2026全国版高考数学一轮
专题八 平面解析几何
8.1 直线和圆
高考新风向·创新知识交汇思维引导 回归本质
(2024全国甲理,12,5分,难)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.2 创新知识交汇 本题将等差中项与直线和圆的知识有机结合,强调知识之间的融合,在一定程度上增强题目的综合性,加强了数学分析能力和综合应用能力的考查.
五年高考
考点1 直线和圆的方程
1.(2020北京,5,4分,易)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
2.(2020课标Ⅲ文,8,5分,中)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( )
A.1 B. D.2
3.(2022全国甲文,14,5分,易)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
4.(2022全国乙,文15,理14,5分,中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2020课标Ⅱ理,5,5分,易)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 ( )
A.
2.(2023新课标Ⅰ,6,5分,易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= ( )
A.1 B.
3.(2021北京,9,4分,中)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m= ( )
A.±1 B.± D.±2
4.(2020课标Ⅰ理,11,5分,中)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
5.(2023全国乙文,11,5分,中)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 ( )
A.1+ D.7
6.(2023全国乙理,12,5分,难)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则的最大值为 ( )
A.
7.(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分,中)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 ( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
8.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分,中)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
9.(2022天津,12,5分,易)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m 的值为 .
10.(2021天津,12,5分,易)若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|= .
11.(2023新课标Ⅱ,15,5分,易)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值: .
12.(2022新高考Ⅰ,14,5分,中)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
13.(2022新高考Ⅱ,15,5分,中)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
三年模拟
基础强化练
1.(2025届重庆市部分学校联考,5)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1,1),则原点到直线l2距离的最大值为 ( )
A.
2.(2025届山东青岛二中月考,6)过点P(1,-3)的直线l与曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)有两个交点,则直线l斜率的取值范围为( )
A.
3.(2025届湖南长沙雅礼中学开学考,5)已知圆C的方程为x2+(y-2)2=a,则“a>2”是“函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(2024江苏南京航空航天大学附属中学月考,8)一束光线从A(1,0)点处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是 ( )
A.x+2y-2=0 B.2x-y+2=0
C.x-2y+2=0 D.2x+y-2=0
5.(2025届江苏南京中华中学开学调研,5)设直线l:x+my-6=0和圆C:x2+y2-4x-4y=0相交于M,N两点,若=0,则m= ( )
A. D.1
6.(2024山东烟台招远三模,4)若圆x2+y2+ax+y+2a-3=0与x轴没有交点,则实数a的取值范围为 ( )
A.(2,6) B.(3,5)
C.(2,3)∪(5,6) D.(2,3)∪(6,+∞)
7.(2025届广东部分学校第一次月考,6)已知直线l:(m-1)x+2y+3-m=0与圆C:x2+y2-6x+6y=0交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是 ( )
A.[,3] B.[2,6]
C.[2,4] D.[,6]
8.(2024湖北黄冈浠水一中二模,5)已知圆O:x2+y2=1,P为直线l:x+y-4=0上的一个动点,过P作圆O的切线,切点分别为A、B,若直线PA、PB关于直线l对称,则cos∠APB= ( )
A.
C.
9.(多选)(2025届河南濮阳质量检测,9)已知直线y=x与圆D:x2+y2-2my=4-m2有两个交点,则整数m的可能取值有 ( )
A.0 B.-3 C.1 D.3
10.(多选)(2025届湖南长郡中学模块测,10)已知圆O:x2+y2=4,则 ( )
A.圆O与直线mx+y-m-1=0必有两个交点
B.圆O上存在4个点到直线l:x-y+=0的距离都等于1
C.若圆O与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=16
D.已知动点P在直线x+y-4=0上,过点P向圆O引两条切线,A,B为切点,则|OP|·|AB|的最小值为8
11.(2025届浙江七彩阳光新高考联盟返校考,13)若曲线y=ex+a过坐标原点的切线与圆(x-1)2+(y+1)2=2相切,则实数a= .
12.(2024湖南岳阳汨罗一中月考,14)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l恒过(0,-1),且与线段PQ有交点,则l的斜率k的取值范围是 .
13.(2024重庆八中模拟,13)已知直线l:(m+1)·x+(1-m)y-2=0被动圆C:(x-n)2+(y-2n)2=9截得的弦长为定值,则直线l的方程为 .
14.(2024河北唐山一中二模,13)已知点O(0,0),A(2,-4),B为OA的中点,动点P,Q分别满足|PB|=|OA|,|QA|=|QO|,则|PQ|的最大值为 .
15.(2025届湖南长沙六中开学考,15)已知圆M:x2+y2-2x+1-m2=0(m∈R).
(1)若圆M的半径为1,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,设A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC面积的最大值.
能力拔高练
1.(2025届河北衡水中学开学考,6)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为 ( )
A.,3x+2y-5=0 B.,3x+2y-5=0
C.,2x-3y+1=0 D.,2x-3y+1=0
2.(2025届湖北腾云联盟联考,7)已知圆C:(x-1)2+y2=1,点M在曲线y=ex上,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A和B,以AB为直径作圆C',则圆C'的面积的最小值为 ( )
A. D.π
3.(2025届山东德州开学考,8)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点,点B(4,0),且P(x,y)满足x2+y2+x-2=0,则3|AP|+|BP|的最小值为( )
A.
(2025届广东部分学校大联考,8)已知圆M:x2+y2-6y=0与圆N:(x-cos θ)2+
(y-sin θ)2=1(0≤θ≤2π)交于A,B两点,则△ABM(M为圆M的圆心)面积的最大值为 ( )
A.
5.(2024安徽师大附中二模,8)已知直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与曲线W:y=x3-x有三个交点D、E、F,且|DE|=|EF|=2,则以下能作为直线l的方向向量的坐标是 ( )
A.(0,1) B.(1,-1)
C.(1,1) D.(1,0)
6.(2024湖北襄阳五中三模,7)已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E、F,则的最小值是 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
7.(多选)(2025届安徽A10联盟开学考,11)已知点A(m,n)在圆O:x2+y2=4外,过点A作直线AM,AN与圆O相切,切点分别为M,N,若∠MAN=60°,则 ( )
A.mn≤8
B.
C.|m+n-9|∈[1,17]
D.当m,n>0时,
8.(2025届河北邢台邢襄联盟开学考,13)已知实数a,b满足a2+b2=2a-2b,则的最大值为 .
创新风向练
1.(创新知识交汇)(2025届山东菏泽期中,5)过曲线y=log9x上一点A作平行于两坐标轴的直线,分别交曲线y=log3x于点B,C,若直线BC过原点O,则其斜率为 ( )
A.1 B.
2.(新定义理解)(2024山东烟台三模)在平面直角坐标系中,若定义两点A1(x1,y1)和A2(x2,y2)之间的“t距离”为,,其中max{p,q}表示p,q中的较大者,则点A1(0,0)与点A2(1,2)之间的“t距离”为 ;若平面内点A(x,y)和点A0(1,1)之间的“t距离”为,则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 .
专题八 平面解析几何
8.1 直线和圆
高考新风向·创新知识交汇思维引导 回归本质
(2024全国甲理,12,5分,难)已知b是a,c的等差中项,直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点,则|AB|的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.2 创新知识交汇 本题将等差中项与直线和圆的知识有机结合,强调知识之间的融合,在一定程度上增强题目的综合性,加强了数学分析能力和综合应用能力的考查. 答案 C
五年高考
考点1 直线和圆的方程
1.(2020北京,5,4分,易)已知半径为1的圆经过点(3,4),则其圆心到原点的距离的最小值为 ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案 A
2.(2020课标Ⅲ文,8,5分,中)点(0,-1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为 ( )
A.1 B. D.2
答案 B
3.(2022全国甲文,14,5分,易)设点M在直线2x+y-1=0上,点(3,0)和(0,1)均在☉M上,则☉M的方程为 .
答案 (x-1)2+(y+1)2=5
4.(2022全国乙,文15,理14,5分,中)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 .
答案 (x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或+(y-1)2=(写出一个即可)
考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2020课标Ⅱ理,5,5分,易)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 ( )
A.
答案 B
2.(2023新课标Ⅰ,6,5分,易)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α= ( )
A.1 B.
答案 B
3.(2021北京,9,4分,中)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M,N.当k变化时,若|MN|的最小值为2,则m= ( )
A.±1 B.± D.±2
答案 C
4.(2020课标Ⅰ理,11,5分,中)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点.过点P作☉M的切线PA,PB,切点为A,B,当|PM|·|AB|最小时,直线AB的方程为( )
A.2x-y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0 D.2x+y+1=0
答案 D
5.(2023全国乙文,11,5分,中)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y的最大值是 ( )
A.1+ D.7
答案 C
6.(2023全国乙理,12,5分,难)已知☉O的半径为1,直线PA与☉O相切于点A,直线PB与☉O交于B,C两点,D为BC的中点.若|PO|=,则的最大值为 ( )
A.
答案 A
7.(多选)(2021新高考Ⅱ,11,5分,中)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是 ( )
A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切
答案 ABD
8.(多选)(2021新高考Ⅰ,11,5分,中)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时,|PB|=3
D.当∠PBA最大时,|PB|=3
答案 ACD
9.(2022天津,12,5分,易)若直线x-y+m=0(m>0)被圆(x-1)2+(y-1)2=3截得的弦长等于m,则m 的值为 .
答案 2
10.(2021天津,12,5分,易)若斜率为的直线与y轴交于点A,与圆x2+(y-1)2=1相切于点B,则|AB|= .
答案
11.(2023新课标Ⅱ,15,5分,易)已知直线x-my+1=0与☉C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值: .
答案 2或-2或(写出一个即可)
12.(2022新高考Ⅰ,14,5分,中)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
答案 x=-1(或3x+4y-5=0或7x-24y-25=0)
13.(2022新高考Ⅱ,15,5分,中)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是 .
答案
三年模拟
基础强化练
1.(2025届重庆市部分学校联考,5)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0均过点(1,1),则原点到直线l2距离的最大值为 ( )
A.
答案 A
2.(2025届山东青岛二中月考,6)过点P(1,-3)的直线l与曲线M:(x-2)2+y2=1(2≤x≤3)有两个交点,则直线l斜率的取值范围为( )
A.
答案 B
3.(2025届湖南长沙雅礼中学开学考,5)已知圆C的方程为x2+(y-2)2=a,则“a>2”是“函数y=|x|的图象与圆C有四个公共点”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
4.(2024江苏南京航空航天大学附属中学月考,8)一束光线从A(1,0)点处射到y轴上一点B(0,2)后被y轴反射,则反射光线所在直线的方程是 ( )
A.x+2y-2=0 B.2x-y+2=0
C.x-2y+2=0 D.2x+y-2=0
答案 B
5.(2025届江苏南京中华中学开学调研,5)设直线l:x+my-6=0和圆C:x2+y2-4x-4y=0相交于M,N两点,若=0,则m= ( )
A. D.1
答案 C
6.(2024山东烟台招远三模,4)若圆x2+y2+ax+y+2a-3=0与x轴没有交点,则实数a的取值范围为 ( )
A.(2,6) B.(3,5)
C.(2,3)∪(5,6) D.(2,3)∪(6,+∞)
答案 C
7.(2025届广东部分学校第一次月考,6)已知直线l:(m-1)x+2y+3-m=0与圆C:x2+y2-6x+6y=0交于A,B两点,则线段AB的长度的取值范围是 ( )
A.[,3] B.[2,6]
C.[2,4] D.[,6]
答案 B
8.(2024湖北黄冈浠水一中二模,5)已知圆O:x2+y2=1,P为直线l:x+y-4=0上的一个动点,过P作圆O的切线,切点分别为A、B,若直线PA、PB关于直线l对称,则cos∠APB= ( )
A.
C.
答案 B
9.(多选)(2025届河南濮阳质量检测,9)已知直线y=x与圆D:x2+y2-2my=4-m2有两个交点,则整数m的可能取值有 ( )
A.0 B.-3 C.1 D.3
答案 AC
10.(多选)(2025届湖南长郡中学模块测,10)已知圆O:x2+y2=4,则 ( )
A.圆O与直线mx+y-m-1=0必有两个交点
B.圆O上存在4个点到直线l:x-y+=0的距离都等于1
C.若圆O与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线,则m=16
D.已知动点P在直线x+y-4=0上,过点P向圆O引两条切线,A,B为切点,则|OP|·|AB|的最小值为8
答案 ACD
11.(2025届浙江七彩阳光新高考联盟返校考,13)若曲线y=ex+a过坐标原点的切线与圆(x-1)2+(y+1)2=2相切,则实数a= .
答案 -1
12.(2024湖南岳阳汨罗一中月考,14)已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l恒过(0,-1),且与线段PQ有交点,则l的斜率k的取值范围是 .
答案 (-∞,-2]∪
13.(2024重庆八中模拟,13)已知直线l:(m+1)·x+(1-m)y-2=0被动圆C:(x-n)2+(y-2n)2=9截得的弦长为定值,则直线l的方程为 .
答案 2x-y-1=0
14.(2024河北唐山一中二模,13)已知点O(0,0),A(2,-4),B为OA的中点,动点P,Q分别满足|PB|=|OA|,|QA|=|QO|,则|PQ|的最大值为 .
答案 4
15.(2025届湖南长沙六中开学考,15)已知圆M:x2+y2-2x+1-m2=0(m∈R).
(1)若圆M的半径为1,求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,设A(0,t),B(0,t+6)(-5≤t≤-2),若圆M是△ABC的内切圆,求△ABC面积的最大值.
解析 (1)由题意,知圆M的标准方程为(x-1)2+y2=m2,由圆M的半径为1,得m2=1,即m=±1.
(2)由题意,得直线AC,BC的斜率存在.设直线AC的方程为y1=k1x+t,直线BC的方程为y2=k2x+t+6,则xC=,
∵|AB|=6,∴S△ABC=,
∵圆M是△ABC的内切圆,
∴M到直线AC、BC的距离都为1,
∴d1==1,d2==1,
得k1=,k2=-,
∴|k1-k2|=,
则S△ABC=,
∵-5≤t≤-2,∴t(t+6)∈[-9,-5],
∴S△ABC∈,则△ABC面积的最大值为.
能力拔高练
1.(2025届河北衡水中学开学考,6)点P(-2,-1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y-2-4λ=0(λ∈R)的距离最大时,其最大值以及此时的直线方程分别为 ( )
A.,3x+2y-5=0 B.,3x+2y-5=0
C.,2x-3y+1=0 D.,2x-3y+1=0
答案 A
2.(2025届湖北腾云联盟联考,7)已知圆C:(x-1)2+y2=1,点M在曲线y=ex上,过点M作圆C的两条切线,切点分别为A和B,以AB为直径作圆C',则圆C'的面积的最小值为 ( )
A. D.π
答案 B
3.(2025届山东德州开学考,8)已知点A为直线3x+4y-7=0上一动点,点B(4,0),且P(x,y)满足x2+y2+x-2=0,则3|AP|+|BP|的最小值为( )
A.
答案 D
(2025届广东部分学校大联考,8)已知圆M:x2+y2-6y=0与圆N:(x-cos θ)2+
(y-sin θ)2=1(0≤θ≤2π)交于A,B两点,则△ABM(M为圆M的圆心)面积的最大值为 ( )
A.
答案 C
5.(2024安徽师大附中二模,8)已知直线l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0)与曲线W:y=x3-x有三个交点D、E、F,且|DE|=|EF|=2,则以下能作为直线l的方向向量的坐标是 ( )
A.(0,1) B.(1,-1)
C.(1,1) D.(1,0)
答案 C
6.(2024湖北襄阳五中三模,7)已知圆C1:(x-2)2+y2=4,C2:(x-2-5cos θ)2+(y-5sin θ)2=1(θ∈R),过圆C2上一点P作圆C1的两条切线,切点分别是E、F,则的最小值是 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
答案 A
7.(多选)(2025届安徽A10联盟开学考,11)已知点A(m,n)在圆O:x2+y2=4外,过点A作直线AM,AN与圆O相切,切点分别为M,N,若∠MAN=60°,则 ( )
A.mn≤8
B.
C.|m+n-9|∈[1,17]
D.当m,n>0时,
答案 ACD
8.(2025届河北邢台邢襄联盟开学考,13)已知实数a,b满足a2+b2=2a-2b,则的最大值为 .
答案 7
创新风向练
1.(创新知识交汇)(2025届山东菏泽期中,5)过曲线y=log9x上一点A作平行于两坐标轴的直线,分别交曲线y=log3x于点B,C,若直线BC过原点O,则其斜率为 ( )
A.1 B.
答案 B
2.(新定义理解)(2024山东烟台三模)在平面直角坐标系中,若定义两点A1(x1,y1)和A2(x2,y2)之间的“t距离”为,,其中max{p,q}表示p,q中的较大者,则点A1(0,0)与点A2(1,2)之间的“t距离”为 ;若平面内点A(x,y)和点A0(1,1)之间的“t距离”为,则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 .
答案 ;4
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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