19.3课题学习 选择方案 练习
一、单选题
1．如图，正方形的边长为4，从顶点出发沿正方形的边运动，路线是，设点经过的路程为，的面积是，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在菱形中，点的坐标为，点的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．25 B． C． D．32
3．甲、乙两个准备在一段长为米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为和，起跑前乙在起点，甲在乙前面米处，若同时起跑则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲乙两之间的距离与时间的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．为筑牢乡村振兴路，某村在湖边安装了如图所示的护栏，假如每根立柱宽为米，立柱间距为米，已知护栏总长度随着立柱根数的变化而变化，设有（为正整数）根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示．有下列结论：①A，B两城相距；②乙车比甲车晚出发，却早到；③乙车出发后追上甲车；④当甲、乙两车相距时，或或．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过度，则按元度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过度，则超过部分按元度计算（未超过部分仍按每度电元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，，射线与x轴正半轴夹角为，点A和点B分别为射线，上的动点，和的平分线交于点P，则点P一定在直线方程（ ）上．
A． B． C． D．
8．某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表中的数据：
鸭的质量/千克 1 2 …
烤制时间/分钟 40 50 60 70 80 …
设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，当千克时，的值为（ ）
A．90 B．100 C．110 D．120
9．骑行山地自行车过程中，如果车座高度不合适，会使骑行者踩踏费力，甚至造成膝盖磨损．有一种雷蒙德测量方法：双腿站立，两脚（不穿鞋）间距，测量裆部离地面的距离（单位：），得出的数据乘就是相应的骑行时最合适的长度（由长度为的立管和可调节的坐杆组成，如图所示）．设长度最合适时坐杆的长度为，则下列说法不正确的是（ ）
A．若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的长是
B．当时，
C．与的关系式为
D．若某人裆部离地面的距离为，某山地车坐杆的最大调节长度为，那么他适合骑该山地车
10．如图，从光源发出一束光，经轴上的一点反射后，得到光线，光线经轴上一点反射后，得到光线．若，且光线所在直线的函数表达式为，则光线所在直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
11．某通讯公司就宽带上网推出三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图所示．小明根据图象得出如下四个结论：①每月上网不足25小时，选择A方式最省钱；②每月上网费用为60元时，B方式上网的时间比A方式多；③每月上网时间为时，选择B方式最省钱；④每月上网时间超过时，选择C方式最省钱．以上四个结论中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②③
12．如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，直线与，轴分别相交于点，，点在线段上，且点坐标为，点为线段的中点，点为上一动点，则当的周长最小时，点的坐标为 ．
14．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，点是x轴上一点，点E、F分别为直线，y轴上的两个动点，当周长最小时，点E的坐标为 ．
15．如图，直线分别与、轴交于，两点，点的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且．点是轴上的一点，连接，将沿直线翻折，当点的对应点恰好落在轴上时，此时点的坐标为 ．
16．如图，直线与轴、轴分别交于A，两点，以为边在轴右侧作等边，将点C向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点C平移的距离 ．
三、解答题
17．近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示．
(1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米；
(2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米；
(3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围．
18．一辆大客车和一辆小轿车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同．请结合图象解答下列问题：
(1)分别求出小轿车和大客车速度；
(2)点为与的交点，试求点的坐标，并说明点所表示的实际意义；
(3)求出发后经过多少小时两车相距？
19．为进一步加强“书香校园”建设，某校拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购买的图书．已知每个乙种书柜的进价比每个甲种书柜的进价低30%，用4200元购进乙种书柜的数量比用9000元购进甲种书柜的数量少10个．
(1)每个乙种书柜的进价是多少元？
(2)若该校拟购进这两种规格的书柜共100个，其中甲种书柜的数量不少于乙种书柜的3倍．该校应如何购进这两种书柜才能使得购进书柜所需的费用最少？
20．如图，直线分别与x轴，y轴交于A、B两点，与直线交于点．
(1)点坐标为(________，________)．
(2)在直线上有一点E，过点E作y轴的平行线交直线于点F，设点E的横坐标为m，当m为何值时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；
(3)若点P为直线上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使得、、、四个点能构成一个矩形．若存在，直接写出所有符合条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
《19.3课题学习 选择方案 练习 2024-2025学年人教版（2012）数学八年级下册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B A B C A D D D
题号 11 12
答案 A A
1．A
【分析】本题考查动点的函数图象问题，一次函数的应用，数形结合并分析起始阶段，中间某个特殊阶段的变化趋势是解题的关键；
分三种情况，分别求出函数解析式，进行判断即可．
【详解】解：当点在时，则：时，
，
图象为过原点，方向向上的一条直线的一部分，
当点在上时，则：，
，
图象为平行于轴的一条直线的一部分，
当点在上时，则：，
，
图象为方向向下的一条直线的一部分，
综上，满足题意的只有选项A的图象；
故选A．
2．D
【分析】连接，交于点，过点作轴于点，设直线与轴的交点为点，先求出点的纵坐标为6，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据一次函数的解析式求出点的坐标，求出的长，最后计算菱形的面积即可．
【详解】解：如图，连接，交于点，过点作轴于点，设直线与轴的交点为点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点的坐标为，点的纵坐标为2，
∴点的纵坐标为，
∴，
又∵点的坐标为，
∴，
∴，
由一次函数的图象可知，，
将代入一次函数得：，解得，即，
将代入一次函数得：，即，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵轴，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴一次函数的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴菱形的面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、一次函数应用、等腰三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握菱形的性质是解题关键．
3．B
【分析】本题考查一次函数图象和性质，熟练掌握一次函数图象和性质是解题的关键；
根据题意，求得的值，进而根据乙先到终点，计算时间，结合图象分析即可；
【详解】解：根据题意，设乙追上甲的时间为，则，
解得；
所以乙先到终点，所需时间为，
即开始时，乙追上甲，时乙率先到达终点；
故选：B
4．A
【分析】本题主要考查的是求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握待定系数法．设函数的解析式为：，把时，时代入求出，得出函数解析式即可．
【详解】解：设函数的解析式为：，把时，时代入得：
，
解得：，
∴与之间的关系式为：．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的说法是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．
【详解】解：由图象可得，
A，B两城相距，故①正确，符合题意；
乙车比甲车晚出发，却早到，故②正确，符合题意；
甲车的速度为：，乙车的速度为，
乙车出发后行驶的路程为：，此时甲车行驶的路程为：，故③错误，不符合题意；
当甲、乙两车相距时，设甲车行驶的时间为t小时，
乙车没有出发，则，得；
乙车出发后，两车相遇之前：，得；
两车相遇之后，乙车未到达B城：，得；
乙车到达B城后：，得；
由上可得，当甲、乙两车相距时，或或或，故④错误，不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得到解，在从给出的四个图像中判断出正确的图像即可．
【详解】解：当时，；
当时，，
故与的函数关系式为，
观察各选项，选项中的图象符合，
故选：．
7．A
【分析】过点P作于点E，于点N，于点G，利用角的平分线的判定定理和性质定理，解答即可．
本题考查了角的平分线的判定和性质，第一象限角的平分线的直线解析式，熟练掌握性质和解析式是解题的关键．
【详解】解：过点P作于点E，于点N，于点G，
∵和的平分线交于点P，
∴，，
∴，
∴点P一定在的角平分线上，
作射线，
则平分，
∵，
∴，
设Q是x轴的正半轴上的一点，R是y轴的正半轴上的一点，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∴点P一定在直线上，
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了一次函数的运用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
根据题意，运用待定系数法得到一次函数解析式，再把代入解析式得到函数值，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，鸭子的质量逐渐增大，烤制时间也随之增大，
∴设一次函数解析式为，
把，，，代入得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为，
∴当时，，
∴的值为（分钟），
故选：D ．
9．D
【分析】本题考查了一次函数的应用，由时可得，即可判定；由可得，即可判定；分别求出和时的值即可判定，据此即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：若某人裆部离地面的距离为，则他骑行最合适的，故正确，不合题意；
∵ ，，，
∴，
即，故正确，不合题意；
当时，故正确，不合题意；
当时，，
∵，
∴他不适合骑该山地车，故不正确，符合题意；
故选：．
10．D
【分析】本题考查一次函数的实际应用，延长交轴于点，把点代入，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，证明，进而求出点坐标，根据两直线平行，值相等，结合点坐标，求出的解析式即可．
【详解】解：延长交轴于点，如图，
把代入，得：，解得：，
∴，
∴，
由光的反射可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设直线的解析式为：，把代入，得：；
∴；
故选D．
11．A
【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，利用一次函数的有关知识逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
观察函数图象，可得出：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论①正确；当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论②正确；利用待定系数法求出：当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时的值，将其与50比较后即可得出结论③正确；当时，与x之间的函数关系式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出当时x的值，将其与比较，即可得出结论④错误．
【详解】解：观察函数图象，可知：每月上网时间不足时，选择A方式最省钱，结论①正确；
当每月上网费用元时，B方式可上网的时间比A方式多，结论②正确；
设当时，，
将代入得：
，
解得，
∴，
当时，，
∴每月上网时间为时，选择B方式最省钱，结论③正确；
设当时，，
将代入得：
，
解得，
∴，
当时，，
∴当时，选择B方式比C方式最省钱，结论④错误．
综上所述，以上四个结论中正确的是①②③．
故选：A．
12．A
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及最短路径问题，连接交直线于点C，此时最小，根据点A，B的坐标利用待定系数法可求出点A，B所在直线的解析式，联立两函数解析式成方程组，解之即可得出当最小时，点C的坐标．
【详解】解：连接交直线于点C，此时最小，如图所示．
设点A，B所在直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
∴点A，B所在直线的解析式为，
联立两直线解析式成方程组，得：，
解得：，
∴当最小时，点C的坐标为．
故选：A．
13．
【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，由直线，分别求出，，又点为线段的中点，则，所以，求出直线解析式为即可．
【详解】解：如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，当点与点重合时，的周长最小，
∴，
由根据两点之间线段最短可得：的周长，
∵点在直线上，
∴，
∴，
由直线，当时，，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
当时，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，过点作轴，且，连接，交于点，作点关于轴的对称点，连接，易得关于对称，得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小为的长，连接，与的交点即为点，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作轴，且，连接，交于点，作点关于轴的对称点，连接，，则：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴的周长，
∴当四点共线时，的周长最小为的长，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：，
∴，
故答案为：．
15．或
【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数与几何综合，勾股定理和折叠综合等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
由直线过点，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，进而可得出点的坐标及的长度，结合可求出点的坐标，设，则或，在中，利用勾股定理可得出关于的方程，解之即可得出结论．
【详解】∵直线过点，
，
，
当时，，
∴点的坐标为，即，
，
，
∵点在轴正半轴，
∴点的坐标为，
依照题意画出图形，如图所示．
由翻折得，，
，，
，
，
∴设，则或，
在中，，
∴，即或，
解得：或，
点P的坐标为或．
故答案为：或
16．
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．过点作轴于点，利用一次函数的性质求出，再利用等边三角形的性质求出，令求出点的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
令，则，
，
，
等边，轴，
，，，
，
，
令，则，
解得：，
，
．
故答案为：．
17．(1)9；40
(2)第20天时整个工程已完成580米
(3)完成这次任务的工期范围是27天至35天
【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答．
（2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答．
（3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可．
本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天）
每天挖隧道：（米），
故答案为:9，40．
（2）解：由题意，当时
∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为
∴（米/天），（米/天），
又设直线的解析式为
把点B坐标代入解析式得
解得
∴直线的解析式为
令，则
∴第20天时整个工程已完成580米；
（3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），
∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队，
∴，
解得，
∵，
∴，
当时，
由（2）得直线的解析式为
∴当时，则，
解得；
当时，
依题意，则，
∴（米/天），（米/天），
设直线的解析式为
把代入得
解得，
∴直线的解析式为
∴当时，
由（2）得直线的解析式为
∴当时，则，
解得，
即
∴完成这次任务的工期范围是27天至35天．
18．(1)小轿车的速度为：，大客车的速度为：；
(2)，两车出发小时后相遇，此时两车距离甲地；
(3)小时或小时或小时
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
(1)分别根据速度路程时间计算即可；
(2)根据路程速度时间分别写出线段、所在直线的函数关系式，列关于和的二元一次方程组并求解，从而得到点的坐标并写出其实际意义即可；
(3)根据路程速度时间分别写出线段所在直线的函数关系式，按照的取值范围，当两车相距列关于的方程并求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
小轿车的速度为：，
大客车的速度为：．
（2）解：线段所在直线的函数关系式为，
线段所在直线的函数关系式为，
根据题意，得，
解得，
点的坐标为，其实际意义表示小轿车于出发后小时在从乙地返回甲地的途中与大客车相遇，此时两车距离甲地．
（3）解：所在直线的函数关系式为，
小轿车离开甲地的路程与时间的函数关系式为
，
当，两车相距时，得，解得；
当，两车相距时，得，解得(舍去)；
当，两车相距时，得，解得或；
∴出发后经过或或两车相距．
19．(1)每个乙种书柜的进价是210元
(2)购进甲种书柜75个，乙种书柜25个，费用最少
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
（1）设每个甲种书柜的进价是x元，利用数量=总价÷单价，结合用4200元购进乙种书柜的数量比用9000元购进甲种书柜的数量少10个列方程求解；
（2）设购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个，根据购进甲种书柜的数量不少于乙种书柜的3倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该校购进这两种书柜共花费w元，利用总价=单价×数量，可列出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每个甲种书柜的进价是元，则每个乙种书柜的进价是元．
由题意，得，
解得．
经检验，是所列分式方程的根，且符合题意，
（元）．
答：每个乙种书柜的进价是210元．
（2）解：设购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个．
由题意，得，
解得，
．
设购进书柜所需的费用为元．
由题意，得．
，
的值随值的增大而增大，
当时，有最小值，
此时，．
答：购进甲种书柜75个，乙种书柜25个，费用最少．
20．(1)
(2)或
(3)存在，点坐标为或
【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得；
（2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得；
（3）分两种情况：①以、、、四个点构成的是矩形，先利用三角形的面积公式和勾股定理可得的长，从而可得点的坐标，再根据矩形的对角线互相平分、点坐标的中点公式即可得；②以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，根据矩形的性质可得，，由此即可得．
【详解】（1）解：将点代入直线得：，
解得，
∴直线的解析式为，
将代入一次函数得：，解得，
∴点坐标为；
故答案为：．
（2）解：将代入直线得：，即，
将点代入直线得：，解得，
∴直线的解析式为，
由题意得：点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∵，
∴要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则，
∴，
解得或，
所以当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形．
（3）解：由上已得：，，
∴，
∴，
∵点为直线上一点，且在中，，
∴分以下两种情况：
①如图，以、、、四个点构成的是矩形，
过点作轴于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点的坐标为，
∵矩形的对角线互相平分，，
∴，解得，
∴此时点的坐标为；
②如图，以、、、四个点构成的是矩形，此时点与点重合，则，
∴，
∴此时点的坐标为；
综上，存在一点，使得、、、四个点能构成一个矩形，此时点的坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、平行四边形的判定、矩形的性质、勾股定理、点坐标的中点公式等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键．
