2026全国版高考数学一轮
专题九 计数原理
9.1 计数原理、排列与组合
高考新风向·创新考法思维引导 回归本质
(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有 种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是 . 创新点 本题以4×4方格为背景进行命制,考查科学分步的逻辑思维能力,以及对实际问题进行表征分析和提炼数量关系的数学建模素养,需要用分步乘法计数原理将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”,先分析每个步骤,再组合为一个完整的过程,常用的排列组合的方法对本题不适用,学习过程中要注意掌握原理的本质.
五年高考
考点1 两个计数原理
1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 ( )
A.种
C.种
2.(2023全国乙理,7,5分,中)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种 B.60种
C.120种 D.240种
(2023新课标Ⅰ,13,5分,易)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
考点2 排列与组合
1.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
2.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 ( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
3.(2023全国甲理,9,5分,中)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
4.(2021全国乙理,6,5分,中)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 ( )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
5.(2020课标Ⅱ理,14,5分,易)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有 种.
6.(2024上海,10,5分,中)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为 .
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江苏南京六校联合调研,3)甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为 ( )
A.6 B.12 C.18 D.24
2.(2025届浙江名校联考,5)将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧,要求每一侧种植3棵,且每一侧中间的景观树都要比两边的高,则不同的种植方法共有 ( )
A.20种 B.40种 C.80种 D.160种
3.(2025届广东深圳中学调研,2)某高校要求学生除了学习第二语言英语,还要求同时进修第三语言和第四语言,其中第三语言可从A类语言:日语,韩语,越南语,柬埔寨语中任选一个,第四语言可从E类语言:法语,德语,俄语,西班牙语,意大利语中任选一个,则学生可选取的语言组合数为 ( )
A.20 B.25 C.30 D.35
4.(2025届四川成都名校联考,7)某高中运动会设有8个项目,甲、乙两名学生每人随机选取3个项目,则至少选中2个相同项目的报名情况有( )
A.420种 B.840种 C.476种 D.896种
5.(2025届山西大同调研,5)五一小长假期间,某旅游公司为助力大同旅游事业的发展,计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务,要求每个景区都要有银牌导游前往,则不同的分配方法种数为 ( )
A.360 B.640 C.1 350 D.1 440
6.(2025届四川眉山仁寿一中月考,5)下列命题不正确的是 ( )
A.正十二边形的对角线的条数是54
B.身高各不相同的六位同学,其中三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有120种站法
C.有5个元素的集合的子集共有32个
D.6名同学被邀请参加晚会(至少一人参加),其中甲和乙两位同学要么都去,要么都不去,共有32种情况
7.(多选)(2025届广东六校第二次联考,9)现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,且每人只安排一个工作,则下列说法正确的是 ( )
A.不同安排方案的种数为54
B.若每项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为
C.若司机工作不安排,其余三项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为()
D.若每项工作至少有1人参加,甲不能从事司机工作,则不同安排方案的种数为
8.(2025届江苏无锡玉祁高中月考,14)随着杭州亚运会的举办,吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”“莲莲”“宸宸”站成一排拍照留念,则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .(用数字作答)
能力拔高练
1.(2024安徽池州期中,5)我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图如图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案种数为 ( )
A.120 B.26 C.340 D.420
2.(2025届广东深圳中学开学考,5)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己),由丙开始传,经过5次传递后,球又被传回给丙,则不同的传球方式共有 ( )
A.6种 B.10种 C.11种 D.12种
3.(2025届江西上饶检测,7)将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i项为ai(i=1,2,…,7),若a1
4.(2025届河南南阳二中月考,7)用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,且红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为 ( )
A.25 B.630 C.605 D.580
5.(2025届浙江杭州十四中月考,7)现有三对双胞胎共6人排成一排,则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是 ( )
A.180 B.240 C.288 D.300
6.(2025届广东九校9月模拟,4)为了协调城乡教育资源的平衡,政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教(每所学校至少安排一名教师).受某些因素影响,甲、乙教师不被安排在同一所学校,丙教师不去往希望中学,则不同的分配方法有 ( )
A.144种 B.260种 C.320种 D.540种
创新风向练
1.(创新考法)(2025届重庆开学考,14)有一个4行4列的表格,在每一个格中分别填入数字0或1,使得4行中所填数字之和恰好是1,2,3,4各一个,4列中所填数字之和恰好也是1,2,3,4各一个(如图为其中一种填法),则符合要求的不同填法共有 种.
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
2.(创新情境)(2025届湖南雅礼中学月考,14)小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子(黑球数少于白球数)轮流取球,规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗(至少取1颗),或者在两个盒子中取出相同颗数的球(至少各取1颗),最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球,且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球,对小军说:“你输了!”若已知小方有必胜策略,则黑盒中球数为 .
3.(多想少算)(2025届湖南长沙长郡中学第一次调研,14)清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”(以比利时数学家欧仁·查理·卡特兰的名字命名).有如下问题:在n×n的格子中,从左下角出发走到右上角,每一步只能往上或往右走一格,且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方(不能穿过,但可以到达该连线),则共有多少种不同的走法 此问题的结果即卡特兰数.如图,现有3×4的格子,每一步只能往上或往右走一格,则从左下角A走到右上角B共有 种不同的走法;若要求从左下角A走到右上角B的过程中只能在直线AC的右下方,但可以到达直线AC,则有 种不同的走法.
专题九 计数原理
9.1 计数原理、排列与组合
高考新风向·创新考法思维引导 回归本质
(2024新课标Ⅱ,14,5分,难)在下图的4×4的方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有 种选法.在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4个数之和的最大值是 . 创新点 本题以4×4方格为背景进行命制,考查科学分步的逻辑思维能力,以及对实际问题进行表征分析和提炼数量关系的数学建模素养,需要用分步乘法计数原理将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”,先分析每个步骤,再组合为一个完整的过程,常用的排列组合的方法对本题不适用,学习过程中要注意掌握原理的本质. 答案 24;112
五年高考
考点1 两个计数原理
1.(2023新课标Ⅱ,3,5分,易)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则不同的抽样结果共有 ( )
A.种
C.种
答案 D
2.(2023全国乙理,7,5分,中)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A.30种 B.60种
C.120种 D.240种
答案 C
(2023新课标Ⅰ,13,5分,易)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
答案 64
考点2 排列与组合
1.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( )
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
答案 B
2.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 ( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
答案 C
3.(2023全国甲理,9,5分,中)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120种 B.60种 C.30种 D.20种
答案 B
4.(2021全国乙理,6,5分,中)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 ( )
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
答案 C
5.(2020课标Ⅱ理,14,5分,易)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有 种.
答案 36
6.(2024上海,10,5分,中)设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数,且元素中任意两者之积皆为偶数,则集合中元素个数的最大值为 .
答案 329
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江苏南京六校联合调研,3)甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为 ( )
A.6 B.12 C.18 D.24
答案 A
2.(2025届浙江名校联考,5)将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧,要求每一侧种植3棵,且每一侧中间的景观树都要比两边的高,则不同的种植方法共有 ( )
A.20种 B.40种 C.80种 D.160种
答案 C
3.(2025届广东深圳中学调研,2)某高校要求学生除了学习第二语言英语,还要求同时进修第三语言和第四语言,其中第三语言可从A类语言:日语,韩语,越南语,柬埔寨语中任选一个,第四语言可从E类语言:法语,德语,俄语,西班牙语,意大利语中任选一个,则学生可选取的语言组合数为 ( )
A.20 B.25 C.30 D.35
答案 A
4.(2025届四川成都名校联考,7)某高中运动会设有8个项目,甲、乙两名学生每人随机选取3个项目,则至少选中2个相同项目的报名情况有( )
A.420种 B.840种 C.476种 D.896种
答案 D
5.(2025届山西大同调研,5)五一小长假期间,某旅游公司为助力大同旅游事业的发展,计划将2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟、古城华严寺、北岳恒山三个景区承担义务讲解任务,要求每个景区都要有银牌导游前往,则不同的分配方法种数为 ( )
A.360 B.640 C.1 350 D.1 440
答案 C
6.(2025届四川眉山仁寿一中月考,5)下列命题不正确的是 ( )
A.正十二边形的对角线的条数是54
B.身高各不相同的六位同学,其中三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站,共有120种站法
C.有5个元素的集合的子集共有32个
D.6名同学被邀请参加晚会(至少一人参加),其中甲和乙两位同学要么都去,要么都不去,共有32种情况
答案 D
7.(多选)(2025届广东六校第二次联考,9)现安排甲、乙、丙、丁、戊这5名同学参加志愿者服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,且每人只安排一个工作,则下列说法正确的是 ( )
A.不同安排方案的种数为54
B.若每项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为
C.若司机工作不安排,其余三项工作至少有1人参加,则不同安排方案的种数为()
D.若每项工作至少有1人参加,甲不能从事司机工作,则不同安排方案的种数为
答案 BD
8.(2025届江苏无锡玉祁高中月考,14)随着杭州亚运会的举办,吉祥物“琮琮”“莲莲”“宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”“莲莲”“宸宸”站成一排拍照留念,则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为 .(用数字作答)
答案 144
能力拔高练
1.(2024安徽池州期中,5)我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图如图,现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域颜色不相同,则不同的涂色方案种数为 ( )
A.120 B.26 C.340 D.420
答案 D
2.(2025届广东深圳中学开学考,5)三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练(不能传给自己),由丙开始传,经过5次传递后,球又被传回给丙,则不同的传球方式共有 ( )
A.6种 B.10种 C.11种 D.12种
答案 B
3.(2025届江西上饶检测,7)将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列,记第i项为ai(i=1,2,…,7),若a1
答案 B
4.(2025届河南南阳二中月考,7)用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,且红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为 ( )
A.25 B.630 C.605 D.580
答案 B
5.(2025届浙江杭州十四中月考,7)现有三对双胞胎共6人排成一排,则有且只有一对双胞胎相邻的排法种数是 ( )
A.180 B.240 C.288 D.300
答案 C
6.(2025届广东九校9月模拟,4)为了协调城乡教育资源的平衡,政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教(每所学校至少安排一名教师).受某些因素影响,甲、乙教师不被安排在同一所学校,丙教师不去往希望中学,则不同的分配方法有 ( )
A.144种 B.260种 C.320种 D.540种
答案 B
创新风向练
1.(创新考法)(2025届重庆开学考,14)有一个4行4列的表格,在每一个格中分别填入数字0或1,使得4行中所填数字之和恰好是1,2,3,4各一个,4列中所填数字之和恰好也是1,2,3,4各一个(如图为其中一种填法),则符合要求的不同填法共有 种.
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1
答案 576
2.(创新情境)(2025届湖南雅礼中学月考,14)小军和小方两人先后在装有若干黑球的黑盒子与装有若干白球的白盒子(黑球数少于白球数)轮流取球,规定每次取球可以从某一盒子中取出任意多颗(至少取1颗),或者在两个盒子中取出相同颗数的球(至少各取1颗),最后不能按规则取的人输.已知两盒中共有11个球,且两人掷硬币后决定由小军先手取球.小方看了眼黑盒中的球,对小军说:“你输了!”若已知小方有必胜策略,则黑盒中球数为 .
答案 4
3.(多想少算)(2025届湖南长沙长郡中学第一次调研,14)清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”(以比利时数学家欧仁·查理·卡特兰的名字命名).有如下问题:在n×n的格子中,从左下角出发走到右上角,每一步只能往上或往右走一格,且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方(不能穿过,但可以到达该连线),则共有多少种不同的走法 此问题的结果即卡特兰数.如图,现有3×4的格子,每一步只能往上或往右走一格,则从左下角A走到右上角B共有 种不同的走法;若要求从左下角A走到右上角B的过程中只能在直线AC的右下方,但可以到达直线AC,则有 种不同的走法.
答案 35;14
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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