2026全国版高考数学一轮
专题十一 统计
11.1 用样本估计总体
五年高考
考点 抽样方法与总体分布的估计
1.(2024新课标Ⅱ,4,5分,易)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 [900, 950) [950, 1 000) [1 000, 1 050) [1 050, 1 100) [1 100, 1 150) [1 150, 1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是 ( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
2.(2022全国甲,2,5分,易)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则 ( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3.(2021全国甲理,2,5分,易)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 ( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
4.(2020课标Ⅲ文,3,5分,易)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为 ( )
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
5.(多选)(2021新高考Ⅱ,9,5分,易)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有 ( )
A.x1,x2,…,xn的标准差
B.x1,x2,…,xn的中位数
C.x1,x2,…,xn的极差
D.x1,x2,…,xn的平均数
6.(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分,易)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 ( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
7.(多选)(2023新课标Ⅰ,9,5分,中)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 ( )
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
8.(2021全国乙,文17,理17,12分,中)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如表:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 ,样本方差分别记为.
(1)求,,,;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
9.(2023全国乙理,17,12分,难)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高.
10.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
11.(2023新课标Ⅱ,19,12分,难)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
三年模拟
基础强化练
1.(2024河南名校高考模拟,1)已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩(单位:分)为72,78,80,81,83,86,88,90,则这组数据的第75百分位数是 ( )
A.86 B.87 C.88 D.90
2.(2024重庆第二次质量检测,4)一组数据按从小到大的顺序排列为2,4,m,13,16,17,若该组数据的中位数是极差的,则该组数据的第40百分位数是 ( )
A.4 B.4.5 C.5 D.9
3.(2024山西部分学校月考,6)已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差为s2=-9,则另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
4.(2025届云南昆明一中第二次联考)从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本,将该样本进行某项质量指标值测量,下图是测量结果x的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,则在下列选项中,关于该样本统计量的叙述不正确的选项是( )
A.质量指标值在区间[195,205)的产品约有33件
B.质量指标值的极差在50与70之间
C.质量指标值的第60百分位数大于205
D.质量指标值的方差的估计值是150
5.(多选)(2025届广东部分学校大联考,9)降雨量是指从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,一般以毫米为单位.降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少,它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响.如图,这是A,B两地某年上半年每月降雨量的折线统计图.
下列结论正确的是 ( )
A.这年上半年A地平均月降雨量比B地平均月降雨量大
B.这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大
C.这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大
D.这年上半年A地月降雨量的80%分位数比B地月降雨量的80%分位数大
6.(多选)(2025届重庆名校联盟第一次联考,10)甲、乙两支田径队的体检结果为:甲队体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队体重的平均数为70 kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两队全部队员的平均体重是68 kg
B.甲、乙两队全部队员的平均体重是65 kg
C.甲、乙两队全部队员体重的方差是296
D.甲、乙两队全部队员体重的方差是306
能力拔高练
1.(2024上海虹口期末,14)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,其对应关系如下表:
空气质 量指数 (AQI) 0~ 50 51~ 100 101~ 150 151~ 200 201~ 300 >300
空气 质量 优 良 轻度 污染 中度 污染 重度 污染 严重 污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响,某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI的数据并绘成折线图如下:
下列叙述正确的是 ( )
A.这20天中AQI的中位数略大于150
B.10月4日到10月11日,空气质量越来越好
C.这20天中的空气质量为优的天数占25%
D.10月上旬AQI的极差大于中旬AQI的极差
2.(多选)(2025届甘肃高考模拟,9)已知一组数据x1,x2,…,x10是公差为2的等差数列,若去掉首末两项,则 ( )
A.平均数变大 B.中位数不变
C.方差变小 D.极差变小
3.(多选)(2024重庆渝中期中,9)在某市高三年级举行的一次模拟考试中,某学科共有20 000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况,从中随机抽取了100名学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,并按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示(同一组中数据用该组区间中点值代表).则下列说法正确的是 ( )
A.样本的众数为70
B.样本的80%分位数为78.5
C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D.该市参加测试的学生中低于60分的学生大约有320人
4.(多选)(2025届浙江杭州开学考,9)有一组互不相等的样本数据x1,x2,…,x6,平均数为,若随机删去其中一个数据,得到一组新数据,记为y1,y2,…,y5,平均数为,则 ( )
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C.若,则新数据的方差一定大于原数据方差
D.若,则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数
5.(2025届福建漳州第一次质检,14)2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下:
①本题共3小题,每小题6分,共18分;
②每小题四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对的得6分,有选错或不选的得0分;
③部分选对的得部分分.考生甲在此卷多选题的作答中,第一小题选了三个选项,第二小题选了两个选项,第三小题选了一个选项,则他多选题的所有可能总得分(相同总分只记录一次)的第80百分位数为 .
6.(2025届湖南衡阳四中月考,18)2023年,某地为了帮助中小微企业渡过难关,给予企业一定的专项贷款资金支持.该地120家中小微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图如图.
(1)确定a的值,并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数(结果保留整数).
(2)按专项贷款金额进行分层随机抽样,从这120家中小微企业中随机抽取20家,记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m.
①求m的值;
②从这m家中小微企业中随机抽取3家,求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率.
7.(2025届重庆八中月考,18)某企业生产的产品的质量指标值为M(M∈[70,100]),其质量指标等级划分如表:
质量指标值M [70,75) [75,90) [90,100]
质量指标等级 废品 合格 废品
为了解该产品的经济效益,该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件,将其质量指标值M的数据作为样本,绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87,求a,b,c的值;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)若每件产品的质量指标值M与利润y(单位:万元)的关系如表:
质量指标值M [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 100]
利润y/万元 - 2x -
以频率作为概率,期望作为决策依据,若c=0.01,对任意的x∈,生产该产品一定能盈利,求a的取值范围.
专题十一 统计
11.1 用样本估计总体
五年高考
考点 抽样方法与总体分布的估计
1.(2024新课标Ⅱ,4,5分,易)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理得下表:
亩产量 [900, 950) [950, 1 000) [1 000, 1 050) [1 050, 1 100) [1 100, 1 150) [1 150, 1 200)
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是 ( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
答案 C
2.(2022全国甲,2,5分,易)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图:
则 ( )
A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案 B
3.(2021全国甲理,2,5分,易)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 ( )
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案 C
4.(2020课标Ⅲ文,3,5分,易)设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为 ( )
A.0.01 B.0.1 C.1 D.10
答案 C
5.(多选)(2021新高考Ⅱ,9,5分,易)下列统计量中可用于度量样本x1,x2,…,xn离散程度的有 ( )
A.x1,x2,…,xn的标准差
B.x1,x2,…,xn的中位数
C.x1,x2,…,xn的极差
D.x1,x2,…,xn的平均数
答案 AC
6.(多选)(2021新高考Ⅰ,9,5分,易)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 ( )
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
答案 CD
7.(多选)(2023新课标Ⅰ,9,5分,中)有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 ( )
A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数
B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数
C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差
D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差
答案 BD
8.(2021全国乙,文17,理17,12分,中)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如表:
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 ,样本方差分别记为.
(1)求,,,;
(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高.
解析 (1)(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0.
(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3.
[(9.8-10.0)2+(10.3-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.9-10.0)2+(9.8-10.0)2+(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+(10.2-10.0)2+(9.7-10.0)2]=0.036.
[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04.
(2)由(1)得=0.3,=0.076,
从而()2=0.09,()=0.030 4.
所以()2>,又,故,
因此新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
9.(2023全国乙理,17,12分,难)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下:
试验 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩 率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩 率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2.
(1)求,s2;
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高.
解析 (1)zi=xi-yi(i=1,2,…,10)依次为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,则×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,
s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61.
(2)由(1)知=11,s2=61,则>0,
∴,即甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
10.(2022新高考Ⅱ,19,12分,中)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率,精确到0.000 1).
解析 (1)平均年龄为(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×
0.002)×10=47.9(岁).
(2)设事件A为“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)”,P(A)=(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率为0.89.
(3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由条件概率公式可得
P(C|B)==0.001 437 5≈0.001 4.
11.(2023新课标Ⅱ,19,12分,难)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);
(2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.
解析 (1)由题意知(c-95)×0.002=0.5%, (1分)
得c=97.5, (2分)
q(c)=0.01×2.5+5×0.002=0.035=3.5%. (4分)
(2)当c∈[95,100]时,
f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02. (7分)
当c∈(100,105]时, f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.
∴f(c)= (9分)
由于f(c)在区间[95,100]单调递减,在区间(100,105]单调递增,(该理由一定要写,不写扣分)(10分)
∴f(c)min=f(100)=0.02. (12分)
三年模拟
基础强化练
1.(2024河南名校高考模拟,1)已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩(单位:分)为72,78,80,81,83,86,88,90,则这组数据的第75百分位数是 ( )
A.86 B.87 C.88 D.90
答案 B
2.(2024重庆第二次质量检测,4)一组数据按从小到大的顺序排列为2,4,m,13,16,17,若该组数据的中位数是极差的,则该组数据的第40百分位数是 ( )
A.4 B.4.5 C.5 D.9
答案 C
3.(2024山西部分学校月考,6)已知一组正数x1,x2,x3,x4,x5的方差为s2=-9,则另一组数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,2x4-1,2x5-1的平均数为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 B
4.(2025届云南昆明一中第二次联考)从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本,将该样本进行某项质量指标值测量,下图是测量结果x的频率分布直方图.若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表,则在下列选项中,关于该样本统计量的叙述不正确的选项是( )
A.质量指标值在区间[195,205)的产品约有33件
B.质量指标值的极差在50与70之间
C.质量指标值的第60百分位数大于205
D.质量指标值的方差的估计值是150
答案 C
5.(多选)(2025届广东部分学校大联考,9)降雨量是指从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,一般以毫米为单位.降雨量可以直观地反映一个地区某一时间段内降水的多少,它对农业生产、水利工程、城市排水等有着重要的影响.如图,这是A,B两地某年上半年每月降雨量的折线统计图.
下列结论正确的是 ( )
A.这年上半年A地平均月降雨量比B地平均月降雨量大
B.这年上半年A地月降雨量的中位数比B地月降雨量的中位数大
C.这年上半年A地月降雨量的极差比B地月降雨量的极差大
D.这年上半年A地月降雨量的80%分位数比B地月降雨量的80%分位数大
答案 ACD
6.(多选)(2025届重庆名校联盟第一次联考,10)甲、乙两支田径队的体检结果为:甲队体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队体重的平均数为70 kg,方差为300,又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,则下列说法正确的是( )
A.甲、乙两队全部队员的平均体重是68 kg
B.甲、乙两队全部队员的平均体重是65 kg
C.甲、乙两队全部队员体重的方差是296
D.甲、乙两队全部队员体重的方差是306
答案 AC
能力拔高练
1.(2024上海虹口期末,14)空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,其对应关系如下表:
空气质 量指数 (AQI) 0~ 50 51~ 100 101~ 150 151~ 200 201~ 300 >300
空气 质量 优 良 轻度 污染 中度 污染 重度 污染 严重 污染
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响,某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日AQI的数据并绘成折线图如下:
下列叙述正确的是 ( )
A.这20天中AQI的中位数略大于150
B.10月4日到10月11日,空气质量越来越好
C.这20天中的空气质量为优的天数占25%
D.10月上旬AQI的极差大于中旬AQI的极差
答案 C
2.(多选)(2025届甘肃高考模拟,9)已知一组数据x1,x2,…,x10是公差为2的等差数列,若去掉首末两项,则 ( )
A.平均数变大 B.中位数不变
C.方差变小 D.极差变小
答案 BCD
3.(多选)(2024重庆渝中期中,9)在某市高三年级举行的一次模拟考试中,某学科共有20 000人参加考试.为了了解本次考试学生成绩情况,从中随机抽取了100名学生的成绩(成绩均为正整数,满分为100分)作为样本进行统计,并按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示(同一组中数据用该组区间中点值代表).则下列说法正确的是 ( )
A.样本的众数为70
B.样本的80%分位数为78.5
C.估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D.该市参加测试的学生中低于60分的学生大约有320人
答案 BC
4.(多选)(2025届浙江杭州开学考,9)有一组互不相等的样本数据x1,x2,…,x6,平均数为,若随机删去其中一个数据,得到一组新数据,记为y1,y2,…,y5,平均数为,则 ( )
A.新数据的极差可能等于原数据的极差
B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C.若,则新数据的方差一定大于原数据方差
D.若,则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数
答案 AC
5.(2025届福建漳州第一次质检,14)2024年新高考数学Ⅰ卷多选题的计分标准如下:
①本题共3小题,每小题6分,共18分;
②每小题四个选项中有两个或三个正确选项,全部选对的得6分,有选错或不选的得0分;
③部分选对的得部分分.考生甲在此卷多选题的作答中,第一小题选了三个选项,第二小题选了两个选项,第三小题选了一个选项,则他多选题的所有可能总得分(相同总分只记录一次)的第80百分位数为 .
答案 13
6.(2025届湖南衡阳四中月考,18)2023年,某地为了帮助中小微企业渡过难关,给予企业一定的专项贷款资金支持.该地120家中小微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图如图.
(1)确定a的值,并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数(结果保留整数).
(2)按专项贷款金额进行分层随机抽样,从这120家中小微企业中随机抽取20家,记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m.
①求m的值;
②从这m家中小微企业中随机抽取3家,求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率.
解析 (1)根据频率分布直方图所有小矩形面积之和为1得
(0.002+0.003+a+0.006+a+0.001)×50=1,解得a=0.004,
设中位数为t,专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45,
在[0,200)内的频率为0.75,所以t在[150,200)内,
则(t-150)×0.006=0.5-0.45,解得t≈158,所以估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元.
(2)①由题意,知抽样比为,
专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业共有120×(0.004+0.001)×50=30家,
所以专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业有30×=5家,即m=5.
②专项贷款金额在[200,250)内和在[250,300]内的频率之比为4∶1,故在抽取的5家中小微企业中,专项贷款金额在[200,250)内的有5×=4家,分别记为A,B,C,D,
专项贷款金额在[250,300]内的有5×=1家,记为E,
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,共10种,
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况有ABC,ABD,ACD,BCD,共4种,
所以所求概率为P=.
7.(2025届重庆八中月考,18)某企业生产的产品的质量指标值为M(M∈[70,100]),其质量指标等级划分如表:
质量指标值M [70,75) [75,90) [90,100]
质量指标等级 废品 合格 废品
为了解该产品的经济效益,该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1 000件,将其质量指标值M的数据作为样本,绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)若样本数据中质量指标值的中位数和平均值分别为87.5和87,求a,b,c的值;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)若每件产品的质量指标值M与利润y(单位:万元)的关系如表:
质量指标值M [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 100]
利润y/万元 - 2x -
以频率作为概率,期望作为决策依据,若c=0.01,对任意的x∈,生产该产品一定能盈利,求a的取值范围.
解析 (1)由中位数为87.5,得5(c+0.02+a)+2.5b=2.5b+5×(0.04+0.02)=0.5,则
由平均值为87,得5c×72.5+0.1×77.5+5a×82.5+5b×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87,则72.5c+82.5a=3.2,解得c=0.01,a=0.03,
所以a=0.03,b=0.08,c=0.01.
(2)以频率作为概率,每件产品的质量指标值M与利润y(单位:万元)及对应概率关系为
质量指标值M [70, 75) [75, 80) [80, 85) [85, 90) [90, 100]
利润y/万元 - 2x -
P 0.05 0.1 5a 5b 0.3
依题意,5a+5b=1-0.05-0.1-0.3,即b=0.11-a,
每件产品的利润y=-+(9a+0.11)x,x∈,
由对任意的x∈,生产该产品一定能盈利,得 x∈,y>0恒成立,
y>0 cos x-1+(9a+0.11)x2>0,
令f(x)=cos x-1+(9a+0.11)x2,x∈,
求导得f '(x)=-sin x+2(9a+0.11)x,
令g(x)=-sin x+2(9a+0.11)x,x∈,
求导得g'(x)=-cos x+2(9a+0.11),而0
f '(x)>f '(0)=0,函数f(x)在上单调递增,f(x)>f(0)=0,符合题意;
当0<2(9a+0.11)<1时,存在x0∈,使得g'(x0)=0,
由g'(x)在上单调递增,得当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,函数f '(x)在(0,x0)上单调递减,
当x∈(0,x0)时,f '(x)
所以a的取值范围是.
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