2026全国版高考数学一轮
专题十 概率
10.1 随机事件、古典概型与条件概率
高考新风向·创新情境思维引导 回归本质
(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 . 创新点 试题主要考查古典概型的概率.学生首先认识到,两人各自随机选卡片时甲得分的分布列与其中一人固定选卡片的顺序,另一人随机选卡片时甲得分的分布列完全相同,从而将问题转化为讨论4!=24种情况中有多少种情况能使得甲的总得分不小于2.
五年高考
考点1 随机事件的概率
1.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 ( )
A.
C.
2.(2021全国甲理,10,5分,中)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为 ( )
A.
3.(2022全国乙,文14,理13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .
考点2 古典概型
1.(2024全国甲文,4,5分,易)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加,每人出场一次,出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是 ( )
A.
2.(2023全国甲文,4,5分,易)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( )
A.
3.(2022全国甲文,6,5分,中)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ( )
A.
C.
4.(2022全国甲理,15,5分,中)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为 .
5.(2024全国甲理,16,5分,难)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率为 .
考点3 事件的相互独立性
1.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 ( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
考点4 条件概率与全概率公式
1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 ( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
2.(2024天津,13,5分,中)某校组织学生参加农业实践活动,期间安排了劳动技能比赛,比赛共5个项目,分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建,规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同,则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ;已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 .
3.(2022新高考Ⅰ,20,12分,中)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(i)证明:R=;
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江苏前黄中学检测,2)从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,有如下的一些事件:①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球,其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A.③ B.①③ C.②③ D.①②
2.(2025届重庆一中期中,4)孪生素数是指相差为2的素数对,例如3和5,5和7等.从不超过20的素数中随机抽取2个,则这2个数是孪生素数的概率为 ( )
A.
3.(2024山东济南一模,3)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为 ( )
A.
4.(2025届广东广州调研,6)学校举办运动会,高三(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈,则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为( )
A.
5.(2024安徽合肥二模,4)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛,采用7局4胜制(先胜4局者胜,比赛结束),已知每局比赛甲获胜的概率均为,则甲以4比2获胜的概率为( )
A.
6.(2025届广东湛江期中,7)已知某条线路上有A,B两辆相邻班次的BRT(快速公交车),若A准点到站的概率为,在B准点到站的前提下A准点到站的概率为,在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为,则B准点到站的概率为 ( )
A.
7.(2024河北唐山一模,5)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形,则能构成正三角形的概率为 ( )
A.
8.(2024浙江温州三模,3)设A,B为同一试验中的两个随机事件,则“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B互为对立事件”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.(2024东北三省四市联考质量检测二,6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,下图就是一重卦,在所有重卦中随机取一重卦,记事件A=“取出的重卦中至少有1个阴爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则P(B|A)= ( )
A.
10.(2024河南郑州二模,6)在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下,乙达到优秀等级的概率为 ( )
A.
11.(多选)(2025届湖北部分重点高中联考,9)已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=,P(B)=,则下列说法正确的是 ( )
A.若A与B互斥,则P(A+B)=
B.若A与B相互独立,则P(A+B)=
C.若P(A)=,则A与B相互独立
D.若B发生时A一定发生,则P(AB)=
能力拔高练
1.(2024广东湛江一模,8)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”,则( )
A.事件M与事件N相互独立
B.事件X与事件Y相互独立
C.事件M与事件Y相互独立
D.事件N与事件Y相互独立
2.(2025届安徽江南十校检测,7)某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛,现采用抽签法决定决赛跳水顺序,在“运动员甲不是第一个出场,运动员乙不是最后一个出场”的前提下,“运动员丙第一个出场”的概率为 ( )
A.
3.(2025届安徽江淮十校第一次大联考,13)现有4个相同的袋子,里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球,第k(k=1,2,3,4)个袋中有k个红球,4-k个白球.现将这4个袋子混合后,任选其中一个袋子,并且连续取出三个球(每次取后不放回),则第三次取出的球为白球的概率为 .
4.(2024山东枣庄模拟,14)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为 .
5.(2025届湖南部分学校联考,15)某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶,且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9,0.8,0.7.
(1)若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶场占有量的比例为4∶4∶2,小张到该批发地任意购买一盒红茶,求他买到的红茶是优质品的概率;
(2)若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶,求他恰好买到两盒优质红茶的概率.
6.(2025届广东东莞月考,17)近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.如图,假设有四支队伍进入到半决赛,淘汰赛制下,将四支队伍两两分组比赛,胜者进入到总决赛,胜者即为冠军;双败赛制下,两两分组比赛,胜者进入到胜者组,败者进入到败者组,胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛,败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰,胜者将跟胜者组的败者对决,其中的胜者进入总决赛,胜者即为冠军.双败赛制下有意思的事情是,在胜者组中的胜者只要输一场比赛(即总决赛)就无法拿到冠军,但是其他的队伍却有一次失败的机会,近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数,因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平,是否真的如此呢
假设四支队伍分别为A、B、C、D,其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组,CD同组.
(1)若p=,在淘汰赛制下,A、C获得冠军的概率分别为多少
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用p表示);
(3)根据第(2)问的结果分析双败赛制下,是否如很多人质疑的“对强者不公平”.
专题十 概率
10.1 随机事件、古典概型与条件概率
高考新风向·创新情境思维引导 回归本质
(2024新课标Ⅰ,14,5分,难)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1分,数字小的人得0分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2的概率为 . 创新点 试题主要考查古典概型的概率.学生首先认识到,两人各自随机选卡片时甲得分的分布列与其中一人固定选卡片的顺序,另一人随机选卡片时甲得分的分布列完全相同,从而将问题转化为讨论4!=24种情况中有多少种情况能使得甲的总得分不小于2. 答案
五年高考
考点1 随机事件的概率
1.(2022新高考Ⅰ,5,5分,易)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数,则这2个数互质的概率为 ( )
A.
C.
答案 D
2.(2021全国甲理,10,5分,中)将4个1和2个0随机排成一行,则2个0不相邻的概率为 ( )
A.
答案 C
3.(2022全国乙,文14,理13,5分,易)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为 .
答案
考点2 古典概型
1.(2024全国甲文,4,5分,易)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加,每人出场一次,出场次序由随机抽签确定.则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是 ( )
A.
答案 C
2.(2023全国甲文,4,5分,易)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( )
A.
答案 D
3.(2022全国甲文,6,5分,中)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为 ( )
A.
C.
答案 C
4.(2022全国甲理,15,5分,中)从正方体的8个顶点中任选4个,则这4个点在同一个平面的概率为 .
答案
5.(2024全国甲理,16,5分,难)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率为 .
答案
考点3 事件的相互独立性
1.(2021新高考Ⅰ,8,5分,中)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 ( )
A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立
答案 B
2.(2022全国乙理,10,5分,中)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘,各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3,且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p,则 ( )
A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B.该棋手在第二盘与甲比赛,p最大
C.该棋手在第二盘与乙比赛,p最大
D.该棋手在第二盘与丙比赛,p最大
答案 D
考点4 条件概率与全概率公式
1.(2023全国甲理,6,5分,中)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 ( )
A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4
答案 A
2.(2024天津,13,5分,中)某校组织学生参加农业实践活动,期间安排了劳动技能比赛,比赛共5个项目,分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建,规定每人参加其中3个项目.假设每人参加每个项目的可能性相同,则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ;已知乙同学参加的3个项目中有“整地做畦”,则他还参加“田间灌溉”项目的概率为 .
答案 ;
3.(2022新高考Ⅰ,20,12分,中)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异
(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”,的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.
(i)证明:R=;
(ii)利用该调查数据,给出P(A|B),P(A|)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估计值.
附:K2=,
P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
.
解析 (1)由题中数据可知K2==24>6.635,所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
(2)(i)证明:因为R=,
且,
所以R=.
(ii)由题表中数据可知P(A|B)=,P(A|)=,P(|B)=,P()=,
所以R==6.
三年模拟
基础强化练
1.(2025届江苏前黄中学检测,2)从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,有如下的一些事件:①两球都不是白球;②两球恰有一个白球;③两球至少有一个白球,其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( )
A.③ B.①③ C.②③ D.①②
答案 D
2.(2025届重庆一中期中,4)孪生素数是指相差为2的素数对,例如3和5,5和7等.从不超过20的素数中随机抽取2个,则这2个数是孪生素数的概率为 ( )
A.
答案 A
3.(2024山东济南一模,3)某公司现有员工120人,在荣获“优秀员工”称号的85人中,有75人是高级工程师.既没有荣获“优秀员工”称号又不是高级工程师的员工共有14人,公司将随机选择一名员工接受电视新闻节目的采访,被选中的员工是高级工程师的概率为 ( )
A.
答案 C
4.(2025届广东广州调研,6)学校举办运动会,高三(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈,则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为( )
A.
答案 A
5.(2024安徽合肥二模,4)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛,采用7局4胜制(先胜4局者胜,比赛结束),已知每局比赛甲获胜的概率均为,则甲以4比2获胜的概率为( )
A.
答案 C
6.(2025届广东湛江期中,7)已知某条线路上有A,B两辆相邻班次的BRT(快速公交车),若A准点到站的概率为,在B准点到站的前提下A准点到站的概率为,在A准点到站的前提下B不准点到站的概率为,则B准点到站的概率为 ( )
A.
答案 B
7.(2024河北唐山一模,5)从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形,则能构成正三角形的概率为 ( )
A.
答案 A
8.(2024浙江温州三模,3)设A,B为同一试验中的两个随机事件,则“P(A)+P(B)=1”是“事件A,B互为对立事件”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
9.(2024东北三省四市联考质量检测二,6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,下图就是一重卦,在所有重卦中随机取一重卦,记事件A=“取出的重卦中至少有1个阴爻”,事件B=“取出的重卦中至少有3个阳爻”.则P(B|A)= ( )
A.
答案 C
10.(2024河南郑州二模,6)在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有达到优秀等级的条件下,乙达到优秀等级的概率为 ( )
A.
答案 C
11.(多选)(2025届湖北部分重点高中联考,9)已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=,P(B)=,则下列说法正确的是 ( )
A.若A与B互斥,则P(A+B)=
B.若A与B相互独立,则P(A+B)=
C.若P(A)=,则A与B相互独立
D.若B发生时A一定发生,则P(AB)=
答案 BC
能力拔高练
1.(2024广东湛江一模,8)在一次考试中有一道4个选项的双选题,其中B和C是正确选项,A和D是错误选项,甲、乙两名同学都完全不会这道题目,只能在4个选项中随机选取两个选项.设事件M=“甲、乙两人所选选项恰有一个相同”,事件N=“甲、乙两人所选选项完全不同”,事件X=“甲、乙两人所选选项完全相同”,事件Y=“甲、乙两人均未选择B选项”,则( )
A.事件M与事件N相互独立
B.事件X与事件Y相互独立
C.事件M与事件Y相互独立
D.事件N与事件Y相互独立
答案 C
2.(2025届安徽江南十校检测,7)某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛,现采用抽签法决定决赛跳水顺序,在“运动员甲不是第一个出场,运动员乙不是最后一个出场”的前提下,“运动员丙第一个出场”的概率为 ( )
A.
答案 A
3.(2025届安徽江淮十校第一次大联考,13)现有4个相同的袋子,里面均装有4个除颜色外其他无区别的小球,第k(k=1,2,3,4)个袋中有k个红球,4-k个白球.现将这4个袋子混合后,任选其中一个袋子,并且连续取出三个球(每次取后不放回),则第三次取出的球为白球的概率为 .
答案
4.(2024山东枣庄模拟,14)盒子内装有编号为1,2,3,…,10的10个除编号外完全相同的玻璃球.从中任取三球,则其编号之和能被3整除的概率为 .
答案
5.(2025届湖南部分学校联考,15)某红茶批发地只经营甲、乙、丙三种品牌的红茶,且甲、乙、丙三种品牌的红茶优质率分别为0.9,0.8,0.7.
(1)若该红茶批发地甲、乙、丙三种品牌的红茶场占有量的比例为4∶4∶2,小张到该批发地任意购买一盒红茶,求他买到的红茶是优质品的概率;
(2)若小张到该批发地甲、乙、丙三种品牌店各任意买一盒红茶,求他恰好买到两盒优质红茶的概率.
解析 (1)设事件A,B,C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌,事件D表示他买到的红茶是优质品,
则依据已知可得P(A)=P(B)==0.4,P(C)=0.2,
P(D|A)=0.9,P(D|B)=0.8,P(D|C)=0.7,
由全概率公式得P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)·P(D|C)=0.9×0.4+0.8×0.4+0.7×0.2=0.82,
所以他买到的红茶是优质品的概率为0.82.
(2)设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶,组成事件E的情况有:
甲、乙为优质红茶丙不是优质红茶,甲、丙为优质红茶乙不是优质红茶,乙、丙为优质红茶甲不是优质红茶,且优质与否互相独立,则P(E)=0.9×0.8×(1-0.7)+0.9×(1-0.8)×0.7+(1-0.9)×0.8×0.7=0.216+0.126+0.056=0.398,
所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为0.398.
6.(2025届广东东莞月考,17)近年来一种新型的“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐.如图,假设有四支队伍进入到半决赛,淘汰赛制下,将四支队伍两两分组比赛,胜者进入到总决赛,胜者即为冠军;双败赛制下,两两分组比赛,胜者进入到胜者组,败者进入到败者组,胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛,败者进入到败者组.之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰,胜者将跟胜者组的败者对决,其中的胜者进入总决赛,胜者即为冠军.双败赛制下有意思的事情是,在胜者组中的胜者只要输一场比赛(即总决赛)就无法拿到冠军,但是其他的队伍却有一次失败的机会,近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数,因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平,是否真的如此呢
假设四支队伍分别为A、B、C、D,其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p,另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为.最初分组时AB同组,CD同组.
(1)若p=,在淘汰赛制下,A、C获得冠军的概率分别为多少
(2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率(用p表示);
(3)根据第(2)问的结果分析双败赛制下,是否如很多人质疑的“对强者不公平”.
解析 (1)若A获得冠军,则AB组A获胜,再由A与CD组胜者决赛并胜出,
则A获得冠军的概率为P1=,
若C获得冠军,则CD组C获胜,再由C与AB组胜者决赛并胜出,
则C获得冠军的概率为P2=.
(2)淘汰赛制下,A获得冠军的概率为p××p=p2,
“双败赛制”下,讨论A进入胜者组、败者组两种情况,
当A进入胜者组时,若在胜者组A失败,后两局都胜,方可得冠军,
若在胜者组A胜利,后一局(与败者组胜者比赛)胜,方可得冠军;
当A进入败者组时,后三局都胜,方可得冠军.
综上,A获得冠军的概率为p3(1-p)+p3+(1-p)p3=p3(3-2p).
(3)令f(p)=p3(3-2p)-p2=p2(-2p2+3p-1)=p2(2p-1)(1-p),
令f(p)>0,则
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