2025年天津市河西区高考数学质检试卷（一）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图由这两个散点图可以判断( )
A. 变量与正相关，与正相关 B. 变量与正相关，与负相关
C. 变量与负相关，与正相关 D. 变量与负相关，与负相关
4.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.若、，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
7.已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
9.如图，在体积为的正四棱锥中，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则：( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，复数 ______．
11.在的展开式中，项的系数是______．
12.已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为，过点作圆的切线，切点为，则 ______．
13.某体育器材商店经营，，三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为，，，市场占有比例为：：，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为______；若该健身中心从，，三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为______．
14.如图所示，四边形内接于圆，，，则 ______；设，且，则四边形的面积为______．
15.定义函数，，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
Ⅰ求角的大小；
Ⅱ设，．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)求的值．
17.本小题分
如图，平面，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
若平面与平面的夹角余弦值为，求线段的长．
18.本小题分
已知椭圆：的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ过点的直线交椭圆于，两点其中点在轴上方，求与的面积之比的取值范围．
19.本小题分
已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，．
Ⅰ求数列和的通项公式；
Ⅱ已知，求数列的前项和；
Ⅲ当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式．
20.本小题分
已知函数．
若在处的切线方程为，求实数，的值；
证明：当时，在上有两个极值点；
设，若在上是单调减函数为自然对数的底数，求实数的取值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13. ．
14.
15.
16.解：Ⅰ由得．
即，
得，
则，
则．
Ⅱ设，则，
则．
，
．
则，
则．
17.解：证明：，，，，
平面平面，
平面平面，平面；
平面，，，，，．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
设，则，，
平面的法向量，
设平面的法向量，
则，取，得，
平面与平面的夹角余弦值为，
，解得．
线段的长为．
18.
19.
20.解：，，，
切点在直线上，，．
故，．
，
令，问题等价于在上有两个变号零点，，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
，
而，，
在和上各有一个变号零点，即在上有两个极值点．
，，
令，则
令，，，
在上单调递增，，，即在上单调递增．
当时，，
在上是单调减函数，，
令，则恒成立，
在上单调递减，，解得．
当即时，，
由知，
函数在上是单调减函数，
对恒成立，即对恒成立，
令，，
，
在上单调递减，
故，，
又，．
若，，由前知在上单调递增，
，存在唯一的使，此时，
而，，在上不单调，舍去，
综上所述，实数的取值范围为．
第1页，共1页
