18.2.1 矩形 练习
一、单选题
1．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．11
2．如图，直线，矩形的顶点在直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（ ）
A．16 B． C． D．
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，则对角线的长为（ ）
A． B． C．5 D．4
5．如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点在矩形的边上，若是等边三角形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知四边形是矩形，点B在直线上，若平分，则下列结论不能推出的是（ ）
A．平分 B．
C．是等边三角形 D．
8．如图，在矩形中，，，P是的中点，点Q在边上，连接，将矩形沿折叠，点B，C，D的对应点分别为分别交于点E，F（点E在点F右侧），则线段的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形中，，对角线与交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为（ ）
A．3 B．4 C． D．
10．如图，在中，，根据步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；（2）作直线，交于点．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在中，，P是内一点，点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题
13．如图，在矩形中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；
②作直线交于点E，若，，对角线的长为 ．
14．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则的长是 ．
15．如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．
16．如图，矩形的对角线与相交于点，，，，，则四边形的面积为 ．
三、解答题
17．如图，在矩形中，点是上一点，连接，，点是上一点，．求证：．
18．课本再现
我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
如图1，在中，，若点D是斜边的中点，则．
定理证明
（1）请完成这个定理的证明．
拓展应用
（2）如图2，已知，点E、F分别为、的中点，，．求的长．
19．如图1，在矩形中，，，点，分别在，上，将矩形沿直线折叠．使点落在边上的处，点落在处，连接，若．
(1)求的长；
(2)证明；
(3)如图2，为中点，连接．求的长．
20．已知：中，是上一点，求作：矩形，使在边上，在边上．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A A C C C B C D
题号 11 12
答案 C B
1．A
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线互相平分是解题关键．由矩形的性质可得，，，，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：四边形是矩形，，，
，，，
，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键.
延长交于点，根据平行线的性质，得到，根据矩形的性质得到，根据直角三角形的性质计算即可得到答案.
【详解】解：如图，延长交于点，
，
，
矩形，
，
，
，
，
故选：C.
3．A
【分析】本题考查中位线的性质， 熟练掌握中位线的性质是解题的关键；
根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题．
【详解】解：、分别为、的中点，
．
∵四边形是矩形，
．
故选：A
4．A
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键；
本题由坐标系中点到原点的距离计算公式求出的长，然后根据矩形的性质对角线相等，即可求解；
【详解】解：连接，如图：
，
∵顶点B的坐标为，
∴，
∵四边形是矩形，
∴；
故选：A；
5．C
【分析】本题考查矩形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，根据题意，则，点是对角线的交点，则，根据等边对等角，则，，再根据，等边三角形的三线合一，即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识的应用．
首先由等边三角形的性质得出，又四边形是矩形，则有，然后根据平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
故选：．
7．C
【分析】本题考查矩形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质，得到，，进而得到，角平分线推出，进而得到，得到，根据等角的余角相等，推出，即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；故选项B正确；
∴，故选项D正确；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴平分；故选项A正确；
∵，
∴是等腰三角形，无法得到是等边三角形，故选项C错误；
故选C．
8．B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，要使最大，则点F要离点E最远，当点Q与点B重合时，线段最大，计算出的长度，，即可解答，熟知折叠的性质，得到当点Q与点B重合时，线段最大是解题的关键．
【详解】解：如图，
是的中点，
为定点，
∴要使最大，则点F要离点E最远，
∴当点Q与点B重合时，线段最大，此时点也与点B重合，
根据折叠可得，，
四边形是矩形，
，，，
，
设，则，
点是的中点，
,
在中，，
即，
解得，
同理可得.
最大值为．
故选：B．
9．C
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定以及性质，勾股定理，由矩形的性质可得，可证，可得，由勾股定理可求的长．
【详解】解：∵四边形是矩形
∴，
∵平分
∴，且，，
∴
∴，且
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故选：C．
10．D
【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据作图可知，是的垂直平分线，得出点是的中点，再根据直角三角形的性质得到，即可求出的长．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
直线交于点，
点是的中点，
，
，
．
故选：D．
11．C
【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点，能证出四边形为平行四边形和是解此题的关键， 由平行公理的推论求出，，推出平行四边形，证出即可得解．
【详解】解：添加的条件是，
∵，，
∴，
同理，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
平行四边形是矩形，
故选：．
12．B
【分析】本题考查了轴对称的性质，连接，根据轴对称的性质得分别为的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质得，，，即可判断①③，根据，可得四边形为矩形，即可判断②．
【详解】解：如图，连接，设与交于点，与交于点，
∵点D，E，F分别是点P关于直线的对称点，
∴分别为的垂直平分线，
∴，
∴，故①正确；
∵分别为的垂直平分线，
∴四边形为矩形，
∴，故②正确；
∵为的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
同理得
∵，
∴，故③错误；
∴正确的结论是①②，
故选：B．
13．
【分析】本题考查了作图-基本作图以及矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．根据题意利用基本作图即可判断垂直平分，则，然后利用勾股定理先计算出，再计算出即可．
【详解】解：由作法得垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
在中， ．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及，可得是等边三角形，从而得到，再由勾股定理解答即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为，
∴，
∴，
作于点E，如图，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在直角三角形中，根据勾股定理可得：，
即，解得，
∴点的坐标为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键．
16．
【分析】连接，与交于点F，只要证明四边形是菱形，四边形是平行四边形结合勾股定理即可解决问题．
【详解】解：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∵矩形的对角线与相交于点O，
∴，，
∴平行四边形是菱形．
连接，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴四边形的面积为；
故答案为：
【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，二次根式的运算，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用菱形的性质解决问题．
17．证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，两直线平行内错角相等等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
由矩形的性质可得，，由两直线平行内错角相等可得，再结合，可得，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：四边形是矩形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
18．（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了矩形的判定及性质，直角三角形的特征，勾股定理等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
（1）延长到E使得，连接，，由矩形的判定方法得四边形为矩形，即可得证；
（2）连接、，由直角三角形的特征得，，由勾股定理得，即可求解；
【详解】（1）如图1，延长到E使得，连接，，
图1
D为中点，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
；
（2）解：如图2，连接、，
图2
，点E是的中点，，
，
点F是中点，
，，
．
19．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据矩形性质与折叠性质可得，，设，则，根据勾股定理即可求解；
（2）根据折叠性质，平行线性质可得结论；
（3）过点B作于点H，由折叠性质以及矩形性质可得，证明，得到，，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：四边形为矩形，
，
由折叠可知，，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
则；
（2）证明：由折叠可知，
在矩形中，，
，
；
（3）如图，过点B作于点H，
由矩形折叠可知，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形与折叠，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解题关键．
20．见详解
【分析】本题考查作图--复杂作图，矩形的判定，尺规作垂线，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
根据要求作出图形即可．
【详解】解：如图，矩形即为所求，
