深圳市红山中学2024-2025学年第二学期高二第一次段考
数 学 试 题
本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2. 一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有6个小球，所有这些小球的颜色互不相同．从两个袋子中分别取1个球，共有多少种不同的取法( )
A. 11 B. 110 C. 30 D. 25
3．已知等差数列的前项和为，，，则等差数列的公差为( )
A. B. C. D.
4. 的展开式的第7项的系数是( )
A. B. C. D.
5. 函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6. 函数的单调递增区间是( )
A. 和 B. C. D.
7. 设，为双曲线的左、右焦点，过的直线与在第一象限相交于点，若，且直线倾斜角的余弦值为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8. 若函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二 多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分）
9. 下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列关于函数的结论正确的是( )
A．函数的极值点的个数为；
B．函数在区间和单调递减；
C．函数在区间和单调递减；
D．当时，有最小值.
11. 对于数列，定义：，称数列是的“倒差数列”，下列叙述正确的有( )
A．若数列单调递增，则数列单调递增；
B．若数列是常数列，，则数列是周期数列；
C．若，则数列没有最小值；
D．若，则数列有最大值.
三 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 圆的半径为__________．
13. 若圆锥曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，则实数m__________．
14. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围__________．
解答题（本大题共5小题，共77分.解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题13分）在中，角A，，C的对边分别为，，，，， 且的面积为.
(1)求A；
(2)求的周长.
16．（本小题15分）如图，四棱锥的底面是正方形，且，侧面PAB是等腰直角三角形，其中.四棱锥的体积为.
(1)证明：平面平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17．（本小题15分）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标.
18．（本小题17分）数列的前项和为，已知.
（1）试写出；
（2）设，求证：数列是等比数列；
（3）求出数列的前项和为及数列的通项公式.
19．（本小题17分）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．深圳市红山中学2024-2025学年第一学期高一第二次段考
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A B D B A B ABC AC BD
三、填空题
12.
13.
14.
四、解答题
15．（1）（2）
16．解：（1）取的中点，连接，因为，，
所以，
又四棱锥的底面是正方形，所以，设到平面的距离为，
则，所以，
所以，即平面，又平面，所以平面平面；
（2）取的中点，连接，则，即，
如图建立空间直角坐标系，则，，，
所以，，
设平面的法向量为，则，取，
又平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
17．解：（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为
（2）显然直线的斜率存在，设方程为，则,
即，设，由韦达定理得，则，
因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点.
18．解：（1）；
（2）由可得，
整理，
所以，又有，
所以数列是等比数列，首项是1，公比为2.
（3）由（2）可知，且，进而，
所以数列的前项和，
当，
当时，也满足上式.
19．解：（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
试卷第4页，共4页
