2024-2025 学年上海市金山中学高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若曲线 = ( )在 = 1 处的切线方程为 = 2 3，则 ′(1) =( )
A. 3 B. 1 C. 1 D. 2
2.已知 (2,2)在抛物线 ： 2 = 2 上，则 到 的焦点的距离为( )
A. 1 B. 32 C. 2 D.
5
2
3.已知函数 ( ) = ln(2| | 1) + 2 1，则不等式 ( 2) < 0 的解集是( )
A. ( ∞,0) ∪ (1,3) B. ( 3, 1) ∪ (0, + ∞)
C. ( ∞,0) ∪ (1,2) ∪ (2,3) D. ( 3,0) ∪ (0,2) ∪ (2, + ∞)
4.已知△ 中，| | = 6，且| | = 2，且| + (3 3 ) |( ∈ )的最小值为 3 2，若 为边 上任
意一点，则 的最小值是( )
A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
二、填空题：本题共 11 小题，每小题 5 分，共 55 分。
5.设全集 = {0,1,2,3}，集合 = {0,3}，则 = ______．
6.若复数 = 2 + ，则其共轭复数 的虚部为______．
7.函数 = 2 + 1 在区间[1,2]上的平均变化率为______．
8.已知直线 ： + 3 = 0，点 (3, )到直线 的距离等于 2，则 = ______．
9.已知圆锥的母线长为 6，且其轴截面为等边三角形，则该圆锥的体积为______．
10.在△ 中，已知 = 5， = 4， = 2 ，则 的值为______．
11.已知平面向量 = (5,0), = (2, 1)，则向量 + 在向量 上的投影向量为______．
12.若 ， ， ， 四点在球 的表面上， ⊥面 ， ⊥ ， = 1， = 2， = 3，则球 的表面
积为______．
13.已知函数 ( ) = 3 3 + ( ≠ 0)，且 = ( )在区间( 3, )上的最大值为 3，无最小值，则
的取值范围是______．
14.某同学所在的课外兴趣小组计划用纸板制作一个简易潜望镜模型(图甲)，该模型由两个相同的部件拼接
粘连制成，每个部件由长方形纸板 (图乙)沿虚线裁剪后卷一周形成，其中长方形 卷后为圆柱 1 2
的侧面.为准确画出裁剪曲线，建立如图乙所示的以 为原点的平面直角坐标系，设 ( , )为裁剪曲线上的点，
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作 ⊥ 轴，垂足为 .图乙中线段 卷后形成圆弧 (图甲)，通过同学们的计算发现 与 之间满足关系式：
= 3 3 3 (0 ≤ < 6 )，则该裁剪曲线围成的椭圆的离心率为______．
15.一个“皇冠”状的空间图形(如图)由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成
的二面角的大小均为 .如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则 的值为______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 12 分)
各项均为正数的等比数列{ }的前 项和为 ，若 = 2， 3 = 14，则 4 等于______．
17.(本小题 12 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 2， 1 = 4， ⊥ ， ⊥ 1交 1于点 ， 为 1
的中点．
(1)求证： ⊥平面 1 ；
(2)求直线 1 与平面 1 所成角的正弦值．
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18.(本小题 13 分)
已知递增的等差数列{ }的前三项之和为 27，前三项之积为 585，
(1)求数列{ }的前 项和 ；
(2) =
1
，数列{ }的前 项和记为
，若 ∈ ， < 恒成立，求 的最小值． +1
19.(本小题 12 分)
如图，有一块扇形草地 ，已知半径为 ，∠ = 2，现要在其中圈出一块矩形场地 作为儿童乐
园使用，其中点 ， 在弧 上，且线段 平行于线段 ；
(1)若点 为弧 的一个三等分点，求矩形 的面积 ；
(2) 设∠ = (0 < < 2 )，当 在何处时，矩形 的面积 最大？最大值为多少？
20.(本小题 13 分)
2
已知双曲线 2 3 = 1 的右焦点为 ，右顶点为 ，过焦点 的直线与 的右支交于 ， 两点，直线 ，
1
分别与直线 = 2交于 ， 两点，记△ 的面积为 1，△ 的面积为 2．
(1)求双曲线 的离心率；
(2)求证： 为定值；
(3) 求 1 的取值范围．2
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21.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( 2) 1 22 + ( ∈ )．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(2, (2))处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)当 ≥ 2 时， ( ) ≥ 0 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.{1,2}
6. 1
7.3
8.±2
9.9 3
10.58
11.(6, 3)
12.14
13.( 1,2]
14. 22
15. 3 63
16.30
17.解：(1)证明：因为三棱柱 1 1 1为直三棱柱，
所以 1 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 1 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ 1 = 1， 平面 1 1 ， 1 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1 ，
因为 平面 1 1 ，
所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ 1， ∩ 1 = ， 平面 1 ， 1 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ；
(2)由(1)知 ， ， 1两两垂直，如图建立空间直角坐标系 ，
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则 (0,0,0)， 1(2,0,4)， (0,2,0)， (2,0,0)， (0,2,2)，
设 (0,0, )， 1 = (2,0,4)， = ( 2,0, )， = (0,2,0)，
因为 1 ⊥ ，
所以 4 4 = 0，即 = 1，则 = ( 2,0,1)，
由(1)平面 1 的一个法向量为 = ( 2,0,1)，
又 1 = ( 2,2, 2)，
设直线 1 与平面 1 所成角的大小为 (0 ≤ ≤ 2 )，
则 = |cos , |
| = 1
| = 2 = 151 ，| | | 1 | 5 12 15
因此直线 1 与平面 1 所成角的正弦值为
15．
15
18.
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19.解：(1)如图，作 ⊥ 于点 ，交线段 于点 ，连接 、 ，
∴ ∠ = 6，
∴ = 12， = 2
12， =
12，
= = 12 =
12，
∴ = = (cos 12 sin
12 )，
= = 2 2(2 12 cos
2 1 2
12 2 12 ) = 2 ( 3 1) ；
(2)因为∠ = (0 < < 2 )，
则 = 2 2， =
1
2， = 2 = 2，
∴ = = (cos 2 sin 2 )，
= = 2 2(2 2 cos
2 2
2
2 ) = 2
2[ 2sin( + 4 ) 1]，
∵ 0 < < 2，
∴ + 4 =
2即 =
4时，
2
= ( 2 1) ，此时 在弧 的四等分点处．
20.
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21.解：(1)当 = 1 时， ( ) = ( 2) 12
2 + ，
得 (2) = 0，
因为 ′( ) = ( 1) + 1，则 = ′(2) = 2 1，
所以切线方程为： = ( 2 1)( 2)，即( 2 1) 2( 2 1) = 0；
(2)由题 ( ) = ( 2) 1 22 + ，
可得 ′( ) = ( 1) + = ( 1)( )，
当 ≤ 0 时， ∈ ( ∞,1)， ′( ) < 0， ( )单调递减，
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∈ (1, + ∞)， ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 > 0 时， ′( ) = 0 的解为 1 = ， 2 = 1，
①当 = 1，即 = 时， ′( ) ≥ 0，则 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增；
②当 < 1，即 0 < < 时，
在区间( ∞, )，(1, + ∞)上， ′( ) > 0，在区间( , 1)上， ′( ) < 0，
所以 ( )的单调增区间为( ∞, )，(1, + ∞)；单调减区间为( , 1)；
③当 > 1，即 > 时，
在区间( ∞,1)，( , + ∞)上， ′( ) > 0，在区间(1, )上， ′( ) < 0，
所以 ( )的单调增区间为( ∞,1)，( , + ∞)；单调减区间为(1, )，
综上所述，当 ≤ 0 时， ( )的递减区间为( ∞,1)，递增区间为(1, + ∞)；
当 = 时， ( )在( ∞, + ∞)上单调递增；
当 0 < < 时， ( )的单调增区间为( ∞, )，(1, + ∞)，单调减区间为( , 1)；
当 > 时， ( )的单调增区间为( ∞,1)，( , + ∞)，单调减区间为(1, )；
(3) ′( ) = ( 1)( )，
①当 ≤ 0 时，因为 ≥ 2，所以 1 > 0， > 0，所以 ′( ) > 0，
则 ( )在[2, + ∞)上单调递增， ( ) ≥ (2) = 0 成立，
②当 0 < ≤ 2时， ′( ) > 0，
所以 ( )在[2, + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≥ (2) = 0 成立．
③当 > 2时，在区间(2, )上， ′( ) < 0；在区间( , + ∞)， ′( ) > 0，
所以 ( )在(2, )上单调递减，( , + ∞)上单调递增，所以 ( ) ≤ (2) = 0，不符合．
综上所述， 的取值范围是( ∞, 2].
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