陕西省商洛市2025届高三下学期第三次模拟检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知为抛物线上一点，为的焦点，点到轴的距离为，则( )
A. B. C. D.
3.若集合，，则( )
A. B. C. D.
4.某地为促进消费，向当地市民随机发放了面值元、元、元的线下消费满减电子券，每位市民可以领取一张，且每笔消费仅能使用一张．某支持使用该消费券的大型商场统计到某日使用了元、元、元消费券的消费账单的数量之比为，若对这些账单用等比例分层随机抽样的方法进行抽样调查，抽取一个容量为的样本，则样本中使用了元消费券的消费账单的份数为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
6.若函数在上有极值，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
7.已知是偶函数，且在上单调递增，则( )
A. ． B. ．
C. D.
8.已知正三棱锥的底面边长为，侧面积为，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. 是奇函数 D. 在上单调递减
10.过点向曲线作切线，切线方程可能是( )
A. B. C. D.
11.数列满足，，，，，依此类推，则下列结论正确的是( )
A. 的最小值为 B.
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ， ．
13.已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为 ．
14.设计一个五位的信息密码，每位数字均在中选取，则含有数字、、，且、、都只出现一次的信息密码有 个．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知、、分别为三个内角、、的对边，且．
求；
若，求外接圆的面积．
16.本小题分
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，输的一方在下一局当裁判．已知各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第一局丙当裁判．
若比赛进行三局，求第三局甲不当裁判的概率；
若有人获胜两局，则比赛结束，用表示比赛结束时比赛的局数，求的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知双曲线经过点，离心率为．
求的方程．
已知的左、右焦点分别为、，直线与相交于、两点．
若的斜率为，求线段的中点的轨迹方程；
若经过点，且，求的方程．
18.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，，分别为，的中点，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，连接，已知，，，为射线上一点．
若，证明：平面．
若直线与平面所成角的正弦值为，求．
19.本小题分
定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
若函数和为“契合函数”，求的取值范围．
已知函数和为“契合函数”且有两个“契合点”．
求的取值范围；
若，证明：．
参考答案
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15.因为，由正弦定理可得，
即，即，
因为、，所以，，，则有，故．
设外接圆的半径为，由正弦定理，，故，
因此，外接圆的面积为．
16.若比赛进行三局，第三局甲不当裁判，则第二局甲赢，第一局甲也赢，
或者第一局甲输，则甲第三局必定参加比赛，故所求概率为．
由题意可知，的可能取值有、、，
若，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以，，
若，则第二、三局均为丙赢，所以，，
若，则前三局没有人累计胜两局，必须进行第四局，第四局后无论胜负都有人累计获胜两局，
所以，，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
因此，．
17.由题意可得，解得，故双曲线的方程为．
设点、，设点，
设直线的方程为，联立可得，
则，
由韦达定理可得，可得，
则，即点的轨迹方程为；
易知点、，若直线与轴重合，则、为双曲线的顶点，
显然，不合乎题意；
若直线轴，由对称性可知，点、关于轴对称，则；
当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
设点、，
联立可得，
由题意可得，解得，
由韦达定理可得，，
所以，线段的中点为，
若，则，，，
所以，，解得．
综上所述，直线的方程为或或．
18.在线段上取一点，使得，连接、，
因为，所以且，
又，，，
所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面；
在等腰梯形中，，，，分别为，的中点，
所以，沿线段将四边形翻折到四边形的位置，
所以，，平面，
所以平面，
如图以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，，所以，
设，所以，
设平面的法向量为，
则，取，
直线的一个方向向量为，
所以，
解得或舍去，
所以．
19.由题意知：与的公共定义域为，
令，即，，
令，若与为“契合函数”，则与有交点．
，
当时，，，即；当时，；
当时，，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
，又当时，；当时，；
大致图象如下图所示，
由图象可知：当时，与有交点，
即当与为“契合函数”时，的取值范围为．
由题意知：与的公共定义域为，
令，则，即；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，又当时，；当时，；
大致图象如下图所示：
令，则
由得：，
在上单调递增，又与为“契合函数”，与至少有一个交点，
与有两个不同交点，，，
，解得：，即实数的取值范围为．
由得：与的两个不同交点为，且，
，即
令，则由知：，，
，整理可得：，，
，
令，则，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，，
在上单调递增，，即，
在上单调递增，，即．
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