2026全国版高考数学一轮
专题七 立体几何与空间向量
7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
高考新风向·概念深度理解思维引导 回归本质(2024新课标Ⅰ,5,5分,易)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 ( ) A.2π 创新点 本题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算.需要设出底面半径r,利用侧面积相等建立方程求出r,利用公式计算圆锥体积即可.这里涉及方程思想,希望同学们在复习知识、方法的过程当中,要熟记公式,同时要关注一些典型的数学思想,它们可以在不同知识模块、不同题目场景中使用.
五年高考
考点1 空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分,易)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 ( )
A.2 B.2
2.(2020课标Ⅰ,文3,理3,5分,易)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
A.
3.(2021新高考Ⅱ,4,5分,中)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr2(1-cos α)(单位km2),则S占地球表面积的百分比约为 ( )
A.26% B.34% C.42% D.50%
4.(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分,难)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 ( )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
5.(2023全国甲理,15,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
6.(2023全国甲文,16,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 .
考点2 空间几何体的表面积和体积
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分,易)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为 ( )
A.56 B.28
2.(2022新高考Ⅰ,4,5分,易)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65)( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
3.(2020课标Ⅰ理,10,5分,中)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 ( )
A.64π B.48π C.36π D.32π
4.(2023全国甲文,10,5分,中)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为 ( )
A.1 B. C.2 D.3
5.(2022新高考Ⅱ,7,5分,中)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
6.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为 ( )
A.π B.π
7.(2022新高考Ⅰ,8,5分,难)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
A. D.[18,27]
(多选)(2023新课标Ⅱ,9,5分,中)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,
∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
9.(多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分,中)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 ( )
A.V3=2V2 B.V3=V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
10.(2020新高考Ⅱ,13,5分,易)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为 .
11.(2023新课标Ⅱ,14,5分,易)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 .
12.(2024全国甲理,14,5分,中)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台甲、乙的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为 .
13.(2023新课标Ⅰ,14,5分,易)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为 .
三年模拟
基础强化练
1.(2025届河北沧州质量监测,4)已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等,侧面积相等,且它们的高均为,则此正四棱锥的体积为 ( )
A.60
C.120
2.(2024安徽池州二模,5)已知圆锥的高为3,若圆锥的内切球半径为1,则该圆锥的表面积为 ( )
A.6π B.6π
C.9π D.12π
3.(2025届山东名校联盟检测,4)如图所示,一个组合体的上半部分是一个高为0.5 m的长方体,下半部分是一个正四棱锥,公共面是边长为1 m的正方形,已知该组合体的体积为m3,则其表面积为 ( )
A.(2+)m2 B.(3+)m2
C.(2+)m2 D.(3+)m2
4.(2025届广东湛江期中,6)中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪,约比西方晚900年,但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2 000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后,浇铸成一个底面积为81π的圆锥,则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 ( )
A.
C.
5.(2024广东广州一模,4)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2,且BB1⊥DD1,则该棱台的体积为( )
A.
C.
6.(2025届浙江绍兴期中,5)如图,圆柱的底面直径为3,母线长为4,AB,CD分别为该圆柱的上、下底面的直径,且AB⊥CD,则三棱锥A-BCD的体积是 ( )
A.24 B.18
C.12 D.6
7.(2024山东齐鲁名校联考七,6)已知圆台上、下底面的半径分别为3和5,母线长为4,AB为上底面圆的一条直径,C是下底面圆周上的一个动点,则△ABC面积的最大值为 ( )
A.3
C.
8.(2025届福建南平浦城一中期中,7)已知四棱锥的底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心,高为6.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,且该圆柱的体积为8π,则四棱锥的底面的边长为 ( )
A.π D.9
9.(2025届浙江湖州、衢州、丽水质检,7)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,E是棱C1D1的中点,平面AB1E将长方体分割成两部分,则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 ( )
A.
10.(2024湘豫名校联盟联考,12)已知圆锥SO1的轴截面SAB为正三角形,球O2与圆锥SO1的底面和侧面都相切.设圆锥SO1的体积、表面积分别为V1,S1,球O2的体积、表面积分别为V2,S2,则= .
能力拔高练
1.(2025届湖北联考,6)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=PB=PC=4,AB=BC=2,AC=2,则球O的表面积为( )
A.
(2025届四川成都树德中学期中,6)已知四面体A-BCD的外接球半径为2,若BC=,
∠BDC=,则四面体A-BCD的体积最大值为( )
A.
3.(2025届湖北联考协作体开学考试,6)已知某圆台上、下底面半径分别为2.5和6,母线长为7,则该圆台内能放入最大球的表面积为 ( )
A.π D.48π
4.(2024山东潍坊一模,8)已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直径为6,且AB⊥BC,BC=2,则该棱柱体积的最大值为 ( )
A.8 B.12 C.16 D.24
5.(2024湖北四调,8)在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PBC,△ABC和△PBC都是边长为2的等边三角形,若M为三棱锥P-ABC外接球上的动点,则点M到平面ABC距离的最大值为 ( )
A.
C.+1
6.(多选)(2025届广东佛山顺德质检(一),10)在三棱台ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是等腰梯形且与底面垂直,A1C1=1,AA1=,AC=BC=3,AB=3,则下列说法正确的是 ( )
A.A1A⊥BC
B.
C.
D.三棱台ABC-A1B1C1的体积为
创新风向练
1.(概念深度理解)(2025届江苏泰州多校联考,7)在中国古代数学著作《九章算术》中,鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.在直角△ABC中,AD为斜边BC上的高,AB=1,AC=,现将△ABD沿AD翻折成△AB'D,使得四面体AB'CD为一个鳖臑,则该鳖臑外接球的表面积为 ( )
A.
2.(概念深度理解)(2024江苏、浙江大联考,14)已知长方体的表面积为8,所有棱长和为16,则长方体体积的最大值为 .
专题七 立体几何与空间向量
7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
高考新风向·概念深度理解思维引导 回归本质(2024新课标Ⅰ,5,5分,易)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为 ( ) A.2π 创新点 本题将圆柱与圆锥结合,综合考查侧面积、体积的计算.需要设出底面半径r,利用侧面积相等建立方程求出r,利用公式计算圆锥体积即可.这里涉及方程思想,希望同学们在复习知识、方法的过程当中,要熟记公式,同时要关注一些典型的数学思想,它们可以在不同知识模块、不同题目场景中使用. 答案 B
五年高考
考点1 空间几何体的结构特征
1.(2021新高考Ⅰ,3,5分,易)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为 ( )
A.2 B.2
答案 B
2.(2020课标Ⅰ,文3,理3,5分,易)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ( )
A.
答案 C
3.(2021新高考Ⅱ,4,5分,中)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36 000 km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r为6 400 km的球,其上点A的纬度是指OA与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr2(1-cos α)(单位km2),则S占地球表面积的百分比约为 ( )
A.26% B.34% C.42% D.50%
答案 C
4.(多选)(2023新课标Ⅰ,12,5分,难)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 ( )
A.直径为0.99 m的球体
B.所有棱长均为1.4 m的四面体
C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体
D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体
答案 ABD
5.(2023全国甲理,15,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点.
答案 12
6.(2023全国甲文,16,5分,中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是 .
答案 [2,2]
考点2 空间几何体的表面积和体积
1.(2021新高考Ⅱ,5,5分,易)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为 ( )
A.56 B.28
答案 D
2.(2022新高考Ⅰ,4,5分,易)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65)( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
答案 C
3.(2020课标Ⅰ理,10,5分,中)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 ( )
A.64π B.48π C.36π D.32π
答案 A
4.(2023全国甲文,10,5分,中)在三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=,则该棱锥的体积为 ( )
A.1 B. C.2 D.3
答案 A
5.(2022新高考Ⅱ,7,5分,中)已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
A.100π B.128π C.144π D.192π
答案 A
6.(2023全国乙理,8,5分,中)已知圆锥PO的底面半径为,O为底面圆心,PA,PB为圆锥的母线,∠AOB=120°,若△PAB的面积等于,则该圆锥的体积为 ( )
A.π B.π
答案 B
7.(2022新高考Ⅰ,8,5分,难)已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是 ( )
A. D.[18,27]
答案 C
(多选)(2023新课标Ⅱ,9,5分,中)已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,
∠APB=120°,PA=2,点C在底面圆周上,且二面角P-AC-O为45°,则 ( )
A.该圆锥的体积为π
B.该圆锥的侧面积为4π
C.AC=2
D.△PAC的面积为
答案 AC
9.(多选)(2022新高考Ⅱ,11,5分,中)如图,四边形ABCD为正方形,ED⊥平面ABCD,FB∥ED,AB=ED=2FB.记三棱锥E-ACD,F-ABC,F-ACE的体积分别为V1,V2,V3,则 ( )
A.V3=2V2 B.V3=V1
C.V3=V1+V2 D.2V3=3V1
答案 CD
10.(2020新高考Ⅱ,13,5分,易)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN的体积为 .
答案 1
11.(2023新课标Ⅱ,14,5分,易)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为 .
答案 28
12.(2024全国甲理,14,5分,中)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1,下底面半径均为r2,圆台甲、乙的母线长分别为2(r2-r1),3(r2-r1),则圆台甲与乙的体积之比为 .
答案
13.(2023新课标Ⅰ,14,5分,易)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=,则该棱台的体积为 .
答案
三年模拟
基础强化练
1.(2025届河北沧州质量监测,4)已知一个正四棱柱和某正四棱锥的底面边长相等,侧面积相等,且它们的高均为,则此正四棱锥的体积为 ( )
A.60
C.120
答案 B
2.(2024安徽池州二模,5)已知圆锥的高为3,若圆锥的内切球半径为1,则该圆锥的表面积为 ( )
A.6π B.6π
C.9π D.12π
答案 C
3.(2025届山东名校联盟检测,4)如图所示,一个组合体的上半部分是一个高为0.5 m的长方体,下半部分是一个正四棱锥,公共面是边长为1 m的正方形,已知该组合体的体积为m3,则其表面积为 ( )
A.(2+)m2 B.(3+)m2
C.(2+)m2 D.(3+)m2
答案 B
4.(2025届广东湛江期中,6)中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪,约比西方晚900年,但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2 000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后,浇铸成一个底面积为81π的圆锥,则该圆锥的母线与底面所成角的正切值为 ( )
A.
C.
答案 D
5.(2024广东广州一模,4)已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2,且BB1⊥DD1,则该棱台的体积为( )
A.
C.
答案 B
6.(2025届浙江绍兴期中,5)如图,圆柱的底面直径为3,母线长为4,AB,CD分别为该圆柱的上、下底面的直径,且AB⊥CD,则三棱锥A-BCD的体积是 ( )
A.24 B.18
C.12 D.6
答案 D
7.(2024山东齐鲁名校联考七,6)已知圆台上、下底面的半径分别为3和5,母线长为4,AB为上底面圆的一条直径,C是下底面圆周上的一个动点,则△ABC面积的最大值为 ( )
A.3
C.
答案 A
8.(2025届福建南平浦城一中期中,7)已知四棱锥的底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心,高为6.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,且该圆柱的体积为8π,则四棱锥的底面的边长为 ( )
A.π D.9
答案 A
9.(2025届浙江湖州、衢州、丽水质检,7)已知长方体ABCD-A1B1C1D1,E是棱C1D1的中点,平面AB1E将长方体分割成两部分,则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为 ( )
A.
答案 D
10.(2024湘豫名校联盟联考,12)已知圆锥SO1的轴截面SAB为正三角形,球O2与圆锥SO1的底面和侧面都相切.设圆锥SO1的体积、表面积分别为V1,S1,球O2的体积、表面积分别为V2,S2,则= .
答案 1
能力拔高练
1.(2025届湖北联考,6)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=PB=PC=4,AB=BC=2,AC=2,则球O的表面积为( )
A.
答案 A
(2025届四川成都树德中学期中,6)已知四面体A-BCD的外接球半径为2,若BC=,
∠BDC=,则四面体A-BCD的体积最大值为( )
A.
答案 D
3.(2025届湖北联考协作体开学考试,6)已知某圆台上、下底面半径分别为2.5和6,母线长为7,则该圆台内能放入最大球的表面积为 ( )
A.π D.48π
答案 A
4.(2024山东潍坊一模,8)已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直径为6,且AB⊥BC,BC=2,则该棱柱体积的最大值为 ( )
A.8 B.12 C.16 D.24
答案 C
5.(2024湖北四调,8)在三棱锥P-ABC中,平面ABC⊥平面PBC,△ABC和△PBC都是边长为2的等边三角形,若M为三棱锥P-ABC外接球上的动点,则点M到平面ABC距离的最大值为 ( )
A.
C.+1
答案 D
6.(多选)(2025届广东佛山顺德质检(一),10)在三棱台ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1是等腰梯形且与底面垂直,A1C1=1,AA1=,AC=BC=3,AB=3,则下列说法正确的是 ( )
A.A1A⊥BC
B.
C.
D.三棱台ABC-A1B1C1的体积为
答案 ABD
创新风向练
1.(概念深度理解)(2025届江苏泰州多校联考,7)在中国古代数学著作《九章算术》中,鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.在直角△ABC中,AD为斜边BC上的高,AB=1,AC=,现将△ABD沿AD翻折成△AB'D,使得四面体AB'CD为一个鳖臑,则该鳖臑外接球的表面积为 ( )
A.
答案 C
2.(概念深度理解)(2024江苏、浙江大联考,14)已知长方体的表面积为8,所有棱长和为16,则长方体体积的最大值为 .
答案
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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