2025年河南省鹤壁市高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则在上的投影向量的长度为( )
A. B. C. D.
4.如图，曲线是抛物线：的一部分，且曲线关于轴对称，，则点到的焦点的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象关于直线对称，则( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，，，若该棱柱外接球的表面积为，则侧面绕直线旋转一周所得到的旋转体的体积为( )
A. B. C. D.
7.为了抒写乡村发展故事、展望乡村振兴图景、演绎民众身边日常、唱出百姓幸福心声，某地组织了年“美丽乡村”节目汇演，共有舞蹈、歌曲、戏曲、小品、器乐、非遗展演六个节目，则歌曲和戏曲节目相邻，且歌曲和戏曲都在器乐节目前面演出的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知且，若函数与在区间上都单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.有一组样本数据，，，，其中，由这组数据得到的新样本数据为，，，，则( )
A. 两组数据的极差一定相等 B. 两组数据的平均数一定相等
C. 两组数据的中位数可能相等 D. 两组数据的方差不可能相等
10.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，斜率为且过点的直线交的右支于，两点，在第一象限，且，则( )
A. 点到的渐近线的距离为
B.
C. 的离心率为
D. 分别以，为直径的圆的公共弦长为
11.塌缩函数在神经网络、信号处理和数据压缩等领域经常用到常见的塌缩函数有，，设的值域为，的值域为，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 方程的所有实根之和为
D. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一圆锥的表面积与底面积的比值为，则该圆锥的母线与底面所成的角为______．
13.在中，内角，，的对边分别为，，，若的平分线交于点，且，，，则 ______．
14.记表示不超过的最大整数若正项数列满足，，则数列的前项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等差数列满足，，数列的首项为，且是公比为的等比数列．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ探究的单调性，并求其最值．
16.本小题分
甲、乙两人各进行次射击，甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，假设两人是否击中目标相互之间没有影响．
Ⅰ求甲恰好比乙多击中目标次的概率；
Ⅱ设甲击中目标的次数为，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，证明：；
Ⅱ当时，若函数在区间内有且仅有一个极值点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆：的离心率为，短轴长为．
Ⅰ求的方程．
Ⅱ若上的两点，满足，则称点，为上的一对伴点，设为上位于第一象限的一点，且点的横坐标为．
证明：点在上共有两个伴点；
设中的两个伴点分别为，，若斜率为的动直线与交于点，，点，，，组成四边形，求四边形的面积的最大值．
19.本小题分
球面与过球心的平面的交线叫做大圆，将球面上三点用三条大圆弧连接起来所组成的图形叫做球面三角形，每条大圆弧叫做球面三角形的一条边，两条边所在的半平面构成的二面角叫做球面三角形的一个内角如图，球的半径，，，，为球的球面上的四点．
Ⅰ若球面三角形的三条边长均为，求此球面三角形一个内角的余弦值．
Ⅱ在球的内接三棱锥中，平面，：：：，直线与平面所成的角为．
若，分别为直线，上的动点，求线段长度的最小值；
如图，若，分别为线段，的中点，为线段上一点与点不重合，当平面与平面夹角的余弦值最大时，求线段的长．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
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13.
14.
15.解：等差数列满足，，数列的首项为，且是公比为的等比数列．
Ⅰ设数列的公差为，
由题可得，解得，
所以，
即数列的通项公式为．
Ⅱ因为，，所以，又，
由题知，得到，
所以，当，，时，，当时，，
所以，
故数列先单调递减后单调递增，且数列有最小值，最小值为，无最大值．
16.解：Ⅰ设甲恰好比乙多击中目标次为事件，甲击中目标次且乙击中目标次为事件，甲击中目标次且乙击中目标次为事件，
因为甲每次击中目标的概率是，乙每次击中目标的概率是，
所以，
则甲恰好比乙多击中目标次的概率为；
Ⅱ易知的所有可能取值为，，，，
此时，
，
则的分布列为：
故．
17.解：Ⅰ证明：要证不等式，即证．
当时，，可以考虑证明，
令函数，那么导函数，
易知导函数在上单调递增，且，
那么当时，，单调递增，
当时，导函数，函数单调递减，
所以是函数的极小值点，也是最小值点，
所以当时，，所以，
所以当时，函数．
Ⅱ根据题可知函数，
那么导函数．
如果，当时，，，所以，
那么函数在区间上单调递增，没有极值点，不符合题意，舍去．
如果，设函数，那么导函数在区间上恒成立，
所以函数在区间上单调递增，所以导函数在区间上单调递增，
又，所以在区间上有唯一的零点，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在区间内有唯一的极值点，符合题意．
综上，实数的取值范围是．
18.解：Ⅰ设的半焦距为，
因为的离心率为，短轴长为，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为．
Ⅱ证明：易知，
设点在上的伴点的坐标为，
此时，
即，
所以点在上的伴点在直线上，
联立，
解得或，
所以点在上所有伴点的坐标分别为，
则点在上共有两个伴点；
设，，
因为，两点均在椭圆上，
所以，
两式相减得，
因为，
所以，
所以线段的中点在直线上，
则线段被直线平分，
由知直线的方程为，
设点到直线的距离为，
则四边形的面积，
因为，
所以，
设过点且与直线平行的直线的方程为，
则当与相切时，取得最大值，
联立，消去并整理得，
令，
解得，
则的最大值为直线和直线或的距离，
即，
所以．
故四边形的面积的最大值为．
19.解：Ⅰ因为球面三角形的三条边长均为，
所以球面三角形每条边所对的圆心角均为，所以四面体为正四面体，
取的中点，连接，，
则，，且，
则为二面角的平面角，
由余弦定理可得，
所以此球面三角形一个内角的余弦值为；
Ⅱ因为平面，所以，，
设，则，所以，
由勾股定理的逆定理可得，又，
所以平面，又平面，所以，
因为直线与平面所成的角为，所以，
易知在和中，斜边的中点到点，，，的距离相等，
即为球的直径，所以，
以点为坐标原点，直线，分别为，轴，过点且与平行的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题可知，
则，
设与都垂直的向量为，
则由，，可得
令，则，
所以线段长度的最小值为；
设
由题可知，
则，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得
取，可得，
设平面的一个法向量为，
则由，，可得
取，可得，
设平面与平面的夹角为，
因为
，
令，则
可得，
当且仅当，即时等号成立，此时取得最大值，
故．
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