2026全国版高考数学一轮
8.4 抛物线
五年高考
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p= ( )
A.2 B.3
C.6 D.9
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=( )
A.1 B.2
C.2 D.4
3.(2022全国乙理,5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|= ( )
A.2 B.2
C.3 D.3
4.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|= ( )
A.7 B.6
C.5 D.4
5.(2024北京,11,5分,易)抛物线y2=16x的焦点坐标为 .
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ理,5,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( )
A.
C.(1,0) D.(2,0)
(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作
☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 ( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
4.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
5.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
6.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
7.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|= .
8.(2021北京,12,5分,易)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为 ;△MNF的面积为 .
9.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
三年模拟
基础强化练
1.(2025届湖南长沙明德中学月考,8)过抛物线y2=2x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2(r为常数且r∈N*)的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|·|PC|的最小值是4,则r= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.(2024湖南衡阳三模,4)已知点F(2,0),动圆P过点F,且与x=-2相切,记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ,则曲线Γ的方程为 ( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=8x D.y2=12x
3.(2025届河北定州中学开学考,6)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 ( )
A.2 B.2
C.3 D.3
4.(2025届江苏南通名校联盟模拟,2)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为 ( )
A.
C.
5.(2024广东深圳宝安期末,6)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在该抛物线上,点C在y轴上,若|FA|=7,|FB|=,则= ( )
A.
C. D.3
6.(2025届浙江金华一中月考,5)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,FA⊥FB,|FA|=2|FB|,则l的斜率是 ( )
A.±1 B.±
C.± D.±2
7.(多选)(2025届河北保定部分地区模拟,10)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,P为C上的动点,过P作圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的两条切线,A,B为切点,过P作l的垂线,垂足为Q,则 ( )
A.当a=1时,l与圆M相切
B.当=a时,|PA|+|PQ|的最小值为2
C.当|AB|=2时,为定值
D.存在点P,使得△PAB为等边三角形
8.(2025届河北“五个一”名校联盟联考,13)抛物线C:y2=4x上的动点P到直线y=x+3的距离最短时,P到C的焦点的距离为 .
9.(2025届湖南名校联合体联考,13)设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|= .
能力拔高练
1.(2024山东菏泽一中月考,7)焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线交于点A,点B在抛物线C上且在第一象限,在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,则cos∠FBA= ( )
A.
C.
2.(2024山东枣庄一模,8)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,P为AB的中点,且,则|FA|+|FB|的最大值为 ( )
A.4 B.5
C.3
3.(2025届湖北高中名校联盟联考,8)设抛物线C:x2=2y的焦点为F,过抛物线C上的点P作C的切线交x轴于点M,若∠FPM=30°,则|FP|= ( )
A. B.2
C.
(2025届江苏苏州黄埭中学开学考,12)已知点A为抛物线y2=4x上一点,过A作x轴垂线交抛物线于B,过A作y轴垂线交抛物线的准线于C,设抛物线焦点为F,若∠CAF=
2∠ABC,则|AB|= .
5.(2025届广东部分学校第二次模拟,13)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,若C上存在三点P1,P2,P3,且F为△P1P2P3的重心,则△P1P2P3三边中线长之和为 .
创新风向练
(创新知识交汇)(多选)(2024山东临沂一模,11)已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P为W上一点,则 ( )
A.存在点P,使△PFC为等边三角形
B.若Q为C上一点,则|PQ|的最小值为1
C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切
D.若以PF为直径的圆与圆C相外切,则|PF|=22-12
8.4 抛物线
五年高考
考点1 抛物线的定义和标准方程
1.(2020课标Ⅰ理,4,5分,易)已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p= ( )
A.2 B.3
C.6 D.9
答案 C
2.(2021新高考Ⅱ,3,5分,易)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点到直线y=x+1的距离为,则p=( )
A.1 B.2
C.2 D.4
答案 B
3.(2022全国乙理,5,5分,中)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,点A在C上,点B(3,0),若|AF|=|BF|,则|AB|= ( )
A.2 B.2
C.3 D.3
答案 B
4.(2023北京,6,4分,易)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|= ( )
A.7 B.6
C.5 D.4
答案 D
5.(2024北京,11,5分,易)抛物线y2=16x的焦点坐标为 .
答案 (4,0)
考点2 抛物线的几何性质
1.(2020课标Ⅲ理,5,5分,中)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 ( )
A.
C.(1,0) D.(2,0)
答案 B
(多选)(2024新课标Ⅱ,10,6分,中)抛物线C:y2=4x的准线为l,P为C上动点.过P作
☉A:x2+(y-4)2=1的一条切线,Q为切点.过P作l的垂线,垂足为B.则 ( )
A.l与☉A相切
B.当P,A,B三点共线时,|PQ|=
C.当|PB|=2时,PA⊥AB
D.满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
答案 ABD
3.(多选)(2023新课标Ⅱ,10,5分,中)设O为坐标原点,直线y=-(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则 ( )
A.p=2
B.|MN|=
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
答案 AC
4.(多选)(2022新高考Ⅱ,10,5分,中)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0).若|AF|=|AM|,则 ( )
A.直线AB的斜率为2
B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|
D.∠OAM+∠OBM<180°
答案 ACD
5.(多选)(2022新高考Ⅰ,11,5分,中)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则 ( )
A.C的准线为y=-1
B.直线AB与C相切
C.|OP|·|OQ|>|OA|2
D.|BP|·|BQ|>|BA|2
答案 BCD
6.(2023全国乙理,13,5分,易)已知点A(1,)在抛物线C:y2=2px上,则A到C的准线的距离为 .
答案
7.(2020新高考Ⅰ,13,5分,易)斜率为的直线过抛物线C:y2=4x的焦点,且与C交于A,B两点,则|AB|= .
答案
8.(2021北京,12,5分,易)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为 ;△MNF的面积为 .
答案 5;4
9.(2021新高考Ⅰ,14,5分,中)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为 .
答案 x=-
三年模拟
基础强化练
1.(2025届湖南长沙明德中学月考,8)过抛物线y2=2x上一动点P作圆C:(x-4)2+y2=r2(r为常数且r∈N*)的两条切线,切点分别为A,B,若|AB|·|PC|的最小值是4,则r= ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
答案 B
2.(2024湖南衡阳三模,4)已知点F(2,0),动圆P过点F,且与x=-2相切,记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ,则曲线Γ的方程为 ( )
A.y2=2x B.y2=4x
C.y2=8x D.y2=12x
答案 C
3.(2025届河北定州中学开学考,6)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点B(3,0),C上一点A到l的距离等于|AB|,则△AFB的面积为 ( )
A.2 B.2
C.3 D.3
答案 B
4.(2025届江苏南通名校联盟模拟,2)已知点P在抛物线x2=-5y上,且A(0,-3),则|PA|的最小值为 ( )
A.
C.
答案 D
5.(2024广东深圳宝安期末,6)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在该抛物线上,点C在y轴上,若|FA|=7,|FB|=,则= ( )
A.
C. D.3
答案 D
6.(2025届浙江金华一中月考,5)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与C交于A,B两点,FA⊥FB,|FA|=2|FB|,则l的斜率是 ( )
A.±1 B.±
C.± D.±2
答案 D
7.(多选)(2025届河北保定部分地区模拟,10)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,P为C上的动点,过P作圆M:(x-a)2+(y-2)2=4的两条切线,A,B为切点,过P作l的垂线,垂足为Q,则 ( )
A.当a=1时,l与圆M相切
B.当=a时,|PA|+|PQ|的最小值为2
C.当|AB|=2时,为定值
D.存在点P,使得△PAB为等边三角形
答案 CD
8.(2025届河北“五个一”名校联盟联考,13)抛物线C:y2=4x上的动点P到直线y=x+3的距离最短时,P到C的焦点的距离为 .
答案 2
9.(2025届湖南名校联合体联考,13)设抛物线y2=12x的焦点为F,经过点P(4,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,则|AF|+|BF|= .
答案 14
能力拔高练
1.(2024山东菏泽一中月考,7)焦点为F的抛物线C:y2=2px(p>0)的对称轴与准线交于点A,点B在抛物线C上且在第一象限,在△ABF中,3sin∠AFB=4sin∠FAB,则cos∠FBA= ( )
A.
C.
答案 C
2.(2024山东枣庄一模,8)已知F为抛物线E:y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在E上,P为AB的中点,且,则|FA|+|FB|的最大值为 ( )
A.4 B.5
C.3
答案 B
3.(2025届湖北高中名校联盟联考,8)设抛物线C:x2=2y的焦点为F,过抛物线C上的点P作C的切线交x轴于点M,若∠FPM=30°,则|FP|= ( )
A. B.2
C.
答案 B
(2025届江苏苏州黄埭中学开学考,12)已知点A为抛物线y2=4x上一点,过A作x轴垂线交抛物线于B,过A作y轴垂线交抛物线的准线于C,设抛物线焦点为F,若∠CAF=
2∠ABC,则|AB|= .
答案 4
5.(2025届广东部分学校第二次模拟,13)已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,若C上存在三点P1,P2,P3,且F为△P1P2P3的重心,则△P1P2P3三边中线长之和为 .
答案
创新风向练
(创新知识交汇)(多选)(2024山东临沂一模,11)已知圆C:x2+y2-10x+13=0,抛物线W:y2=4x的焦点为F,P为W上一点,则 ( )
A.存在点P,使△PFC为等边三角形
B.若Q为C上一点,则|PQ|的最小值为1
C.若|PC|=4,则直线PF与圆C相切
D.若以PF为直径的圆与圆C相外切,则|PF|=22-12
答案 AC
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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