 元．
(1)求 种品牌的牛奶， 种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？
(2)若某公司购买 ， 两种品牌的牛奶共 20 箱，且 种品牌牛奶的数量至少比 种品牌牛奶的数量多 6 箱，
又不超过 种品牌牛奶的 3 倍，购买 ， 两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少
元？
23.(本小题 10 分)
3
如图，直线 = 2 与双曲线 = ( ≠ 0)交于 ， 两点，点 的坐标为( , 3)，点 是双曲线第一象限分支
上的一点，连接 并延长交 轴于点 ，且 = 2 ．
(1)求 的值并写出点 的坐标；
(2)线段 = 1 在 轴上运动，且 点在右侧，求四边形 周长的最小时点 的坐标；
(3) 是坐标轴上的点， 是平面内一点，是否存在点 ， ，使得四边形 是矩形？若存在，请直接写出
所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
24.(本小题 12 分)
阅读材料并完成问题．
材料：直线 = + ( ≠ 0)上任意两点 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 ≠ 2，线段 的中点
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( , ) + + ， 点坐标及 可用公式： = 1 2， = 1 23 3 3 2 3 2 ； =
1 2
计算.例如：直线 = 2 + 11 2
上两点 (1,3) 1+3 3+7 3 7， (3,7)，则 3 = 2 = 2， 3 = 2 = 5，即线段 的中点 (2,5)， = 1 3 = 2．
已知抛物线 = 2 2 3( > 0)，根据以上材料解答下列问题：
(1)若该抛物线经过点 (3,0)，求 的值；
(2)在(1)的条件下， ， 为该抛物线上两点，线段 的中点为 ，若点 (2,1)，求直线 的表达式；
以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：
设直线 的表达式为： = + ， ( , 2 )， ( , )，则有 = 2 3①， = 2 2
3②.① ②得： = ( 2 2 ) 2 ( ) = ( )( + ) 2 ( )，两边同除以
( )
，得
= = ( + ) 2 …；
(3)该抛物线上两点 ， ，直线 的表达式为： = (5 2 2) + ( ≥ 0)．
Ⅰ.请说明线段 的中点在一条定直线 1上；
Ⅱ.将Ⅰ中的定直线 1绕原点 顺时针旋转 45°得到直线 2，当 1 < < 3 时，该抛物线与 2只有一个交点，求
的取值范围．
25.(本小题 12 分)
在 △ 中，∠ = 90°，∠ = 60°．
(1)如图 1，在△ 中，∠ = 120°， = 2 ， 是 中点，连接 .若 = 1，求线段 的长；
(2)如图 2，在△ 中，∠ = 120°， = 2 ， 是 中点，连接 ，求 的值；
(3) 3 如图 ，在△ 中，∠ = 120°， = 2 ， 是 中点， 是 中点，连接 ， ，求 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.25
12.50°
13.73
14.0.4
15.6 2 5
16. 1解：原式= 1 × 8 + 1 + | 3 4 × 2 | = 8 + 1 + 2 3 = 11 3．
2 1 < 3 ①
17.解： 2
2
1
3 ≤ 0
，
②
解不等式①得： > 1，
解不等式②得： ≤ 4，
∴不等式组的解集为： 1 < ≤ 4，
在数轴上表示为：
18.证明：∵四边形 为平行四边形，
∴ // .又 = ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ = ．
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19.解：任务一：∵ = 4.5 ， ⊥ ， = 20.5 ，
∴ = 2 2 = 20 ，
∴ = 4.5 9 20 = 40；
任务二：闸门没有打开，理由如下：
如图，过点 作 ⊥ 于 ，
∵ ∠ = 53°， 53° ≈ 4 3 = ，
∴设 = 4 ，则 = 3 ，
∵ ⊥ ， ⊥ ，
∴ // ，
∴△ ∽△ ，
∴ =
= 9 40，
∴ = 940 = 0.9 ，
∴ = = 2.1 = 1.5 ，
解得 = 57，
∴ = 2 + 2 = (4 )2 + (0.9 )2 = 4.1 = 4.1 × 57 ≈ 2.93( )，
∴ 2.93车辆以最高限速行驶到达 点的时间为：5÷3.6 ≈ 2.1 秒，
∵ 2.1 < 3，
∴闸门没有打开．
20.(1)证明：∵ 是直径，
∴ ∠ = 90°，∵ ⊥ ，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
∵ ∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ；
(2)解：如图，过点 作 ⊥ 于点 ．
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∵ = 9， = 3，∠ = 90°，
∴ = 2 + 2 = 32 + 92 = 3 10，
∵ = 2 ，
∴ = 10， = 2 10，
∵ 1 12 = 2 ，
∴ = 9 10，10
∴ = 2 2 = 32 ( 9 1010 )
2 = 3 10，10
∴ = = 7 10，10
∴ = 2 + 2 = ( 9 1010 )
2 + ( 7 10 210 ) = 13
，
∵ ∠ = ∠ = 90°，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
2 10×9 10
∴ = 10 = 18 13，13 13
∵△ ∽△ ，
∴ 1 = = 3，
∴ = 6 13．13
21.解：(1)七年级 等级人数为：40 × 25% = 10，
七年级 等级人数为：40 × 20% = 8，
补充完整后的条形统计图如下所示：
(2)将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图和八年级 等级分数情况可知，第 20 位和第 21
位分别为 75，76，
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75+76
因此八年级这 40 名学生成绩的中位数是 2 = 75.5，
故答案为：75.5；
(3)七年级的中位数为 74，八年级的中位数为 75.5，
因此同样是 7(5 分)的情况下，在七年级的排名更靠前，可知小明是七年级的学生，
故答案为：七；
(4)720 × 20% + 800 × 1240 = 144 + 240 = 384(人)，
答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有 384 人．
22.解：(1)设 种品牌的牛奶每箱价格是 元， 种品牌的牛奶每箱价格是 元．
3 + 2 = 285
根据题意，得 2 + 5 = 410，
= 55
解得 = 60．
答： 种品牌的牛奶每箱价格是 55 元， 种品牌的牛奶每箱价格是 60 元．
(2)设购买 品牌的牛奶 箱，则购买 品牌的牛奶(20 )箱．
(20 ) ≥ 6
根据题意，得 ≤ 3(20 ) ，
解得 13 ≤ ≤ 15，
设总费用为 元，则 = 55 + 60(20 ) = 5 + 1200，
∵ 5 < 0，
∴ 随 的增大而减小，
∵ 13 ≤ ≤ 15，
∴当 = 15 时， 值最小， 最小 = 5 × 15 + 1200 = 1125，20 15 = 5(箱)．
答：购买 品牌的牛奶 15 箱、 品牌的牛奶 5 箱才能使总费用最少，最少总费用为 1125 元．
23.解：(1) ∵直线 = 32
与双曲线 = ( ≠ 0)交于 ， 两点，点 ( , 3)，
∴ 3 =
3
2 ，
= 3
= 2
解得： = 6 ，
∴点 ( 2, 3) 6，反比例函数的表达式为： = ，
∵ = 3 6直线 2 与双曲线 = 都关于原点 对称，
∴点 ， 关于原点 对称，
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∴点 的坐标为(2,3)；
(2)过点 作 ⊥ 轴于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，如图 1 所示：
∵点 (2,3)，
∴ = 3，
∵ = 2 ，
∴ = 3 ，
∵ ⊥ 轴， ⊥ 轴，
∴ // ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ 3 = 3 ，
∴ = 1，
∴点 的纵坐标为 1，
6
对于 = ，当 = 1 时， = 6，
∴点 的坐标为(6,1)，
∴ = (2 6)2 + (3 1)2 = 2 5，
当线段 = 1 在 轴上运动时，四边形 的周长为： + + + ，
∴当 + 为最小时，四边形 的周长为最小，
作点 关于 轴对称点 ，过点 作 / / 轴，且 = 1(点 在点 的右侧)，连接 ， ， ，如图 2 所
示：
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∴ = ，
∵线段 在 上移动，且 = 1，
∴ // ， = = 1，
∴四边形 是平行四边形，
∴ = = ，
∴ + = + ，
根据“两点之间线段最短”得： + ≤ ，
∴点 ， ， 在同一条直线上时， + 为最小，即 + 为最小，如图 3 所示：
∵点 (2,3)，点 与点 关于 轴对称，
∴点 (2, 3)，
∵ = 1，
∴点 (3, 3)，
设直线 的表达式为： = + ，
将点 (6,1)，点 (3, 3)代入 = + ，
6 + = 1
得： 3 + = 3，
= 4
解得： 3 ，
= 7
∴直线 4的表达式为： = 3 7，
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4 21
对于 = 3 7，当 = 0 时， = 4，
∴ ( 21点 的坐标为 4 , 0)，
∴ = 214，
∵ = 1，
∴ = = 214 1 =
17
4，
17
此时点 的坐标为( 4 , 0)；
(3)存在，理由如下：
①当点 在 轴上上时，过点 作 ⊥ 轴于点 ，如图 4 所示：
则∠ = 90°，
∵点 (2,3)，
∴ = 2， = 3，
在 △ 中，由勾股定理得： = 2 + 2 = 13，
∵四边形 是矩形，
∴ ∠ = ∠ = 90°，
又∵ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∴ 13 =
2
，
13
∴ = 132，
∴点 13的坐标为( 2 , 0)；
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②当点 在 轴上时，过点 作 ⊥ 轴于点 ，如图 5 所示：
∵点 (2,3)，
∴ = 2， = 3，
同理可证明：△ ∽△ ， = 13，
∴ = ，
∴ 13 3 ， = 13
∴ = 133，
13
此时点 的坐标为(0, 3 )．
13 13
综上所述：点 的坐标为( 2 , 0)，(0, 3 )．
24.解：(1)把点 坐标代入抛物线 = 2 2 3 得：9 6 3 = 0，解得 = 1．
(2)当 = 1 时，抛物线解析式为： = 2 2 3．
由于点 是线段 + + 中点，根据材料可知： = 2， 2 2 = 1．
B、 两点在抛物线上，则 = 2 2 2 3， = 2 3．
两式相减得： = 2 2 2 + 2 = ( )( + 2)．
= ( + 2) = 2．
设直线 的解析式为 = + ，由材料可得 = 2，则 = 2 + ．
把点 坐标代入得：1 = 2 × 2 + ， = 3．
故直线 的表达式为 = 2 3．
(3)Ⅰ.根据(2)题干思路，对于直线 ， = (5 2 2) ， = ．
则 = ( + ) 2 ．
结合直线 和抛物线解析式可得： 2 2 3 = (5 2 2) + ，
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整理得： 2 5 2 3 = 0，
由根与系数的关系得： + = 5 2，
则 中点的横坐标为： + = 5 2，2 2
∴ 中点在定直线 = 5 2上．2
Ⅱ.如图，直线 2的与坐标轴相交于 两点，过原点 作 2的垂线，点 为垂足，抛物线交 轴负半轴于点 ，
其对称轴与 轴、直线 2分别交于 、 ．
= 2 2 3 = 2 对于抛物线 ，对称轴为 2 = 1．
当 = 0 时， = 3，则抛物线过点 (0, 3)．
直线 = 5 2绕原点 顺时针旋转 45°得到直线 ，2 2 =
5 2，∠ = 45°，
2
∴△ 为等腰直角三角形， = 2 = 5．
故直线 2相当于直线 = 向右平移了 5 个单位长度，直线 2的解析式为 = 5．
令 2 2 3 = 5，整理得： 2 (2 + 1) + 2 = 0，
= (2 + 1)2 4 × 2 = (2 1)2 1，令 = 0， = 2．
(2 +1)
此时 = 2 = 2， = 2 5 = 3，所以抛物线与 2相切于点 (2, 3)．
根据抛物线的对称性， = 2 2 3 过定点 (0, 3)和 (2, 3)．
当抛物线从与直线 2相切位置之后，到其顶点移动至点 时，在这个过程抛物线与 2都有两个交点；抛物线
顶点低于点 后，在 1 < < 3 范围内抛物线只与直线 2有一个交点 ．
抛物线顶点纵坐标为： × (1)2 2 × 1 3 = 3．
点 的纵坐标为： = 1 5 = 4．
∴ 3 < 4，即 < 1．
1
综上可知， 的取值范围为 < 1 或 = 2．
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25.解：(1)如图 1 中， △ 中，∠ = 90°，∠ = 60°， = 1，
∴ ∠ = 30°，
∴ = 2 = 2， = 3 = 3，
∵ = 2 ，
∴ = 2 3，
∵ 是 的中点，
∴ = = 3，
∵ ∠ = 120°，
∴ ∠ = 120° 30° = 90°，
∴ = 2 + 2 = 22 + ( 3)2 = 7；
(2)如图 2 中，以 为边，向右作等边三角形 ，连接 ， .取 的中点 ，连接 ．
∵ ∠ = 90°， 是 的中点，
∴ = = ，
∵ ∠ = 60°，
∴△ 是等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ， = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，∠ = ∠ ，
∵ ∠ = 120°，
∴ ∠ + ∠ = 60°，
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∵ ∠ + ∠ = 60°，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∵ = 2 ， = ， = ，
∴ = ，
∴△ 是等边三角形，
∴ = = ，
∴ ∠ = 90°，
∴ ∠ = 30°，
∵ ∠ = 60°，
∴ ∠ = 90°，
设 = ，则 = 2 ， = = = 3 ，
∴ = = 2 + 2 = ( 3 )2 + (2 )2 = 7 ，
∴ = 7 21 3 = 3 ；
(3)如图 3 中，在 上截取线段 ，使得 = ，连接 ， ．
∵ ∠ = 120°，∠ = 60°，
∴ ∠ + ∠ = 180°，
∴ ， ， ， 四点共圆，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∵ = ，
∴△ 是等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
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∴ ∠ = ∠ ，
∵ = ， = ，
∴△ ≌△ ( )，
∴ = ，
∵ = 2 ，
∴ = 2 = 2 ，
∵ = ， = ，
∴ = 2 ，
∴ = = 2，
∴ // ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
由(2)可知∠ = 90° 21， = 3 ，
设 = 21 ， = 3 ，则 = 2 3 ，
∴ = 21 7 = 2 3 = 2 ．
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