2025年河南省开封市等三地高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.在中，，若，，则( )
A. B. C. D.
4.已知是等比数列的前项和，且，，则公比( )
A. B. C. D.
5.设，，则的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.将名学生分配到个社区当志愿者，每个社区至少分配名学生，则不同的分配方法种数是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线，圆经过直线，的四个交点，且圆与在第一象限交于点，与轴分别交于点，，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时间单位：时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定，则下列说法正确的是( )
A. 小球在开始振动即时在平衡位置上方处
B. 每秒钟小球能往复振动次
C. 函数的图象关于直线对称
D. 小球从到时运动的路程是
11.设，表示不超过的最大整数，例如：，若存在实数，使得，，，，同时成立，则下列说法一定正确的是( )
A. 若，则
B.
C. 的最大值是
D. 的最大值是
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知，则 ______．
13.已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为______．
14.已知直线与函数，的图象分别交于，两点，则取最小值时， ______，最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某物业公司为提高对某小区的服务质量，随机调查了该小区名男业主和名女业主，每位业主对该物业公司的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表：
满意 不满意
男业主
女业主
依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业公司服务的评价有差异？
从该小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业公司的服务不满意”，表示事件“选到的人为女业主”，利用该调查数据，给出，的估计值．
附：．
16.本小题分
已知直线与圆：相交于，两点，为圆上不同于，的一点记的内角，，的对边分别为，，．
求角；
若，求的面积．
17.本小题分
在四棱锥中，，，平面平面，，且．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求在处的切线方程；
若有唯一的零点，求的值．
19.本小题分
设为不小于的正整数，项数为的数列是公差大于的等差数列，若存在项数为的数列同时满足：
数列中任意两项均不相同；
任意正整数，，从小到大排列恰好为数列
此时称数列是可拆分等差数列．
写出一个可拆分等差数列及其对应的一个数列；
若数列是一个可拆分等差数列，表示事件“数列的前三项成等差数列”，求事件发生的概率；
求所有满足数列是可拆分等差数列的正整数的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.；
15.解：根据题意可知，，
所以依据的独立性检验，能认为有差异；
由题意，
所以．
16.解：圆：是单位圆，圆心到直线的距离，圆的半径，
，
又为外接圆上一点，，
解之得，
，
或；
解：由余弦定理得：，
即，即，
当时，，
此时，
当时，，
为最大边，，与矛盾，不成立，舍去，
综上所述，的面积为．
17.解：证明：作于
，与必相交，
又平面平面，平面平面，，
平面，平面，
，
又，平面，平面，与相交，
平面
在平面内作交于，则，，两两垂直，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，
平面，为平面的一个法向量，
．
直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：当时，，，
则，
又，
则所求切线方程为，即．
函数的定义域为，
，
令，则，
即在单调递增，
当时，，当时，，
所以，使得，即，
且在单调递减，在单调递增，
所以在处取得极小值，
又当时，，时，，
故若有唯一的零点，则必有，
则，且，
消去可得，
即，
又因为，即，
由式可得：，即，
将代入可得，即，
综上可知，若有唯一的零点，则．
19.解：首先项数为，且数列中任意两项均不相同；
，，，满足条件，则上述数列满足题意．
故等差数列：，，，数列：，，；
数列四项均不相同，故总的排列方法有种．
假设数列各项从小到大排列，即，
则两两相加后最小项，次小项，最大项，次大项．
设等差数列公差为，则，
又数列第三项，第四项；或者第三项，第四项，
所以且，得且；
或者
且，得且，
以上两种情况不能同时成立，由以上分析知使前三项等差的排列方式有种，故
由前两问知可以取和．
时，假设数列各项从小到大排列，则两两相加后最小项，
次小项，最大项，次大项，
根据题目：设为不小于的正整数，项数为的数列是公差大于的等差数列，
若存在项数为的数列同时满足：
数列中任意两项均不相同；
任意正整数，，从小到大排列恰好为数列
此时称数列是可拆分等差数列．
因为数列等差，故得，
若，则，，，各不相同，而与两两不同矛盾，
即时数列不可能是可拆分等差数列；
时，，即，
此时称数列共项，最小项，次小项，最大项，次大项，
设等差数列公差为，则，
即，
所以，，
剩余四项为，，，，
又公差，故，，是连续三项，
所以只能是第项或者第项，
当是第项时，得，与两两不同矛盾，
当是第项时，，得，与两两不同矛盾，故不能是．
综上，满足数列是可拆分等差数列的正整数只能是和．
第1页，共1页
