2024-2025 学年河南省郑州十九中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 (1 2 ) = 2 + ，则复数 =( )
A. 1 B. C. 1 D.
2.如图，四边形 为平行四边形， = 2 ， 为线段 的中点，若以 ， 为基底表示向量 ，则
=( )
A. 2 3 3 + 4
B. 1 2
+ 2 3
C. 13
+ 5 6
D. 1 + 1 4 3
3.已知 1， 2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是( )
A. 1+ 2和 1 2 2 B. 1 2 2和 2 1 4 2
C. 1 2 2和 1+ 2 2 D. 1+ 2和 1 + 2 2
4 .已知平面向量 ， 的夹角为3，且|
| = 1，| + 2 | = 2 3，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 1 D. 3
5.下列命题：①向量 与 都是单位向量，则 = ；
②在△ 中，必有 + + = 0；
③四边形 是平行四边形，则 = ；
④若向量 与 共线，则存在唯一的实数 使 = ．
其中正确的是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
6 .已知△ 中， = 2 2， = 3， = 6，那么满足条件的△ ( )
A.有两个解 B.有一个解 C.无解 D.不确定
7.一艘船向正北航行，在 处看灯塔 在船的北偏东 30°方向上，航行 10 后到 处，
看到灯塔 在船的北偏东 75°的方向上，此时船距灯塔 的距离(即 的长)为( )
A. 52 2 B. 5 2
C. 5 3 D. 5 6
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8.在△ 中，角 ， 所对的边分别为 ， ，点 为△ 的外心，若 2 + 2 = 2 ，则 的最小值是
( )
A. 14 B.
1
2 C. 1 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A.若 = 2 + 3 ，则 = 2 + 3
B.复数 2 在复平面内对应的点位于第四象限
C. + 2023 = 0
D.若 = 2 4 + (2 ) ( ∈ )为纯虚数，则 = 2
10.若向量 = (2,0)， = (1, 3)，则( )
A. | | = 2 B. = 2
C. 在 1 上的投影向量为2 D. 与
的夹角为6
11.设点 是△ 所在平面内一点，则下列说法正确的是( )
A.若 = 1 + 13 3
，则点 是△ 的重心
B.若 = 2 ，则点 在边 的延长线上
C.若 在△ 所在的平面内，角 、 、 所对的边分别是 ， ， ，满足以下条件 2 + 2 + = 0，
= 2则 △ 5 △
D.若 = + + = 1，且 2，则△ 的面积是△
1
面积的2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若复数 = + 2 ( 为虚数单位， ∈ )满足| | = 3，则 的值为______．
13. = (1, 2), = (1, ), 与 的夹角为锐角， 的取值范围为______．
14.如图，在△ 中， = 1 ， 2 = ，直线 交 于点 ，若 =
5 7
，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 = 2 4 12 + ( 2 4) ，其中 ∈ ．
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(1)若 为纯虚数，求 的值；
(2)若 在复平面内对应的点在第一象限，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知向量 、 满足| | = 2， = ( 2,2 3)，且 与 2 的夹角为 3．
(1)求 的值；
(2)当 为何值时，( + 2 ) ⊥ ( )？
17.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = (2 ) ．
(1)求 ；
(2)若 = 6，求△ 的周长的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图，在△ 中， 为边 上一点，且 = 2 ， = 33 1，cos∠ = 3．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 = 33 ，求 ．
19.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，对于非零向量 = ( 1, 1)， = ( 2, 2)，定义这两个向量的“相离度”为 ( , ) =
| 1 2 2 1| ，容易知道 , 平行的充要条件为 ( , ) = 0．
2+ 21 1
2
2+
2
2
(1)已知 = (1,2)， = (4, 2)，求 ( , )；
(2)①已知 , 的夹角为 1和 , 的夹角为 2，证明： ( , ) = ( , )的充分必要条件是 1 = 2；
②在△ 中， = 2， = 4，角 4的平分线 与 交于点 ，且 = 3，若
+ + = 0，求
( , )．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.± 5
13.( ∞, 2) ∪ ( 2, 12 )
14.35
15.解：(1) ∵ = 2 4 12 + ( 2 4) 且 为纯虚数，
2
∴ 4 12 = 02 ，解得 = 6． 4 ≠ 0
(2) ∵ 在复平面内对应的点在第一象限，
∴
2 4 12 > 0
2 ，解得 < 2 或 > 6， 4 > 0
故 的取值范围为( ∞, 2) ∪ (6, + ∞)．
16.
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17.解：(1)在△ 中， = (2 ) ，
由正弦定理： = 2 ，可得： + = 2 ，可得 =
2 ，
因为 ∈ (0, )，故 > 0 1，从而 = 2，
又 ∈ (0, )，所以 = 3．
(2)在△ 中，由余弦定理有 2 = 2 + 2 2 = 2 + 2 =
( + )2( + )2 3 ≥ ( + )2 3 4 =
1 2
4 ( + ) 当且仅当 = 时取等号，
∴ 6 ≥ 14 ( + )
2，∴ ( + )2 ≤ 24，∴ + ≤ 2 6，
又 + > = 6，∴ + + ∈ (2 6, 3 6].
∴△ 的周长的取值范围(2 6, 3 6].
18.解：(Ⅰ)因为 = 2 ， = 33，cos∠ = 13，
在△ 中，由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 33 = ( 2 2 2 ) + 2 2
1
3，
解得 = 6；
(Ⅱ) 由图知：∠ = ∠ ∠ ，由(Ⅰ)可得 = 2 = 3，
3
由图知， 为锐角，∠ 为锐角， = 3 ，
可得 sin∠ = 1 cos2∠ = 1 19 =
2 2
3 ， = 1 sin
2 = 1 13 =
6
3 ，
sin∠ = sin(∠ ) = sin∠ cos∠ = 2 2 6 1 3 33 × 3 3 × 3 = 3 ，
可得 = sin∠ ，
可得 = = 3．
19.
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