2024-2025学年四川省泸县第五中学高一下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的值为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则( )
A. 、、三点共线 B. 、、三点共线
C. 、、三点共线 D. 、、三点共线
6.若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 在上的值域为
C. 将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则的图象关于轴对称
D. 若方程在上恰有一个根，则的取值范围为
11.已知是边长为的正六边形内一点含边界，且，，则( )
A. 的面积恒为 B. 存在，使得
C. D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.，是平面内两个单位向量，它们的夹角为， ．
13. ．
14.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有个实数根，，，，，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，与的夹角为．
求；
，，求的值；
若在方向上的投影向量为，求的最小值．
16.本小题分
已知函数．
求函数的单调减区间；
将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，当，解不等式．
17.本小题分
某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以为圆心，半径为千米的圆周已有两条互相垂直的道路，，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点，现规划修建一条新路由线段，，线段三段组成，其中点，分别在，上，且使得，所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点，，所对的圆心角为记道路宽度均忽略不计．
求新路总长度的解析式；
求新路总长度的最小值．
18.本小题分
如图所示，在中，点在线段上，满足是线段上的点，且满足，线段与线段交于点．
若，求实数，的值；
若，求实数的值；
如图，过点的直线与边，分别交于点，，设，，求的最小值．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，我们把函数上满足其中表示正整数的点称为函数的“正格点”．
写出当时，函数图象上的正格点坐标；
若函数与函数的图象有正格点交点，求的值．
对于中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.解：因为，，与的夹角为，
所以；
因为，
，
，
所以．
在方向上的投影向量为，
所以，
当时，的最小值为．
16.解：函数，
当，时，解得：，，
因此，函数的单调减区间为．
将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
再将所得的图象上各点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象，
由，即，得，，
解得，令，可得，
令，可得，
又，所以，
即当时，不等式的解集为．
17.解：
如图： 连接，
，可得，
，
在直角三角形中，则，所以，，
，
，
其中，则．
，当且仅当时取等号．
故新路总长度的最小值为千米．
18.解：因为所以，
所以，
所以．
由题意可知：，
，
又因为三点共线，所以存在实数使得，
，
所以，解得：
所以．
易知，
由知，
又因为三点共线，所以，又，
所以：，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
19.解：因为，所以，，
所以函数的正格点为，，．
根据题设，可得两个函数大致图象如下，
函数，，与函数的图象只有一个“正格点”交点．
，则，又，可得．
由知，，则
所以，故；
当时，不等式不能恒成立；
当时，如下图知，
由，解得，
综上，实数的取值范围为．
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