2024-2025学年河南省实验中学高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数 ( ) △ → 0 ( 0 2△ ) ( 0)满足 △ = 2，则 ′( 0) =( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
2.若函数 ( ) = ′(1) 2 2 + 1，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 12
3.若点 是曲线 = 2 上任一点，则点 到直线 4 = 0 的最小距离是( )
A. 2 B. 3 C. 2 2 D. 2 3
4.用 5 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色.则不同的涂色方法有( )
A. 180
B. 240
C. 280
D. 300
5.已知函数 ( ) = + ，若 ( ) + (1 + 2 ) > 0，则 的取值范围为( )
A. ( 1, + ∞) B. ( ∞, 1) C. ( 13 , + ∞) D. ( ∞,
1
3 )
6.高一某班一天上午有 4 节课，下午有 3 节课，现要安排该班一天中语文、数学、英语、物理、化学、生
物、地理 7 节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的
排法种数共有( )种．
A. 144 B. 256 C. 264 D. 288
7 ( ).已知定义在(0, + ∞)上的单调递增函数 ( )满足 > 恒成立，其中 ′( )是函数 ( )的导函数.若
′( )
3 ( 2022) < ( 2022) (3)，则实数 的取值范围为( )
A. (0,2023) B. (2023,2025) C. (2023, + ∞) D. (2025, + ∞)
8 ( ) = 2 + .设 ，且 > 1 时， ( ) > 0 恒成立，则实数 的范围为( )
A. ( ∞,0] B. ( ∞, ) C. ( ∞, 2) D. ( ∞, 2 )
二、多选题：本题共 3小题，共 21分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.如图是函数 = ( )的导函数 = ′( )的图象.则以下说法正确的
是( )
A. 2 是函数 = ( )的极小值点
B.函数 = ( )在 = 1 处取最小值
C.函数 = ( )在 = 0 处切线的斜率小于零
D.函数 = ( )在区间( 2,2)上单调递增
10.数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是按照从左到
右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数，如 22，121，3443，94249 等.下列说法正确的是( )
A.末尾为 1 的五位回文数有 100 个 B.十位大于个位的六位回文数有 360 个
C. 2 ( ∈ )位回文数有10 个 D. 2 + 1( ∈ )位回文数有 9 × 10 个
+2
11 ( ) = , ≤ 0.设函数 ，函数 ( ) = ( ) 有三个零点 1， 2， 3，且满足 1 < 2 < 3，则
+ 2, > 0
下列结论正确的是( )
A.函数 ( )有且仅有三个极值点 B.存在实数 0 ≠ 0， ( 0) = ( 0)
C. 1 2实数 的取值范围是(2 , ) D.若 < 2，则 < 2 + 3 < 1
三、填空题：本题共 2小题，每小题 6分，共 12分。
3
12 .已知点 在曲线 ( ) = 3
2 + 2 + 1 上， 为曲线在点 处的切线的倾斜角，则 的取值范围为______．
3
13.已知 ( ) = ( + 1 ) 2
2 + 13存在不超过2的极小值点，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题 13 分)
若 ( ) = 2 + 32．
(1)求函数 = ( )的单调区间与极值；
2(2)证明： ( ) ≤ 2恒成立．
15.(本小题 15 分)
某次学校文艺晚会上计划演出 7 个节目，其中 2 个歌曲节目，3 个舞蹈节目，2 个小品节目，需要制作节
目单：(1)若 3 个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同的排法？
(2)若 2 个唱歌节目相邻，3 个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的排法？
(3)由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快板节目，但是不
能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？
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16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 2( , ∈ )．
(1)若函数 ( )在 = 1 处有极值为 10，求 2 + 的值；
(2)对任意 ∈ [ 1, + ∞)， ( )在区间(0,2)上单调递增，求实数 的取值范围．
17.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = ( 2
2 ) + ( 2) ( ∈ )．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若对 ∈ [2, + ∞)， ( ) ≥ 0 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ( ) 1 + + 2， ∈ ．
(1)当 = 1 时，求函数 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若 > 3．
①证明： ( )有 3 个不同的零点；
②证明： ( )的所有零点之和为定值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[ , 4 2 )
13.( ∞,0) ∪ (0, 2 ]
14.解：(1)因为 ( ) = 2 + 32，
所以 ′( ) = 2 2 1 = ， > 0，
当 0 < < 2 时， ′( ) > 0；当 > 2 时， ′( ) < 0；
则 ( )的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(2, + ∞)，
所以 = 2 是 ( ) 1的极大值点，极大值为 (2) = 2 2 2，
所以 ( ) 1的单调增区间为(0,2)，单调减区间为(2, + ∞)，极大值为 2 2 2，无极小值；
2 2
(2)证明：令 ( ) = 2 ( ) =
2 + 2
3
2 , > 0，
2 2 ( ) = + 1 = + 2 = ( +2)( 1)′ , > 0，
当 0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；当 > 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
则 ( )的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1, + ∞)，
2
所以 ( ) = (1) = 0，所以 ( ) ≥ 0 恒成立，即 ( ) ≤ 2恒成立．
15.解：学校文艺晚会上计划演出 7 个节目，其中 2 个歌曲节目，3 个舞蹈节目，2 个小品节目，
(1)将 3 个舞蹈节目看成整体，优先排布，有 33 = 6 种排法．
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再将剩下 4 个节目全排列，有 44 = 24 种排法．
最后，将舞蹈节目整体放入剩下 4 个节目排布时产生的不含两端的 3 个空中，
有 3 种排法，故共有 3 33 44 = 432 种排法；
(2)将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有 2 3 23 2 = 24 种排法．
再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有 23种排法．
则共有 2 33 22 23 = 144 种排法．
(3)将新增两个节目放入 7 个节目排布产生的 8 个空中．
若两个节目不放入同一个空，有 28 = 56 种排法，
若两个节目放入同一个空，有 8 22 = 16 种排法，
故共有 16 + 56 = 72 种排法．
16.解：(1)因为函数 ( ) = 3 + 2 + + 2，所以导函数 ′( ) = 3 2 + 2 + ，
又因为 ( )在 = 1 处有极值为 10，
′(1) = 3 + 2 + = 0 = 4 = 3
所以 ，所以 或
(1) = 1 + + + 2 = 10 = 11 = 3
，
当 = 4， = 11 时，导函数 ′( ) = 3 2 + 8 11 = ( 1)(3 + 11)，
令导函数 ′( ) = 0，那么 = 1 或 = 113，
当 > 1 或 < 113时， ′( ) > 0，当
11
3 < < 1 时， ′( ) < 0，
11 11
因此函数 ( )在( ∞, 3 )，(1, + ∞)上单调递增，在( 3 , 1)上单调递减，且 (1) = 10，
所以满足 ( )在 = 1 处有极值为 10，满足题意，此时 2 + = 3．
当 = 3， = 3 时，导函数 ′( ) = 3 2 6 + 3 = 3( 1)2 ≥ 0，那么 ( )无极值点，不成立．
综上所述，2 + = 3；
(2)函数 ( ) = 3 + 2 + + 2( , ∈ )，
因为对任意 ∈ [ 1, + ∞)， ( )在区间(0,2)上单调递增，
所以 ′( ) = 3 2 + 2 + ≥ 0 在任意 ∈ [ 1, + ∞)， ∈ (0,2)恒成立，
记 ( ) = 2 + 3 2 + ，
因为 > 0，所以 ( )在[ 1, + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = ( 1) = 3 2 2 + ≥ 0 在 ∈ (0,2)恒成立，
令 ( ) = 3 2 2 + ，开口向上，
因为函数 ( ) = 1对称轴为 3，所以 ( ) = (
1
3 ) =
1
3 + ≥ 0，
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1
所以 ∈ [ 3 , + ∞)．
17.解：(1)因为 ( ) = ( 12
2 ) + ( 2) ( ∈ )，
则 ′( ) = ( 1) + ( 1) = ( 1)( + )，
①当 ≥ 0 时， + > 0，由 ′( ) > 0 可得 > 1，由 ′( ) < 0 可得 < 1，
此时，函数 ( )的减区间为( ∞,1)，增区间为(1, + ∞)；
②当 < < 0 时，
由 ′( ) > 0 可得 < ln( )或 > 1，由 ′( ) < 0 可得 ln( ) < < 1，
此时，函数 ( )的增区间为( ∞, ln( ))，(1, + ∞)，减区间为(ln( ), 1)；
③当 = 时， ′( ) = ( 1)( )，
当 < 1 时，则 ′( ) = ( 1)( ) > 0，
当 > 1 时，则 ′( ) = ( 1)( ) > 0，此时，函数 ( )在 上单调递增；
④当 < 时，
由 ′( ) > 0 可得 < 1 或 > ln( )，由 ′( ) < 0 可得 1 < < ln( )，
此时，函数 ( )的增区间为( ∞,1)，(ln( ), + ∞)，减区间为(1, ln( ))，
综上，当 ≥ 0 时，函数 ( )的减区间为( ∞,1)，增区间为(1, + ∞)；
当 < < 0 时，函数 ( )的增区间为( ∞, ln( ))，(1, + ∞)，减区间为(ln( ), 1)；
当 = 时，函数 ( )在 上单调递增；
当 < 时，函数 ( )的增区间为( ∞,1)，(ln( ), + ∞)，减区间为(1, ln( ))，
(2) ( ) = ( 2)因为 2 + ( 2)
= ( 2)( + 12 )，
1 2
对任意的 ≥ 2，由 ( ) ≥ 0 可得， + 2 ≥ 0，即 ≥ ，
( ) = 2
令 , ≥ 2
2 ( 1)
，则 ′( ) = < 0，
所以，函数 ( )在[2, + ∞)上单调递减，则 ( ) = (2) = 2，故 ≥ 2，
因此，实数 的取值范围是[ 2, + ∞)．
18.解：(1)已知函数 ( ) = ( ) 1 + + 2，
= 1，时 ( ) = ( 1) 1 + 1， (1) = 0，
′( ) = 1 + 1， ′(1) = 2，所以 ( )在(1, (1))处的切线方程为 0 = 2( 1)，
即当 = 1 时，求函数 ( )在(1, (1))处的切线方程是 2 2 = 0；
(2)①证明：由题 ′( ) = ( + 1) 1 + 1，
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令 ( ) = ( + 1) 1 + 1 ′( ) = ( + 2) 1，令 ′( ) = 0 = 2；
当 < 2 时， ′( ) < 0， ( ) = ′( )单调递减；
当 > 2 时， ′( ) > 0， ( ) = ′( )单调递增；
所以 ′( ) 3 = ′( 2) = 1 ，又 > 3，所以 ′( ) = 1 3 < 0，且当 →+∞时， ′( ) →
+∞； → ∞时， ′( ) → 1；
所以 ′( )在( ∞, 2)与( 2, + ∞)上各有一个零点，不妨分别记为 1， 2，
所以 ∈ ( ∞, 1)时， ′( ) > 0 ( )单调递增；
∈ ( 1, 2)时， ′( ) < 0 ( )单调递减；
∈ ( 2, + ∞)时， ′( ) > 0 ( )单调递增；
且 ′(1) = 3 < 0，所以 1 ∈ ( 1, 2)；则 ( 1) > (1) = 0， ( 2) < (1) = 0，又当 →+∞时， ( ) →+∞；
→ ∞时， ′( ) → ∞；
所以 ( )在( ∞, 1)与( 2, + ∞)上各有一个零点，且 (1) = 0，所以 ( )有且仅有三个零点．故 ( )有 3
个不同的零点成立．
②证明：设 ( )的三个零点分别为 ，1， ，不妨设 0 < < 1 < ，则 2 > 1；
则 ( ) = ( ) 1 + + 2 = 0，
同乘 1 ，即( ) + ( + 2) 1 = 0，
再同乘 1，得( ) + (2 ) 1 = 0．
则 (2 ) = (2 ) 2 +1 + 2 + 2 = ( ) + (2 ) 1 = 0，
又 ( ) = 0，0 < < 1 < ，2 > 1，所以 (2 ) = ( )，
即 2 = ，得 + = 2，因此该函数所有零点之和为 + 1 + = 3.即 ( )的所有零点之和为定值．
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