2025 年河北省秦皇岛市昌黎一中高考数学六调试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = 2 + 2 3}，集合 = { | = 3 }，则 ∩ 等于( )
A. ( ∞, 3] ∪ (0，+∞) B. (0, + ∞)
C. [1, + ∞) D. [ 3,0) ∪ [1，+∞)
2.已知复数 满足 = 1 (其中 为虚数单位)，则 的虚部是( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 12 2 2 2
3.已知向量 = (1,2)， = ( , 1)，且| 2 |2 = | |2 + 4| |2，则实数 的值为( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
+ 2 , ≤ 0,
4.已知函数 ( ) = 2 2 4, > 0在 上单调递减，则实数 的取值范围是( )
A. [ 3, 2) B. ( 3, 2] C. [ 3, 2] D. ( 3, 2)
5.已知棱长为 6 6的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为 9
的圆，则该球的表面积为( )
A. 48 B. 72 C. 96 D. 128
6 .已知 sin( 6 ) =
3
3 ，则 cos(2 +
3 )的值为( )
A. 7 B. 1 19 3 C. 3 D.
7
9
7.已知定义域为 的函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 0，且 (1 + ) (1 ) = 2 ，若其导函数为 ′( )，
则 ′(2025)等于( )
A. 12 B. 0 C.
1
2 D. 1
2 2
8.在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左焦点为 1，过
2
1的直线 交圆 +
2 = 2于点 ， 1，交 的右支于点 ，若 1 = = 2 ，则 的离心率为( )
A. 3 5 B. 4 5 C. 73 D. 4 105 5 5 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知(3 1) = 0 + 2 1 + 2 + … + ，且展开式第 6 项与第 7 项的二项式系数相等，则下列结论
中正确的是( )
A. 0 = 1 B.
=1 = 2049 C.
=1 3 1 = 3 D. =1 3 = 1
第 1页，共 9页
2 2 , 27 9
10 ( ) = 9 4
≤ ≤ 4 ,
.已知函数 若关于 的方程 ( ) = 有四个实数根 ， ， ， (其中 为
| 1( 2)|, > 94 ,
1 2 3 4
2
实数， 1 < 2 < 3 < 4)，则下列结论中正确的是( )
A. 0 < < 2 B. 1 + 2 =
9
2
C. 23 + 24 < 18 D. 3 4 + 3 = 2( 3 + 4)
11.素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想. 19 世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出
了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数 ，存在无穷多个素数对( , + 2 ).其中当 = 1 时，称( , + 2)
为“孪生素数”， = 2 时，称( , + 4)为“表兄弟素数”.在不超过 10 ( ∈ )的素数中，任选两个不同
的素数 ， ( < )，令事件 = {( , )为孪生素数}， = {( , )为表兄弟素数}， = {( , )| ≤ 4}，
记事件 ， ， 发生的概率分别为 ( )， ( )， ( )，则下列结论中不成立的是( )
A. ( 3) = ( 3) = ( 3) B. ( ) > ( ) > ( )
C. ( ) + ( ) > ( ) D. ( ) + ( ) < ( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若曲线 = + + 的切线为 = + 2，则 + = ______．
13.已知线段 是半径为 3 的圆 的一条直径，线段 是圆 上异于 的弦，且 = 2，点 在线段 上，
则 的取值范围是______．
14.设数列{ }的前
1
项积为 ，满足 + = ，其中常数 > 0.若 = 2，则 2 = ______；若数列{ }
为等差数列(非常数列)，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2 ．
(1)若 = 13，求 的值；
(2)若 = 4， △ = 8 2， 的中点为 ，求 的长．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ⊥平面 ．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
(2)若 ⊥ ， = 1， = 1 = 2，求二面角 1 1的余弦值．
第 2页，共 9页
17.(本小题 15 分)
2 2 1
在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为2，右焦点为 ，右顶点为 ， = 1．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过 的直线 交椭圆 于点 ， (其中点 在 轴上方)， 为椭圆 的左顶点.若△ 与△ 的面积分别
为 1， 12，求 的取值范围．2
18.(本小题 17 分)
4
设函数 ( ) = + + ( , ∈ )．
(1)当 = 4 时，若函数 ( )有 2 个极值，求实数 的取值范围；
(2)当 = 2 2 时，若函数 ( )的最小值为 4，求实数 的值；
(3)当 > 0， < 0 时，求证：总存在实数 ，当 > 时， ( ) > 0．
19.(本小题 17 分)
约数，又称因数，它的定义如下：若整数 除以整数 ( ≠ 0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称
为 的倍数，称 为 的约数.设正整数 有 个正约数，即为 1， 2，…， 1， ( 1 < 2 < … < ).
(1)若 = 3 ( ≥ 2, ∈ )，求数列{ }的所有项的和 ；
(2)若 = 1 2 + 2 3 + … + 1 ，求证： < 2；
(3)当 ≥ 3 时，若 1， 2，…， 是 的所有正约数的一个排列，那么 1， 1 + 2， 2 + 3，…， 1 +
是否是另一个正整数的所有正约数的一个排列？并证明你的结论．
第 3页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.[ 1,0]
14.1 +1
15.解：(1)因为 = 2 ，由正弦定理得 = 2 ，
在△ 中， = sin( + )，
而 sin( + ) = + = 2 ，
所以 = 0，
即 sin( ) = 0，
又因为 ， 为△ 的内角，所以 ∈ ( , )，
所以 = 0，从而 = ，
1
又因为 = ，则 = 2 23 ，3
所以 = sin( + ) = 2 = 2 = 4 2；9
(2)由题意， = 2 = 4，所以 = 2．
又 1△ = 2 = 8 2，所以 = 4 2．
所以 = 2 2．
1 2
因为 ∈ (0, )，所以 = 3，从而 = = 6．
第 4页，共 9页
在△ 中，由余弦定理得 2 = 2 + ( 2 )
2 2 2 = 4
2 + 32 2 × 4 × 3 × 13 = 17，
所以 = 17．
16.解：(1)证明：如图，取 为△ 内一点，作 ⊥ ，交 于点 ，作 ⊥ ，交 于点 ，
因为平面 1 1 ⊥平面 且平面 1 1 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 1 1．
因为 1 平面 1 1，
所以 ⊥ 1，同理得 ⊥ 1．
因为 ∩ = ，且 ， 平面 ，
所以 1 ⊥平面 ．
(2)因为 ， ， 1两两垂直，以 为原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意，得 (0,0,0)， (2,0,0)， 1(0,1,2)， 1(2,0,2)，
则 = (2,0,0)， 1 = (0,1,2)， 1 = (2,0,2)， 1 1 = (2, 1,0)，
设平面 1 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
⊥⊥ = 2 1 = 0则 ，则 ，
⊥ 1 1 = 1 + 2 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = 2， 1 = 0，所以 = (0,2, 1)．
设平面 1 1的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
⊥ 1 1 = 2 2 + 2 = 0则 2
⊥ 1
，则
1 1 1
，
= 2 2 2 = 0
令 2 = 1，则 2 = 2， 2 = 1，所以 = (1,2, 1)．
设二面角 1 1的平面角为 ，则由图可得 = |cos < , > | =
| | 5 30
| | | | = 5× 6 = 6 ．
故二面角 301 1的余弦值为 ．6
17.解：(1)设椭圆的半焦距为 ，
1因为椭圆 的离心率为2，右焦点为 ，右顶点为 ， = 1，
第 5页，共 9页
1
= 2
所以 2 = 2 + 2，
= 1
解得 = 2， = 3， = 1，
2 2
则椭圆 的方程为
4 +
= 1；3
(2)①当直线 的斜率不存在时，
若△ 与△ 的面积分别为 1， 2，
1 = | | 1易知 2 | |
= + = 3；
②当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 = + 1( ≠ 0)， ( 1, 1)( 1 > 0)， ( 2, 2)( 2 < 0)，
= + 1
联立 2 +
2 ，消去 并整理得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，
4 3 = 1
此时 = 36 2 + 36(3 2 + 4) > 0，
6
由韦达定理得 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 =
9
3 2+4．
1
因为 1 = 2 | 1| =
1
2
1 3
1， 2 = 2 | 2| = 2 ( 2)，
1
1 1
所以 1 2 = 3 = 3
1，
2 2 ( 2) 2
36 2
因为( 1+
2
2) (3 2+4)2 2= = 4 = 4 > 4， 1 2 9 3 2+42 3+
4 3
3 +4 2
( 1+ 2)2 2= 1+2 1 2+
2
2 又 1 2 ，
1 2 1
= +2 2
+ 2
1
1
设 = ， < 0，2
4 1
此时 3 < + + 2 < 0，
1
解得 3 < < 3且 ≠ 1，
则 1 =
1 1 1 1 1
2 3
∈ ( , ) ∪ (2 9 3 3
, 1)．
1
综上所述， 1 的取值范围为( , 1)．2 9
第 6页，共 9页
18.解：(1)当 = 4 4时， ( ) = + + 4 ( > 0)，
2
′( ) = 4 4 +4 4 2 + = 2 ，
2+4 4
若函数 ( )有 2 个极值，则 ′( ) = 2 在(0, + ∞)有两个零点．
< 0
2所以 > 0 ，解得 1 < < 0，
16 + 16 > 0
故实数 的取值范围为( 1,0)；
(2)当 = 2 2 4时， ( ) = + + (2 2) ， > 0，
( ) = 4 + 2( 1) =
2+2( 1) 4 ( +2)( 2)
′ 2 2 = 2 ．
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0， ( )是(0, + ∞)上的减函数， ( )无最小值，舍去；
> 0 ( ) < 0 0 < < 2当 时，由 ′ ，得 ，由 ′( ) > 0，得 >
2
，
所以 ( ) (0, 2在 )
2
上单调递减，在( , + ∞)上单调递增，
所以 ( ) 2的最小值为 ( ) = 2 + 2 + (2 2)ln
2
．
由 2 + 2 + (2 2)ln 2 = 4，得( 1)(1 + ln
2
) = 0，
解得 = 1 或 = 2 ．
(3) 4证明：当 > 0， < 0 时，有 ( ) = + + > + ．
设 ( ) = + = + ( )，
又设 = ， > 0 1 1 2，则 ′ = 2 = 2 ，
易知当 = 4 时， = 2 2 2 > 0，故 = > 0．
又由 + ≥ 0 ≥ ( ，得 )2 ，
当 > 0， < 0 时，取 为( )
2与 4 中的较大者，
则当 > 时，恒有 ( ) > 0，即当 > 时， ( ) > 0．
19.解：(1)定义如下：若整数 除以整数 ( ≠ 0)除得的商正好是整数而没有余数，我们就称 为 的倍数，
称 为 的约数．设正整数 有 个正约数，即为 1， 2，…， 1， ( 1 < 2 < … < )，由于 = 3 ( ≥ 2, ∈
)的所有正约数为 1，3，32，…，3 ，共( + 1)项，它们构成等比数列，
于是数列{ }的所有项的和 = 1 + 2 × 31 + 3 × 32 + + ( + 1) × 3 ，
第 7页，共 9页
所以 3 = 1 × 31 + 2 × 32 + 3 × 33 + . . . + × 3 + ( + 1) × 3 +1，
两式相减，得
3 +1 1 (2 +1)×3 +1 2 = 1 + 3 + 32 + 33 + . . . + 3 ( + 1) × 3 +1 = 3 1 ( + 1) × 3
+1 = +12 ，
(2 +1)×3 +1+1
所以 = 4 ．
(2)由题意知， 1 = 1， = ，且 1 = ， 2 1 = ，…， +1 = ， (1 ≤ ≤ )，
1 1 1 1 1 1
所以因为 2 1 ≤ = ，…， ≤ ，1 2 1 2 1 2 1 1
2 2 2
= 1 2 + 2 3 + . . . +
1 = + + . . . + ， 1 2 1 1 2
= 2( 1 + 1 1 1 2
+ . . . +
1 1
)，
2
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 ≤ 2[( 2 1
) + ( ) + . . . + (2 2 3
) = ( )．
1 1
= 1 = 1 1因为 1 ， ，则 < 1，所以 <
2．
1
(3)当 ≥ 3 时，若 1， 2，…， 是 的所有正约数的一个排列，则 1 = 2， 1 + 2， 2 + 3，…， 1 +
不是另一个正整数 的所有正约数的一个排列．
下面用反证法证明．
证明：假设 1 = 2， 1 + 2， 2 + 3，…， 1 + 是另一个正整数 的所有正约数的一个排列．
由 1 是任意正整数的最小正约数及 1 < 2 < . . . < 知，
1 < 1 + 2 < 2 + 3 < . . . < 1 + ，其中 1 = 1，
由 1 = 1， ≥ 2(2 ≤ ≤ , ∈ )，则 + +1 ≥ 3( = 1,2, …, 1)，
所以 2 不是 的正约数，所以 是奇数，且任意偶数都不是 的正约数，
所以 1 + 2为奇数， 1 = 1，故 2是偶数，
又 2是 的正约数，故 是偶数，
所以 的所有正约数中最大的两个为 ，2，即 1 = 2， = ，
则有 + +1 ≤ + =
+ = 3 1 2 2 ( = 1,2,3, …, 1)，
3 3
可知 的最大正约数为 2，由任意正整数的最大正约数是其本身，故 = 1 + = 2，
因为 有 ( ≥ 3)个正约数，且 1 = 1，即 至少有 3 个正约数 1，2， ，
则 的次大正约数 2 + 1 ≥ 1+ 2 >
3
2 = 3，且 = 2 > 2 = 3，
第 8页，共 9页
则 至少存在一个除本身外大于3的正约数，而由 是奇数，有除 1 外的最小正约数 1 + 2 ≥ 3，可得 =
( 2 + 1)( 1 + 2) ≥ 3( 2 +
1)，则有 2 + 1 ≤ 3，
即奇数 的所有正约数中，不存在除本身外大于3的正约数，这与“ 至少存在一个除本身外大于3的正约数”
矛盾．
因此假设不成立，
即 1 = 2， 1 + 2， 2 + 3，…， 1 + 不是另一个正整数 的所有正约数的一个排列．
第 9页，共 9页
