2025年广东省汕头市潮阳区棉城中学高考数学第二次测试试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.记复数的共轭复数为，若，则( )
A. B. C. D.
3.双曲线的一个焦点为，则( )
A. B. C. D.
4.扇形的半径等于，面积等于，则它的圆心角等于( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.若向量，满足，，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.某班级有名男生和名女生，现调查学生周末在家学习时长单位：小时，得到男生样本数据的平均值为，方差为，女生样本数据的平均值为，方差为，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知二项展开式，则( )
A. B.
C. D.
10.在四棱锥中，，分别是，上的点，，则下列条件可以确定平面的是( )
A. B. C. 平面 D. 平面
11.已知公差不为的等差数列的前项和为，且，是与的等比中项，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 数列是递增数列 D. 当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是锐角，若，则 ______．
13.已知圆：与圆：相交于两点，，则四边形的面积等于______．
14.一个袋子中有个大小相同的球，其中红球个，黑球个每次从袋中随机摸出个球，摸出的球不再放回设第，，次都摸到红球的概率为；在第，次都摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为求 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，，若在处与直线相切．
求，的值；
求在其中为自然对数的底数上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知直线与圆：相交于，两点，为圆上不同于，的一点记的内角，，的对边分别为，，．
求角；
若，求的面积．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，是边长等于的正三角形，，为的中点．
求证：；
若，求点到平面的距离．
18.本小题分
地区生产总值地区是衡量一个地区经济发展的重要指标，在过去五年年年中，某地区的地区生产总值实现了“翻一番”的飞跃，从亿元增长到了亿元，若该地区在这五年中的年份编号年对应的值为，年对应的值为，以此类推与地区生产总值百亿元的对应数据如下表：
年份编号
地区生产总值百亿元
该地区年的人均生产总值为万元，若年全国的人均生产总值万元服从正态分布，那么在全国其他城市或地区中随机挑选个，记随机变量为“年人均生产总值高于该地区的城市或地区的数量”，求的概率；
该地区的人口总数百万人与年份编号的回归方程可以近似为，根据上述的回归方程，估算该地区年份编号与人均生产总值人均万元之间的线性回归方程．
参考公式与数据：人均生产总值地区生产总值人口总数；
线性回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别是：，
若，则，．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，设椭圆：的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，且的周长是．
求椭圆的方程；
当时，求的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：函数，
，
函数在处与直线相切，
，解得；
由可得，
，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得极大值即最大值，
所以，
又，，
所以．
16.
17.
18.解：易知，
所以根据正态分布区间公式有，
即每个地区大于该地区的人均生产总值的概率为，
则，
所以；
因为，由题意可知，每年的人均生产总值分别依次为：
，，
所以，
则，，
由公式可知，
即．
19.解：因为，知，
所以．
因为的周长是，所以，
所以，，故，
所以椭圆的方程为：；
分析知直线的斜率存在，且不为，设的方程为：，设，，
与椭匮方程联立，整理可得：，
可得，，
所以写出，
由题意同理可得，
因为，
所以，
解得，所以，
所以直线的方程为，
所以到直线的距离，
故．
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