【备考2025】中考数学真题2022-2024分类精编精练8反比例函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．（2021·浙江金华·）已知点在反比例函数的图象上．若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江·）如果的压力作用于物体上，产生的压强要大于，则下列关于物体受力面积的说法正确的是（ ）
A．小于 B．大于 C．小于 D．大于
3．（2021·浙江丽水·）一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是（ ）
A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学
4．（2021·浙江杭州·）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是（ ）
A．和
B．和
C．和
D．和
5．（2023·浙江嘉兴·）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江金华·）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则不等式的解是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
7．（2023·浙江宁波·）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，当时，的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2024·浙江·）反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
9．（2021·浙江温州·）如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2023·浙江湖州·）已知在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上．当与的积为负数时，t的取值范围是( )
A．或 B．或
C．或 D．或
二、填空题
11．（2023·浙江温州·）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．
12．（2022·浙江舟山·）如图，在直角坐标系中，的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数（，）的图象上，点B的坐标为，与y轴平行，若，则 ．
13．（2023·浙江绍兴·）如图，在平面直角坐标系中，函数（为大于0的常数，）图象上的两点，满足．的边轴，边轴，若的面积为6，则的面积是 ．
14．（2023·浙江衢州·）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为 ．
15．（2023·浙江绍兴·）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，C为x轴正半轴上一点，将绕点A旋转得到，点C的对应点D恰好落在该函数图象上．若的面积为6，则k的值为 ．
16．（2023·浙江宁波·）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．
三、解答题
17．（2022·浙江台州·）如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离．
18．（2022·浙江金华·）如图，点A在第一象限内，轴于点B，反比例函数的图象分别交于点C，D．已知点C的坐标为．
(1)求k的值及点D的坐标．
(2)已知点P在该反比例函数图象上，且在的内部（包括边界），直接写出点P的横坐标x的取值范围．
19．（2022·浙江温州·）已知反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点．
(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支．
(2)求当，且时自变量x的取值范围．
20．（2023·浙江台州·）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度（单位：）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，．
(1)求h关于的函数解析式．
(2)当密度计悬浮在另一种液体中时，，求该液体的密度．
21．（2023·浙江杭州·）在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是2，点的纵坐标是．
(1)求的值．
(2)过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第二象限交于点；过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，在第四象限交于点．求证：直线经过原点．
22．（2022·浙江宁波·）如图，正比例函数的图像与反比例函数的图像都经过点．
(1)求点A的坐标和反比例函数表达式．
(2)若点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，请根据图像直接写出n的取值范围．
23．（2022·浙江杭州·）设函数，函数（，，b是常数，，）．
(1)若函数和函数的图象交于点，点B(3，1)，
①求函数，的表达式：
②当时，比较与的大小（直接写出结果）．
(2)若点在函数的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，点D恰好落在函数的图象上，求n的值．
24．（2023·浙江衢州·）视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表．
素材1 国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b（mm），在平面直角坐标系中描点如图1．
探究1 检测距离为5米时，归纳n与b的关系式，并求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
素材2 图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角，视力值与分辨视角（分）的对应关系近似满足．
探究2 当时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辨视角的范围．
素材3 如图3，当确定时，在A处用边长为的I号“E”测得的视力与在B处用边长为的Ⅱ号“E”测得的视力相同．
探究3 若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．
参考答案
1．【考点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】根据反比例函数的图象与性质解题．
解：反比例函数图象分布在第二、四象限，
当时，
当时，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．【考点】求反比例函数值、实际问题与反比例函数
【分析】根据压力压强受力面积之间的关系即可求出答案.
解：假设为，
为，
.
，
.
故选：A.
【点评】本题考查的是反比例函数值的取值范围，解题的关键是要知道压力压强受力面积之间的关系以及越大，越小
3．【考点】实际问题与反比例函数
【分析】根据物理知识中的杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，力臂越大，用力越小，即可求解．
解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，
根据题意，∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度，
∴乙同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，属于数学与物理学科的结合题型，立意新颖，掌握物理中的杠杆原理是解答的关键．
4．【考点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据判别式判断一元二次方程根的情况、求反比例函数解析式
【分析】根据题中所给定义及一元二次方程根的判别式可直接进行排除选项．
解：当时，函数值分别为和，若存在实数，使得，
对于A选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以存在实数m，故符合题意；
对于B选项则有，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于C选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
对于D选项则有，化简得：，由一元二次方程根的判别式可得：，所以不存在实数m，故不符合题意；
故选A．
【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式、二次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
5．【考点】比较反比例函数值或自变量的大小
【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．
解：∵，
∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
6．【考点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
解：∵在反比例函数图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
由题意得关于x的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
∴关于x的不等式的解集为或，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，解题的关键是正确求出点B的坐标．
7．【考点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】根据不等式与函数图像的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数上方图像对应的的取值范围，数形结合即可得到答案．
解：由图可知，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为，
当或时，有反比例函数图像在一次函数图像上方，
即当时，的取值范围是或，
故选：B．
【点评】本题考查由函数图像解不等式，熟练掌握不等式与函数图像的关系是解决问题的关键．
8．【考点】判断反比例函数的增减性
【分析】本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，由于反比例函数，可知函数位于一、三象限，分情况讨论，根据反比例函数的增减性判断出与的大小．
解：根据反比例函数，可知函数图象位于一、三象限，且在每个象限中，y都是随着x的增大而减小，
反比例函数的图象上有，两点，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
故选：A．
9．【考点】求反比例函数解析式
【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论．
解：如图，
设OD=m，
∵
∴OC=
∵轴于点，轴于点，
∴四边形BEOD是矩形
∴BD=OE=1
∴B(m，1)
设反比例函数解析式为，
∴k=m×1=m
设AC=n
∵轴
∴A（，n）
∴，解得，n=，即AC=
∵AC=AE
∴AE=
在Rt△AEF中，，
由勾股定理得，
解得，（负值舍去）
∴
故选：B
【点评】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
10．【考点】一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】将交点的横坐标1代入两个函数，令二者函数值相等，得．令，代入两个函数表达式，并分别将点A、B的坐标和点C、D的坐标代入对应函数，进而分别求出与的表达式，代入解不等式并求出t的取值范围即可．
解：∵的图象与反比例函数的图象的两个交点中，有一个交点的横坐标为1，
∴．
令，则，．
将点和点代入，得；
将点和点代入，得．
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
①当时，，
∴不符合要求，应舍去；
②当时，，
∴符合要求；
③当时，，
∴不符合要求，应舍去；
④当时，，
∴符合要求；
⑤当时，，
∴不符合要求，应舍去．
综上，t的取值范围是或．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解不等式是本题的关键．
11．【考点】实际问题与反比例函数
【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解．
解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：，
∴P关于V的函数解析式为，
∴当时，则，
当时，则，
∴压强由加压到，则气体体积压缩了；
故答案为20．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键．
12．【考点】求反比例函数解析式、反比例函数与几何综合
【分析】根据求出A点坐标，再代入即可．
∵点B的坐标为
∴
∵，点C与原点O重合，
∴
∵与y轴平行，
∴A点坐标为
∵A在上
∴，解得
故答案为：．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质；得出A点坐标是解题关键．
13．【考点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】过点作轴于点，轴于点，于点，利用，，得到，结合梯形的面积公式解得，再由三角形面积公式计算，即可解答．
解：如图，过点作轴于点，轴于点，于点，
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数中的几何意义，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
14．【考点】已知比例系数求特殊图形的面积、根据正方形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解．
解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
在正方形中，，
∵Q为的中点，
∴，
∴，
∵Q在反比例函数的图象上，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵P在上，
∴P点纵坐标为，
∵P点在反比例函数的图象上，
∴P点横坐标为，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：24．
【点评】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
15．【考点】反比例函数与几何综合、根据旋转的性质求解、求反比例函数解析式
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，旋转的性质，反比例函数解析式是解题的关键．
设，由，可求，则，由将绕点A旋转得到，可知为的中点，设，则，进而可得，计算求解即可．
解：设，
∵的面积为6，
∴，即，
解得，，
∴，
∵将绕点A旋转得到，
∴为的中点，
设，则，
∵均在函数图象上，
∴，
解得，，
故答案为：8．
16．【考点】反比例函数与几何综合、由平行截线求相关线段的长或比值、坐标与图形
【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可．
解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，
∴，
∵的面积为9，四边形的面积为14，
∴的面积是5，
设，，
∴，，
∴，，，，
∴，，
整理得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，则③，
把③代入②得：，
∴，即④，
把③代入①得：⑤，
把④代入⑤得：；
故答案为：12；9
【点评】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键．
17．【考点】实际问题与反比例函数
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）把代入反比例函数解析式，求出y的值即可．
（1）由题意设，
把，代入，得．
∴关于的函数解析式为．
（2）把代入，得．
∴小孔到蜡烛的距离为．
【点评】本题主要考查了运用待定系数法求函数关系式以及求函数值，能正确掌握待定系数法是解答本题的关键．
18．【考点】坐标与图形、求反比例函数解析式
【分析】（1）由C点坐标可得k，再由D点纵坐标可得D点横坐标；
（2）由C、D两点的横坐标即可求得P点横坐标取值范围；
（1）解：把C（2，2）代入，得，，
∴反比例函数函数为（x＞0），
∵AB⊥x轴，BD=1，
∴D点纵坐标为1，
把代入，得，
∴点D坐标为（4，1）；
（2）解：∵P点在点C（2，2）和点D（4，1）之间，
∴点P的横坐标：；
【点评】本题考查了反比例函数解析式，坐标的特征，数形结合是解题关键．
19．【考点】比较反比例函数值或自变量的大小、求反比例函数解析式
【分析】（1）将图中给出的点代入反比例函数表达式，即可求出解析式，并画出图象；
（2）当时，，解得，结合图象即可得出x的取值范围．
（1）解：（1）把点代入表达式，
得，
∴，
∴反比例函数的表达式是．
反比例函数图象的另一支如图所示．
（2）当时，，解得．
由图象可知，当，且时，
自变量x的取值范围是或．
【点评】本题主要考查的是反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．
20．【考点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数
【分析】（1）由题意可得，设，把，代入解析式，求解即可；
（2）把代入（1）中的解析式，求解即可．
（1）解：设h关于的函数解析式为，
把，代入解析式，得．
∴h关于的函数解析式为．
（2）解：把代入，得．
解得：．
答：该液体的密度为．
【点评】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利用反比例函数的性质进行求解．
21．【考点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求一次函数解析式
【分析】（1）首先将点的横坐标代入求出点A的坐标，然后代入求出，然后将点的纵坐标代入求出，然后代入即可求出；
（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C和点D的坐标，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式，进而求解即可．
（1）∵点的横坐标是2，
∴将代入
∴，
∴将代入得，，
∴，
∵点的纵坐标是，
∴将代入得，，
∴，
∴将代入得，，
∴解得，
∴；
（2）如图所示，
由题意可得，，，
∴设所在直线的表达式为，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴直线经过原点．
【点评】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上考点．
22．【考点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数值
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数关系式可求出a的值，再代入反比例函数关系式确定k的值，进而得出答案；
（2）确定m的取值范围，再根据反比例函数关系式得出n的取值范围即可．
（1）解：把的坐标代入，
，
解得，
∴．
又∵点是反比例函数的图像上，
∴，
∴反比例函数的关系式为；
（2）解：∵点在该反比例函数图像上，且它到y轴距离小于3，
∴或，
当时，，
当时，，
由图像可知，
若点在该反比例函数图像上，且它到 y轴距离小于3，n的取值范围为或．
【点评】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数与一次函数的图像交点坐标，把点的坐标代入相应的函数关系式求出待定系数是求函数关系式的常用方法．
23．【考点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、由平移方式确定点的坐标
【分析】（1）①把点B(3，1)代入，可得；可得到m=3，再把点，点B(3，1)代入，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解；
（2）根据点在函数的图象上，可得，再根据点的平移方式可得点D的坐标为，然后根据点D恰好落在函数的图象上，可得，即可求解．
（1）解：①把点B(3，1)代入，得，
∴．
∵函数的图象过点，
∴，
∴点B(3，1)代入，得：
，解得，
∴．
②根据题意，画出函数图象，如图∶
观察图象得∶当时，函数的图象位于函数的下方，
∴．
（2）解∶∵点在函数的图象上，
∴，
∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，
∴点D的坐标为，
∵点D恰好落在函数的图象上，
∴，
∴，
解得．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象和性质是解题的关键．
24．【考点】实际问题与反比例函数、相似三角形的判定与性质综合
【分析】探究1：由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，由待定系数法可得，将 代入得：；
探究2：由，知在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，故当时，，即可得；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，可得，即可解得答案．
探究
由图象中的点的坐标规律得到与成反比例关系，
设，将其中一点代入得：，
解得：，
，将其余各点一一代入验证，都符合关系式；
将 代入得：；
答：检测距离为5米时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为，视力值1.2所对应行的“”形图边长为；
探究
，
在自变量的取值范围内，随着的增大而减小，
当时，，
，
；
探究3：由素材可知，当某人的视力确定时，其分辨视角也是确定的，由相似三角形性质可得，
由探究1知，
，
解得，
答：检测距离为时，视力值1.2所对应行的“”形图边长为．
【点评】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，函数图象上点坐标的特征，相似三角形的性质等知识，解题的关键是读懂题意，能将生活中的问题转化为数学问题加以解决．
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