2025 年百师联盟高考数学第二次联考试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 .复数 在复平面上对应的点位于第四象限，则复数1 在复平面上对应的点位于( )
A.第一或二象限或虚轴的正半轴上 B.第二或三象限或实轴的负半轴上
C.第三或四象限或虚轴的负半轴上 D.第一或四象限或实轴的正半轴上
2 1.已知全集 = ，集合 = { | = +2+ 2(1 )}， = { |0 < < 3}，则( ) ∩ =( )
A. { |0 < < 3} B. { |1 ≤ < 3}
C. { | 3 < ≤ 2} D. { | 2 ≤ < 0}
3.已知非零向量 3， ， 满足：| | = | | = | |， 3 =
0，则向量 与 的夹角为( )
A. 6 B.
4 C.
2
3 D. 3
4.目前新能源汽车越来越受到人们的关注与喜爱，其中新能源汽车所配备电池的充电量及正常使用年限是
人们购车时所要考虑的重要因素之一.某厂家生产的某一型号的新能源汽车配备了两组电池，且两组电池能
否正常使用相互独立.电池的正常使用年限 (单位：年)服从正态分布， ( > 10) = 0.8， ( < 30) = 0.8，
则这两组电池在 20 年内都能正常使用的概率为( )
A. 49 B.
3
4 C.
1
2 D.
1
4
5.已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 4， = 2 2， = 2 5，则 边上的高 =( )
A. 3 2 B. 6 5 C. 5 3 D. 7 62 5 6 8
3
6.函数 ( ) = ( > 0)在区间(1,3)上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. [ 12 2 , + ∞) B. [4
2, + ∞) C. ( ∞, 34 ] D. ( ∞,
5
3 ]
7 + = 3 + 1 +
2 5
.已知 ， 为正实数， ，则 +3的最小值为( )
A. 1 B. 32 2 C. 2 D.
5
2
8.已知函数 ( ) = 1( 2 + )，若关于 的方程[ ( ) + 1][ ( ) 4 1] + 2 2 + = 0 有实根，则
4
实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. [ 29 , + ∞)
C. ( ∞,0] ∪ [ 417 , + ∞) D. ( ∞,
2
13 ] ∪ [2, + ∞)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的( )
1
A. 1 1若 = 6 7， = ( 6 )3， = 4
0.5，则 < <
B.命题“ ≥ 0，都有3 ≥ 3 + 6”的否定是“ < 0，使得3 < 3 + 6”
C. 4“ < 1”是“ > 4”的必要不充分条件
D.若函数 ( ) = 3 2+6 3在区间( ∞,12)上单调递减，则 ∈ ( ∞, 4]
10.如图，已知底面为矩形的四棱锥 的顶点 的位置不确定，点 在
棱 上，且 ⊥ ，平面 ⊥平面 ，则下列结论正确的是( )
A. ⊥
B.平面 ⊥平面
C.若 = 2， = 2， = 1 4，且平面 ⊥平面 ，则三棱锥 的体积为3
D.存在某个位置，使平面 与平面 的交线与底面 平行
2 2
11 .已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，直线 = 与椭圆 交于 ， 两点，且
1 2 = 0， 是椭圆 上与 ， 不重合的点.下列说法正确的是( )
A. 1 1 1若 + = (其中 2 = 2 2) = 1+ 5| 1| |
，则椭圆 的离心率
2| 2
B.若 = 3，则| 1| | 2|的最大值为 9
C.若 = 3， = 2，则| 1| | 2| = 4
D.若 = 3，直线 ， 1的斜率之积为 3，则 = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = + 3 (0 < < 4)，且函数图象过点
( 6 , 1)
，则函数 ( )在区间[ 6 , 3 ]上的最小值为______．
13.如图，已知圆 的方程为( 1)2 + ( 1)2 = 2，且 是直线 ： +
2 + 2 = 0 上的一个动点，过点 作圆 的两条切线 ， ，切点分别为
， ，则线段 长度的最小值为______．
14.某班组织了国庆文艺晚会，从甲、乙、丙、丁等 7 个节目中选出 5 个节目进行演出，选出的 5 个节目要
求相邻依次演出，且要求甲、乙、丙必选，且甲、乙相邻，但甲、乙均不与丙相邻，若丁被选中，丁必须
排在前两位，则不同的演出顺序种数为______. (用数字作答)
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等差数列{ }的公差 > 0，其前 项和为 ，且 1 = 2， 6，2 18成等比数列， 17 = 153．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若 = + 1，且{ }的前 项和为 ，求证：2 > 1( ≥ 2)．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = [1 + ( )2].
(1)判断函数 ( )在(0, + ∞)上是否存在极值点.若存在极值点，求出极值；若不存在极值点，说明理由．
2
(2) 若函数 ( ) = ( ) 2 有三个极值点，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
某农科所正在试验培育甲、乙两个品种的杂交水稻，水稻成熟后对每一株的米粒称重，重量达到规定的标
1
准后，则该株水稻达标.在水稻收获后，通过科研人员的统计，甲品种的杂交水稻有3不达标，乙品种的杂交
1
水稻有4不达标．
(1)若假设甲、乙两个品种的杂交水稻株数相等，一科研人员随机选取了一株水稻，称重后发现不达标，求
该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是多少；
(2)科研人员选取了 8 株水稻，其中甲品种 5 株，乙品种 3 株，再从中随机选取 3 株进行分析研究，这 3
株中来自乙品种水稻的有 株，求 的数学期望 ( )．
18.(本小题 17 分)
如图，正四棱柱 1 1 1 1，其侧棱长与底面边长都为 2， ， 分别为 ， 1 的中点，平面
与 1 交于点 ．
(1)确定点 在线段 1 上的位置；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
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19.(本小题 17 分)
已知平行四边形 ( 为坐标原点)的面积 = 1，其中 所在直线为 = 2 ， 所在直线为 = 2 ，动
点 的轨迹为双曲线 ，且双曲线 与 轴没有交点．
(1)求双曲线 的方程；
(2)设点 (1,0)， (0, )， (0,4 )，直线 ， 与双曲线 分别交于点 ， (其中 ， 不与点 重合)，
为直线 上一点，且 ⊥ ，求| |的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.2 305
14.96
15. (1) = 17×( 1+ 17)解： 由题意，得 17 2 = 17 9 = 153，解得 9 = 9．
又∵ 1 = 2， 6，2 18成等比数列，
∴ 26 = 1 2 18，即(9 3 )2 = 2(9 8 )(9 + 9 )，
又 > 0，
解得 = 1，
∴ 1 = 1，
故 = ．
(2)证明：由(1)知 = ， = + 1，
则 1 = ( ≥ 2), =
(2+ +1)
2 ，
∴ = ( +3) 2 ( +1) =
+3 1 2 1
1 2( +1)
= 2 (1 + +1 ) > 2．
∵ = + 1 > 0，∴ 2 > 1( ≥ 2)．
16.解：(1)不存在，理由如下：
因为 ( ) = [1 + ( )2] = ( )2 + ， > 0，
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所以 ′( ) = ( )2 + 2 + 1 = ( + 1)2 ≥ 0 在(0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，故函数 ( )在(0, + ∞)上不存在极值点．
(2)因为 ′( ) = ( + 1)2 ，函数 ( )有三个极值点，
所以 ′( ) = 0 有三个互不相等的正实数根．
2 2
由 ′( ) = 0 = ( +1) ( ) = ( +1)，得 ，令 ( > 0)，
( +1)2 1 ( )2
则 = 与 ( ) = 的图象有三个交点，而 ′( ) = 2 ，
令 ′( ) = 0 1，得 = 或 = ，
则当 ∈ (0, 1 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( 1 , )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
又因为当 → 0 时， ( ) →+∞；当 →+∞时， ( ) → 0，且 ( 1 ) = 0 ( ) =
4
， ，
所以 0 < < 4 4 ，即实数 的取值范围为(0, )．
17.解：(1)从甲、乙两个品种的杂交水稻中任取一株，
设事件 =“该株水稻来自甲品种”，事件 =“该株水稻不达标”，
则 ( ) = 1 ( ) = 1 ( | ) = 12， 2， 3， ( | ) =
1
4，
所以 ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 1 1 1 1 72 × 3 + 2 × 4 = 24，
1 1
( | ) = ( ) ( ) ( | )
×
所以 ( ) = ( ) =
2 3 = 47 7，
24
1 1
( | ) = ( ) = ( ) ( | ) 2
×4 3
( ) ( ) = 7 = 7，
24
4 3
所以该株水稻来自甲品种和乙品种的概率分别是7，7．
(2)因为科研人员选取了 8 株水稻，其中甲品种 5 株，乙品种 3 株，再从中随机选取 3 株进行分析研究，
又这 3 株中来自乙品种水稻的有 株，
所以 = 0，1，2，3，
3 0 2 1
又 ( = 0) = 5 3 = 53 28， ( = 1) =
5 3 = 153 ， 8 8 28
1 2 0 3
( = 2) = 5 3 = 15 13 56， ( = 3) =
5 3 = ，
8
3
8 56
所以 的分布列为：
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0 1 2 3
5 15 15 128 28 56 56
所以 ( ) = 0 × 5 15 15 1 63 928 + 1 × 28 + 2 × 56+ 3 × 56 = 56 = 8．
18.解：(1)如图，设 的中点为 ，连接 1 ，记 1 ∩ = ，连接 ， ，
由题意知四边形 为正方形，又 为 的中点，∴ // ， = ，
∴四边形 为平行四边形，∴ // ．
又∵ 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ．
∵ 平面 1 ，平面 1 ∩平面 = ，∴ // ，
∴ 1 1 = ．
又∵ 为 1 的中点， 1 ∩ = ，∴点 为△ 1 的重心，
∴ 1 1 = 2，∴ = 2，
即点 为线段 1 上靠近点 的三等分点．
(2)以 为坐标原点，分别以直线 ， ， 1为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， 1(0,0,2)， (1,1,1)， (0,1,0)， (2,2,0)，
∴ = ( 1,1,1)， = ( 2,1,0)， 1 = (0,2, 2)， = ( 2, 1,0)， 1 = ( 2, 2,2)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 ⊥ + + = 0 ，则
= 0
，即 ， ⊥ = 0 2 + = 0
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令 = 1，则 = 2， = 1，∴ = (1,2, 1)；
设平面 的法向量为 = ( , , )，
由(1)知 = 21 3 1
= (0, 4 43 , 3 )，∴
= 1 + 1 = ( 2,
2 , 23 3 )，
⊥ 则 ，则 = 0
2 = 0
，即
2
⊥ = 0 2 3 +
2 ，
3 = 0
令 = 1，则 = 2， = 1，∴ = (1, 2,1)．
设平面 与平面 的夹角为 ，则
= |cos < , > | = | | |1×1+2×( 2)+( 1)×1| 2| || | = 6× 6 = 3．
19.解：(1)根据题已知：平行四边形 ( 为坐标原点)的面积 = 1，其中 所在直线为 = 2 ，
所在直线为 = 2 ，动点 的轨迹为双曲线 ，且双曲线 与 轴没有交点．
|2 0 0| |2 0 0|
设点 ( 0, 0)，则点 到直线 的距离 = =22+( 1)2 5 ，
由 // 得， = 2，∴直线 的方程为 0 = 2( 0)，整理得 = 2 + 2 0 + 0．
= 2
= 2 0+ 0 = 2 + 由 = 2 + 2 + 得
0 0
4 ， 2 ，0 0
∴ | | = 2 + 2 =
5 |2 0 + 0|，4
2
∴平行四边形 5的面积 = | | = 4 |2 0 + 0|
|2 0 0| = 1，整理得 2 05 0 4 =± 1．
∵动点 的轨迹为双曲线 ，且双曲线 与 轴没有交点，
2
∴双曲线 的焦点在 轴上，即双曲线 的方程为 2 4 = 1．
(2)
由(1)得，点 (1,0) 为双曲线 的右焦点，双曲线渐近线方程为 =± =± 2 ．
当直线 斜率不存在时，可得直线 ， 关于 轴对称，即直线 ， 关于 轴对称，
2 0
不妨设点 在点 上方，此时 (2,0)， = 0 1 = 2，
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根据题目：平行四边形 ( 为坐标原点)的面积 = 1，其中 所在直线为 = 2 ，
所在直线为 = 2 ，动点 的轨迹为双曲线 ，且双曲线 与 轴没有交点．
直线 与双曲线的一条渐近线平行，直线 与双曲线只有一个交点 ，不合题意，故直线 的斜率存在．
设直线 ： = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2
由方程组
2 4 = 1得(4 2) 2 2 ( 2 + 4) = 0( ≠± 2)，
= +
2
则 = 16(4 + 2 2) > 0①， 1 + =
2 +4
2 2 4， 1 2 = 2 4②.
∵ =
1 1
1，∴直线 方程为： = 1 ( 1)，1 1
令 = 0，得 = = 1 2 1 2 1，同理得 = 4 = 1，故1 2 1 1
+ 1 = 4，2
将 1 = 1 + ， 2 = 2 + 代入上式，整理得：(2 + 4) 1 2 + ( 4)( 1 + 2) + 4 2 = 0，
将②代入得 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 0，整理得( + )( + + 2) = 0，
若 + = 0，则直线 ： = ( 1)，恒过点 (1,0)，不合题意；
若 + + 2 = 0，则 = 2，故直线 ： = ( 1) 2，恒过点 (1, 2)．
2
∵直线 恒过点 (1, 2)，且与双曲线 ： 2 = 1 始终有两个交点，4
∴ = 16(4 +
2 2) = 16(8 + 4 ) > 0
，解得 > 2 且 ≠ 2．
≠± 2
∵ (1,0)， ⊥ ，垂足为 ，∴点 在以 为直径的圆上，
设 的中点为 ，则圆心 (1, 1)，半径为 1，圆 方程为( 1)2 + ( + 1)2 = 1，
∴ | | ≤ | | + 1 = 2 + 1，当且仅当点 在线段 的延长线上时，等号成立，
= 1 + 2 = 1 2
由 (0,0)， (1, 1)得直线 方程为 = ，与圆 方程联立得 2 或 2 ，
= 1 2 = 1 + 22 2
2 2 1
2
∴ (1 + , 1 )，故 2 = 2 = 2 1，2 2 1+ 2 1
∴直线 的斜率 =
1
= 2 1，满足题意，
∴ | |的最大值为 2 + 1．
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