2025年云南省昆明一中高考数学第八次联考试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知非零向量满足，若与的夹角为，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.安排名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同的安排方法总数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.在中，，则( )
A. B. C. D.
6.已知某种水果的保鲜时间单位：小时与温度单位：近似满足函数关系为常数，为自然对数底数，若该品种水果在时的保鲜时间为小时，在时的保鲜时间为小时，则在时，该种水果的保鲜时间约为( )
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.已知正三棱锥的底面边长为，高为，球在正三棱锥的内部，则球体积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知圆：上的两点、到直线：的距离分别为，，且若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.随机事件，满足，下列说法正确的是( )
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 是偶函数 B. 是的一个周期
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减
11.卡西尼线型，特别是卡西尼卵形线，在天文学和航天工程中有广泛的应用，最初是在研究土星及其卫星的运动规律时发现的，土星的环和某些卫星的轨道轨迹可以通过卡西尼卵形线来描述，这些卵形线是卫星围绕土星运动的轨迹而在数学领域，卡西尼卵形线是解析几何中研究的重要曲线之一，我们把平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线现已知平面内有一卵形线，则下列说法正确的是( )
A. 曲线过原点
B. 曲线既是中心对称图形又是轴对称图形
C. 曲线上点的横坐标的取值范围是
D. 曲线上任意一点到原点距离的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为______．
13.某研究性学习小组针对“使用大绿书的用户是否存在性别差异”，向个人进行调查用表示所有调查对象构成的集合以为样本空间建立古典概型，并定义一对分类变量和如下：对于中的每一名学生，，现得到下表：
是大绿书的用户 不是大绿书的用户
男性
女性
若根据的独立性检验认为其中，则的最小值为______参考公式：，其中
14.已知函数，若图象上存在四点构成正方形，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
小明同学用“五点法”作函数在某一周期内的图象时，列表并填入部分数据如下表：
求的解析式，并说明函数的图象由的图象经过怎样的变换得到？
解不等式．
16.本小题分
已知直线：与椭圆交于，两点．
若直线过椭圆的左焦点，求；
设线段的垂直平分线与轴交于点，求．
17.本小题分
如图，已知三棱锥中，，，且．
若，求证：；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，判断的单调性；
若函数在处取得极小值，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列的首项．
证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
若恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：由表格知，解得，
所以．
把函数的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象．
由可得，得，
所以，
解得，，
所以不等式的解集为．
16.解：因为椭圆，
所以，
可得椭圆的左焦点，
此时直线的方程为，
设，，
联立，消去并整理得，
所以，
则；
设，，的中点，
联立，消去并整理得，
所以，
可得，
因为线段的垂直平分线与轴交于点，
所以线段的垂直平分线方程：，
所以，
解得，
此时满足，
所以．
则．
17.解：证明：因为，，，
所以≌，所以，
假设是的中点，连接，，又，
则有，，又，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以；
过点分别做，，平面，垂足分别为，，，
连结，，，因为，则有≌，
所以，又≌，所以，
因为，，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，同理，
所以≌，
又，所以，
所以，且，过点做平面，
如图所示，以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，
如图建立空间直角坐标系，由题知，，，
，
所以，
设平面的法向量为，
则，则，所以，
可取；
设平面的法向量为，
则，则，所以，
可取，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面的夹角的余弦值为．
18.解：当时，，
则，
令，解得或．
令，解得，所以在上单调递减；
令，解得或，即在，上单调递增．
综上，函数在，上单调递增，在上单调递减．
由求导得，
当时，恒成立，
令，解得，即在上单调递减；
令，解得，即在上单调递增，
故时，函数在处取得极小值，符合题意；
当时，令，解得，，且，
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，符合题意．
当时，令，解得，此时恒成立且不恒为，
单调递增，故函数无极值，不符合题意．
当时，令，解得，，且，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，不符合题意．
综上，实数的取值范围是．
19.解：证明：已知数列的首项．
所以，
又因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
所以．
因为，
所以等价于，
即，令，则，
所以当时，，
所以为减函数，
而，
又因为恒成立，所以，
所以实数的取值范围为．
证明：令，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以当时，，
所以，
又因为，
所以，
所以，
将上式累加，得：，
所以，
所以，
故成立．
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