2026全国版高考数学一轮基础知识练--2.3　函数的奇偶性、周期性和对称性（含解析）

2026全国版高考数学一轮
2.3　函数的奇偶性、周期性和对称性
五年高考
考点1　函数的奇偶性
1.(2024天津,4,5分,易)下列函数是偶函数的为(　　)
A. y=
C. y=
2.(2023全国乙理,4,5分,易)已知f(x)=是偶函数,则a=　 (　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
3.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则a= (　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.　　　　D.1
4.(2021全国乙理,4,5分,易)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　　)
A. f(x-1)-1　　　　B. f(x-1)+1
C. f(x+1)-1　　　　D. f(x+1)+1
5.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则 (　　)
A.f =0　　　　B.f(-1)=0
C.f(2)=0　　　　D.f(4)=0
6.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　)
A. f(0)=0
B. f(1)=0
C. f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
7.(2023全国甲,文14,理13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.
8.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　.
考点2　函数的周期性
1.(2021全国甲文,12,5分,中)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f ,则f = (　　)
A.-
2.(2021全国甲理,12,5分,难)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　　)
A.-
3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)= (　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1
考点3　函数的对称性
(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分,难)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=
f '(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则(　　)
A. f(0)=0　　　　B.g=0
C. f(-1)=f(4)　　　　D.g(-1)=g(2)
三年模拟
基础强化练
1.(2025届上海大学附中开学考,13)在下列函数中,值域为R的偶函数是 (　　)
A.y=　　　　B.y=lg|x|
C.y=ex+e-x　　　　D.y=x3cos x
2.(2025届广东八校联考,4)已知函数f(x)=为偶函数,则a= (　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.2
3.(2025届重庆八中月考,5)下列函数的图象不存在对称中心的是 (　　)
A.y=x3+1　　　　B.y=
C.y=
4.(2025届云南昆明摸底测试,6)函数f(x)=ln(+kx)是奇函数且在R上单调递增,则k的取值集合为 (　　)
A.{-1}　　　　B.{0}
C.{1}　　　　D.{-1,1}
5.(2025届大湾区第一次调研,6)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=f(5),函数f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,则a= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
6.(2025届江苏连云港第一次检测,7)已知函数f(2x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,且当x∈(0,1]时, f(x)=log2x,则f= (　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.1　　　　D.-1
7.(多选)(2025届江西吉安月考,9)下列函数为奇函数的是 (　　)
A.f(x)=
B.h(x)=lg
C.g(x)=-+2
D.m(x)=ln(+x)
8.(多选)(2024江苏南京二模,10)已知函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy)+|x|+|y|,则 (　　)
A.f(0)=1　　　　B.f(1)=-1
C.f(x)是偶函数　　　　D.f(x)是奇函数
9.(2025届四川泸州月考,13)已知函数f(x)=,且f(a)=14,则f(-a)的值为　　　　.
10.(2025届重庆南开中学月考,13)已知函数f(x)=+1(-2 025≤x≤2 025)的值域为[m,M],则M+m=　　　　.
11.(2025届黑龙江龙东十校开学考,15)已知函数f(2x)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断函数g(x)=|f(x)|的奇偶性,并说明理由;
(3)求f(1)+f(log32)+f(log30.5)的值.
能力拔高练
1.(2024广东深圳罗湖开学模考,4)已知函数f(x)=为奇函数,则a= (　　)
A.　　　　D.3
2.(2024重庆七校开学考,3)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时, f(x)=3x-1,则f(2 022)+f(2 023)=(　　)
A.-2 023　　　　B.-1　　　　
C.1　　　　D.32 022
3.(2025届重庆南开中学质检,5)在同一直角坐标系内,存在一条直线l,使得函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线l对称,就称函数y=g(x)是函数y=f(x)的“轴对称函数”.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数),则下列函数不是函数y=f(x)的“轴对称函数”的是 (　　)
A.y=2-ex　　　　B.y=e2-x　　　　
C.y=-e-x　　　　D.y=ln x
4.(2025届江苏如东开学考,6)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ex,则2f(x)+4g(x)的最小值是 (　　)
A.2　　　　B.2　　　　
C.4　　　　D.2
5.(2025届湖南长沙联考,7)已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),满足f(x+2)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),若f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= (　　)
A.-100　　　　B.-3　　　　
C.3　　　　D.2 025
6.(2024湖南师大附中摸底考,8)已知函数f(x)=x2+2x+2-x,若不等式f(1-ax)A.(-2,2)　　　　B.(-2,2)
C.(-2,2)　　　　D.(-2,2)
7.(多选)(2025届河北部分地区开学考,7)已知函数f(x)的定义域为R,当x>0时, f(x+2)·f(x)=1,且当x≤2时, f(x)=x2-3x+4,则下列结论中一定正确的是 (　　)
A.f(10)=1　　　　B.f(11)=
C.f(12)<10　　　　D.f(13)>20
8.(多选)(2024山东部分学校开学摸底联考,10)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2),若函数y=f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,且 x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0,则下列结论正确的是 (　　)
A. f(2)=0
B. f(x)是奇函数
C. f(x)是周期为4的周期函数
D. f(3)创新风向练
(概念深度理解)(多选)(2024江苏扬州模拟,11)定义:若存在非零常数k,T,使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立,则称函数f(x)为“k距周期函数”,其中T称为函数的“类周期”.则 (　　)
A.一次函数均为“k距周期函数”
B.存在某些二次函数为“k距周期函数”
C.若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1,且f(1)=1,则f(x)=x
D.若g(x)是周期为2的函数,且函数f(x)=x+g(x)在[0,2]上的值域为[0,1],则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n,2n+2]上的值域为[2n,2n+1]
2.3　函数的奇偶性、周期性和对称性
五年高考
考点1　函数的奇偶性
1.(2024天津,4,5分,易)下列函数是偶函数的为(　　)
A. y=
C. y=
答案　B　
2.(2023全国乙理,4,5分,易)已知f(x)=是偶函数,则a=　 (　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2
答案　D　
3.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln为偶函数,则a= (　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.　　　　D.1
答案　B　
4.(2021全国乙理,4,5分,易)设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是 (　　)
A. f(x-1)-1　　　　B. f(x-1)+1
C. f(x+1)-1　　　　D. f(x+1)+1
答案　B　
5.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数,则 (　　)
A.f =0　　　　B.f(-1)=0
C.f(2)=0　　　　D.f(4)=0
答案　B　
6.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则(　　)
A. f(0)=0
B. f(1)=0
C. f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
答案　ABC　
7.(2023全国甲,文14,理13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin为偶函数,则a=　　　　.
答案　2
8.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=　　　.
答案　1
考点2　函数的周期性
1.(2021全国甲文,12,5分,中)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f ,则f = (　　)
A.-
答案　C　
2.(2021全国甲理,12,5分,难)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f= (　　)
A.-
答案　D　
3.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则f(k)= (　　)
A.-3　　　　B.-2　　　　C.0　　　　D.1
答案　A　
考点3　函数的对称性
(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分,难)已知函数f(x)及其导函数f '(x)的定义域均为R,记g(x)=
f '(x).若f,g(2+x)均为偶函数,则(　　)
A. f(0)=0　　　　B.g=0
C. f(-1)=f(4)　　　　D.g(-1)=g(2)
答案　BC　
三年模拟
基础强化练
1.(2025届上海大学附中开学考,13)在下列函数中,值域为R的偶函数是 (　　)
A.y=　　　　B.y=lg|x|
C.y=ex+e-x　　　　D.y=x3cos x
答案　B　
2.(2025届广东八校联考,4)已知函数f(x)=为偶函数,则a= (　　)
A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.2
答案　A　
3.(2025届重庆八中月考,5)下列函数的图象不存在对称中心的是 (　　)
A.y=x3+1　　　　B.y=
C.y=
答案　D　
4.(2025届云南昆明摸底测试,6)函数f(x)=ln(+kx)是奇函数且在R上单调递增,则k的取值集合为 (　　)
A.{-1}　　　　B.{0}
C.{1}　　　　D.{-1,1}
答案　C　
5.(2025届大湾区第一次调研,6)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=f(5),函数f(ax-1)的图象关于直线x=2对称,则a= (　　)
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
答案　B　
6.(2025届江苏连云港第一次检测,7)已知函数f(2x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数,且当x∈(0,1]时, f(x)=log2x,则f= (　　)
A.2　　　　B.-2　　　　C.1　　　　D.-1
答案　A　
7.(多选)(2025届江西吉安月考,9)下列函数为奇函数的是 (　　)
A.f(x)=
B.h(x)=lg
C.g(x)=-+2
D.m(x)=ln(+x)
答案　ABD　
8.(多选)(2024江苏南京二模,10)已知函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy)+|x|+|y|,则 (　　)
A.f(0)=1　　　　B.f(1)=-1
C.f(x)是偶函数　　　　D.f(x)是奇函数
答案　AC　
9.(2025届四川泸州月考,13)已知函数f(x)=,且f(a)=14,则f(-a)的值为　　　　.
答案　-10
10.(2025届重庆南开中学月考,13)已知函数f(x)=+1(-2 025≤x≤2 025)的值域为[m,M],则M+m=　　　　.
答案　2
11.(2025届黑龙江龙东十校开学考,15)已知函数f(2x)=.
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断函数g(x)=|f(x)|的奇偶性,并说明理由;
(3)求f(1)+f(log32)+f(log30.5)的值.
解析　(1)因为f(2x)=,
所以f(x)=.
(2)g(x)是偶函数.理由如下:函数g(x)=|f(x)|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)==-f(x),
因此g(-x)=|f(-x)|=|-f(x)|=g(x),即g(x)为偶函数.
(3)log30.5=-log32,由(2)可得f(x)是奇函数,
因此f(log32)+f(log30.5)=f(log32)+f(-log32)=0,
所以f(1)+f(log32)+f(log30.5)=f(1)=.
能力拔高练
1.(2024广东深圳罗湖开学模考,4)已知函数f(x)=为奇函数,则a= (　　)
A.　　　　D.3
答案　D　
2.(2024重庆七校开学考,3)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时, f(x)=3x-1,则f(2 022)+f(2 023)=(　　)
A.-2 023　　　　B.-1　　　　
C.1　　　　D.32 022
答案　B　
3.(2025届重庆南开中学质检,5)在同一直角坐标系内,存在一条直线l,使得函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线l对称,就称函数y=g(x)是函数y=f(x)的“轴对称函数”.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数),则下列函数不是函数y=f(x)的“轴对称函数”的是 (　　)
A.y=2-ex　　　　B.y=e2-x　　　　
C.y=-e-x　　　　D.y=ln x
答案　C　
4.(2025届江苏如东开学考,6)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(x)+g(x)=ex,则2f(x)+4g(x)的最小值是 (　　)
A.2　　　　B.2　　　　
C.4　　　　D.2
答案　B　
5.(2025届湖南长沙联考,7)已知函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),满足f(x+2)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),若f(1)=3,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 025)= (　　)
A.-100　　　　B.-3　　　　
C.3　　　　D.2 025
答案　C　
6.(2024湖南师大附中摸底考,8)已知函数f(x)=x2+2x+2-x,若不等式f(1-ax)A.(-2,2)　　　　B.(-2,2)
C.(-2,2)　　　　D.(-2,2)
答案　D　
7.(多选)(2025届河北部分地区开学考,7)已知函数f(x)的定义域为R,当x>0时, f(x+2)·f(x)=1,且当x≤2时, f(x)=x2-3x+4,则下列结论中一定正确的是 (　　)
A.f(10)=1　　　　B.f(11)=
C.f(12)<10　　　　D.f(13)>20
答案　BC　
8.(多选)(2024山东部分学校开学摸底联考,10)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)=f(x+4)+f(2),若函数y=f(x+3)的图象关于直线x=-3对称,且 x1,x2∈[0,2],当x1≠x2时,都有(x2-x1)(f(x2)-f(x1))>0,则下列结论正确的是 (　　)
A. f(2)=0
B. f(x)是奇函数
C. f(x)是周期为4的周期函数
D. f(3)答案　AC　
创新风向练
(概念深度理解)(多选)(2024江苏扬州模拟,11)定义:若存在非零常数k,T,使得函数f(x)满足f(x+T)=f(x)+k对定义域内的任意实数x恒成立,则称函数f(x)为“k距周期函数”,其中T称为函数的“类周期”.则 (　　)
A.一次函数均为“k距周期函数”
B.存在某些二次函数为“k距周期函数”
C.若“1距周期函数”f(x)的“类周期”为1,且f(1)=1,则f(x)=x
D.若g(x)是周期为2的函数,且函数f(x)=x+g(x)在[0,2]上的值域为[0,1],则函数f(x)=x+g(x)在区间[2n,2n+2]上的值域为[2n,2n+1]
答案　AD　
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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