2025年湖南省高考普通高中名校联考高考一模
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.甲同学每次投篮命中的概率为，在投篮次的实验中，命中次数的均值为，则的方差为( )
A. B. C. D.
4.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知正四面体的高等于球的直径，则正四面体的体积与球的体积之比为( )
A. B. C. D.
7.在中，，且边上的高为，则( )
A. 的面积有最大值，且最大值为
B. 的面积有最大值，且最大值为
C. 的面积有最小值，且最小值为
D. 的面积有最小值，且最小值为
8.已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是( )
A. 函数的一个对称中心为 B.
C. 函数为周期函数，且一个周期为 D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设公比为的等比数列的前项和为，若数列满足，且，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
10.将函数图象的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则( )
A. 为偶函数
B. 的最小正周期为
C. 与在上均单调递减
D. 函数在上有个零点
11.若函数，则( )
A. 可能只有个极值点
B. 当有极值点时，
C. 存在，使得点为曲线的对称中心
D. 当不等式的解集为时，的极小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是等比数列，，，则数列的前项和为______．
13.甲、乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为，，，，，的个大小质地完全相同的小球，甲先从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得分，数字更小者得分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜甲获得分的概率为______．
14.已知正方体的棱长为，若在该正方体的棱上恰有个点，满足，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性，随机调查了某中学的名学生，整理得到如下列联表：
男学生 女学生 合计
喜欢跳绳
不喜欢跳绳
合计
依据的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢运动有关联？
已知该校学生每分钟的跳绳个数，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步假设经过训练后每人每分钟的跳绳个数都增加，该校有名学生，预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数结果精确到整数．
附：，其中．
若，则，，．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为棱的中点，点在棱上，，且．
证明：平面；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知函数，且曲线在点处的切线斜率为．
比较和的大小；
讨论的单调性；
若有最小值，且最小值为，求的最大值．
18.本小题分
已知双曲线：与直线：交于、两点在左侧，过点的两条关于对称的直线、分别交双曲线于、两点在右支，在左支．
设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
若直线与双曲线在点处的切线交于点，求的面积．
19.本小题分
若数列满足，且，则称数列为“稳定数列”．
若数列，，为“稳定数列”，求的取值范围；
若数列的前项和，判断数列是否为“稳定数列”，并说明理由；
若无穷数列为“稳定数列”，且的前项和为，证明：当时，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：：学生的性别和是否喜欢运动无关，
，
所以根据的独立性检验，不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关．
训练前该校学生每人每分钟的跳绳个数，
则，，，
即训练前学生每分钟的跳绳个数在，，，，
由人，
估计训练前该校每分钟的跳绳个数在内的人数为，
即预估经过训练后该校每分钟的跳绳个数在内的人数为人．
16.解：证明：如图，取棱靠近的三等分点，连结，，则是的中点，
因为为棱的中点，所以是的中位线，所以，
因为，所以，
设，因为，所以，作，连接，
则，因为，所以．
在中，由余弦定理得：，
因为，所以．
又因为，，面，所以平面，
因为面，所以．
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
由知，，以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
令，所以，
设平面的法向量为，
则即令，可得，所以．
连接，此时，，由余弦定理得：，
因为，所以，
因为平面，所以，
因为，面，，
所以面，所以平面的一个法向量为．
设平面和平面的夹角为，则，
所以平面和平面夹角的余弦值为．
17.解：，由题知，
整理得．
由知，，
当时，恒成立，此时在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知，当时，无最小值，
当时，在处取得最小值，所以，
记，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当时，取得最大值，
即的最大值为．
18.解：由题意知直线斜率为，所以直线的倾斜角，
设直线、的倾斜角分别为、、，
直线、关于直线对称，则，
所以；
联立方程，解得，
所以，
所以双曲线在点处的切线方程为，
不妨设直线为，，，
联立得，
，
整理得，将等式看作关于的方程：两根之和，两根之积，
而其中，
由得，
所以，
所以直线为，过定点，
又因为双曲线在点处的切线方程为，过点，
所以，
所以．
19.解：由“稳定数列”的定义可知，，
解得，又因为，所以，即．
解：数列不是“稳定数列”，理由如下：
令，得，
当时，，
检验，当时，，
故，所以，，
要使为“稳定数列”，则需，
即恒成立；
所以有，
显然不可能恒小于等于零，
故不能恒成立，
所以数列不是“稳定数列”；
证明：由题可知，且，
则，
，
两式相加，得，
，
，
，
令，
则有，
分类讨论，
第一类，，，
，，
因为，所以有，
所以有，
得，
第二类，，，
则有，，
则有，，，
得到，，，，，，，
因为，
所以，
因为，，
所以，
所以当为偶数时，，得，
当为奇数时，，
又因为，，
所以，，
所以，
所以得．
第1页，共1页
