2024~2025学年七年级数学第二学期期中试卷（学生版）
一、单选题（共18分）
1．（本题3分）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（本题3分）下列句子：其中命题的个数是（ ）
①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（本题3分）不等式的非负整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（本题3分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（ ）
A．三个内角都大于 B．三个内角都小于
C．三个内角都不大于 D．三个内角至多有两个大于
6．（本题3分）如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（共24分）
7．（本题2分）若三角形的两条边的长度分别是3和7，则第三条边的长度x的范围是 ．
8．（本题2分）如图，，，，则 ．
9．（本题2分）已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是 ．
10．（本题2分）将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为 ．
11．（本题2分）如图是一款折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．
12．（本题2分）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则 ．（用a的代数式表示）
13．（本题2分）如图，，和分别平分和，若，，，则点到的距离是 ．
14．（本题2分）关于的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是 ．
15．（本题2分）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为 ．
16．（本题2分）如图，如果，那么的度数为 ．
17．（本题2分）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ．
18．（本题2分）如图， ，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：
①；②；③若，则；④若，则，其中为正整数．上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
三、解答题（共58分）
19．（本题5分）解不等式组：
20．（本题5分）如图，在四边形中，，为上一点，，分别平分，．求证：．
21．（本题5分）已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：分别平分与（已知），
，
，
______________________（等量代换）
，
___________．
___________//___________（___________）．
22．（本题5分）为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过305元，则最多可以购买多少支钢笔？
23．（本题6分）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②，平分平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．证明：（已知），
___________（___________），
平分（已知），
___________（角平分线的定义），
同理，___________，
（等量代换），
___________（___________）．
（___________）．
24．（本题7分）如图，于F，于，点在边上，且
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
25．（本题7分）如图，点，分别在，上，且，的平分线交于点，点在上，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
26．（本题9分）【问题解决】（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成一道习题：
如图1，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【类比探究】（2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，不变，当点移动到点的位置时，请写出之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图3，将图1的部分与图2重合，不变，当分别平分和时，请写出与之间的数量关系，并说明理由．
27．（本题9分）已知直线，点是直线上一个定点，点在直线上运动．点为平面上一点，且满足．设．
(1)如图1，当时，___________．
(2)过点作直线平分，直线交直线于点．
①如图2，当时，求的度数；
②当时，直接写出的值．试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
2024~2025学年七年级数学第二学期期中试卷
一、单选题（共18分）
1．（本题3分）如图，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：D．
2．（本题3分）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，掌握平行线的性质，是解题的关键．根据题意得，结合计算即可．
【详解】解：∵直尺的对边平行，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
3．（本题3分）下列句子：其中命题的个数是（ ）
①你喜欢数学吗？②熊猫没有翅膀；③任何一个三角形一定有直角；④作线段；⑤无论是怎样的自然数，式子的值都是质数；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题考查了命题，平行公理的推论，质数，三角形的概念理解，熟练掌握命题的定义是解题的关键．
根据命题是可以作出判断的陈述句进行分析即可．
【详解】解：①你喜欢数学吗？不是陈述句，没有作出判断，不是命题；②熊猫没有翅膀，是命题；③任何一个三角形一定有直角，是命题；④作线段，没有作出判断，不是命题；⑤无论是怎样的自然数，式子的值都是质数，是命题；⑥如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，是命题，
∴有4个命题，
故选：A．
4．（本题3分）不等式的非负整数解的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次不等式的问题，掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
先去括号，再移项和合并同类项，即可求出不等式的解集，再求出非负整数解即可．
【详解】解：
∴
∴不等式的非负整数解有0，1，2，共3个
故答案为：C．
5．（本题3分）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”时，用反证法的假设正确的是：假设（ ）
A．三个内角都大于 B．三个内角都小于
C．三个内角都不大于 D．三个内角至多有两个大于
【答案】A
【分析】本题考查了反证法．反证法是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后通过推理，推出矛盾，从而证明原命题成立．
“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“三角形的三个内角都大于”．
【详解】∵命题“三角形的内角中至少有一个角不大于”，其结论为“至少有一个角不大于”，意思是三角形的三个内角中存在一个或者多个角是小于等于的，
∴它的否定就是三角形的三个内角都大于．
∴用反证法证明该命题时，应假设“三角形的三个内角都大于”．
故选：A．
6．（本题3分）如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案．
【详解】解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
二、填空题（共24分）
7．（本题2分）若三角形的两条边的长度分别是3和7，则第三条边的长度x的范围是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查的是三角形的三边关系，已知三角形两边的长，根据三角形三边关系定理知：第三边的取值范围应该是大于已知两边的差而小于已知两边的和．据此求解即可．
【详解】解：根据三角形三边关系定理知：第三边x的取值范围是：，即．
故答案为：．
8．（本题2分）如图，，，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直的定义，几何图形中角的计算，观察图形，发现是解题的关键．根据垂直的定义可得，然后根据角度间的关系即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
9．（本题2分）已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，利用不等式的解得出关于a的不等式是解题关键．根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
【详解】解：解不等式组，得 ，
∵ 关于 x 的不等式组仅有三个整数解，即 0 ，，，
∴．
故答案为：．
10．（本题2分）将一块直角三角板按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，作，推出，得到，据此即可求解；
【详解】解：作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
11．（本题2分）如图是一款折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．
【答案】/108度
【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，过点作，根据平行线的性质求解即可，解题的关键是过拐点构造平行线．
【详解】解：如图，过点作，过点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．（本题2分）如图，将长方形纸片沿折叠后，点D、C分别落在点、的位置，的延长线交于点G，若，则 ．（用a的代数式表示）
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握，两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．先根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出．
【详解】解：∵，
∴，
∵长方形中，，
∴，
∵将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
13．（本题2分）如图，，和分别平分和，若，，，则点到的距离是 ．
【答案】
【分析】先由同旁内角互补得到，进而由两直线平行同旁内角互补得到，再由角平分线定义判定是直角三角形，过点作，如图所示，由等面积法得到，代值求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
和分别平分和，
，，
，
，即是直角三角形，
过点作，如图所示：
，
，，，
，
即点到的距离是，
故答案为：．
【点睛】本题考查求线段长，涉及平行线的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的判定和等面积法求线段长等知识，判断是直角三角形，再由等面积法求线段长是解决问题的关键．
14．（本题2分）关于的分式方程的根是正实数，则m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键．先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
∵分式方程的解为正实数，
∴且，
∴且，
解得：且，
故答案为：且．
15．（本题2分）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为 ．
【答案】30
【分析】本题考查了图形旋转性质、等边三角形判定与性质以及全等三角形判定与性质．解题关键是利用旋转性质构造等边三角形和全等三角形，进而得出角的数量关系．
连接，由旋转性质知， ，．，得是等边三角形，再证由全等三角形的性质即可得出结论答案．
【详解】连接，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴， ，．
∴是等边三角形 ，
∴，
在和中，
∴．
∴那么 ，
∵，
∴．
故答案为：30．
16．（本题2分）如图，如果，那么的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键．
由平行线的性质可得，然后根据三角形外角的性质解答即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
17．（本题2分）如图，平分，平分，的反向延长线交于点，若，则 ．
【答案】96
【分析】本题主要考查平行线和角平分线．熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差倍分计算，添加辅助线，是解题关键．
过点M作，过点E作，可得，结合角平分线的计算得，结合图形利用各角之间的数量关系得出，由已知条件求解即可得出结果．
【详解】解：如图所示，过点M作，过点E作，
∵，
∴，
∴，，，，
∵ 平分，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：96．
18．（本题2分）如图， ，点，在直线上（在的左侧），点在直线上，，垂足为，为线段上的一动点，连接，，与的角平分线交于点，且点在直线，之间的区域，下列结论：
①；②；③若，则；④若，则，其中为正整数．上述说法正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，利用平行线的性质可得，即可判断①；根据角平分的定义可得，，再根据三角形内角和定理，根据，利用平行线的性质即可判断②；设，则，利用①的结论即可判断③，同上可判断④．
【详解】解：①如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，故①正确；
②与的角平分线交于点，
∴，，
∵，由①可得，
∴
，
∵，
∴，
即，
∴，故②正确；
③设，则，
，
∵，
∴，
∴，故③错误；
④设，则，
，
，
∵，
∴，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（共58分）
19．（本题5分）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故答案为：．
20．（本题5分）如图，在四边形中，，为上一点，，分别平分，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边．利用平行线的性质结合角平分线的定义求得，，再利用等角对等边结合等量代换即可证明结论成立．
【详解】证明：∵，
∴，，
∵，分别平分，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
21．（本题5分）已知，如图，，、分别平分与，且．试说明：．（根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：分别平分与（已知），
，
，
______________________（等量代换）
，
___________．
___________//___________（___________）．
【答案】；； ； ；；内错角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，熟练掌握知识点关系是解题的关键．根据几何证明题的格式和有关性质定理，填空即可．
【详解】解：、分别平分与，
．
．
（等量代换）．
．
．
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为： ；； ； ；；内错角相等，两直线平行．
22．（本题5分）为了奖励在区模考试中进步的同学，老师将购买一些钢笔和圆规作为奖品，已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元．若购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，要求购买奖品的总价不超过305元，则最多可以购买多少支钢笔？
【答案】最多可以购买支钢笔
【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，列出不等式是关键．
根据题意，设购买了支钢笔，则圆规的数量为个，由此列式得，解不等式即可求解．
【详解】解：购买圆规的数量比购买钢笔的数量的一半还少1个，
∴设购买了支钢笔，
∴圆规的数量为个，
已知购买一支钢笔需要5元，购买一个圆规需要10元，购买奖品的总价不超过305元，
∴，
解得，，
∴最多可以购买支钢笔．
23．（本题6分）科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②，平分平分．求证：．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．证明：（已知），
___________（___________），
平分（已知），
___________（角平分线的定义），
同理，___________，
（等量代换），
___________（___________）．
（___________）．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，能正确掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据推理过程逐一填空即可．
【详解】解：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线的定义），
同理，．
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
24．（本题7分）如图，于F，于，点在边上，且
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的性质求角的度数，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键．
（1）根据平行线的判定与性质求证即可；
（2）根据平行线的性质得出，由，最后根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】（1）解：于点，于点，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
由（1）可知，
∴．
25．（本题7分）如图，点，分别在，上，且，的平分线交于点，点在上，连接并延长交于点，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理等知识；
（1）设，根据平行线的性质，角平分线的定义可求出，，，结合已知求出，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）由（1）知：，根据平行线的性质和垂直的定义可求出，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当时，由（1）知：，
∵，，
∴，
∴，
∴．
26．（本题9分）已知直线，点是直线上一个定点，点在直线上运动．点为平面上一点，且满足．设．
(1)如图1，当时，___________．
(2)过点作直线平分，直线交直线于点．
①如图2，当时，求的度数；
②当时，直接写出的值．
【答案】(1)；
(2)①，②的值为或或或．
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识，熟练应用平行线的性质进行计算是解决本题的关键．
（1）延长与相交于点，根据平行线的性质可得，再根据三角形外角定理可得，代入计算即可得出答案；
(2)①延长与相交于点，根据角平分线的性质可得出的度数，再根据三角形外角定理可得，即可得出的度数，再根据平行线的性质即可得出答案；
②分四种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：延长与相交于点，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①延长与相交于点，如图4，
∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
如图，过点作，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
如图，过点作，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
综上，的值为或或或．
27．（本题9分）【问题解决】（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成一道习题：
如图1，如果，那么（ ）
A． B． C． D．
【类比探究】（2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，不变，当点移动到点的位置时，请写出之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图3，将图1的部分与图2重合，不变，当分别平分和时，请写出与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
（1）利用平行线的可得，，进而得出；
（2）过点M作，利用平行线的可得，，进而得出；
（3）充分利用（1）（2）中的结论，即可得到．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：；
（2）过点M作，如图，
则有，
∵
∴
∴，
∴
∴；
（3）由（1）得，
由（2）得，，
∵分别是的平分线，
∴，，
∴，
∴．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
