2024-2025学年福建省厦门双十中学高一下学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部是( )
A. B. C. D.
2.设都是非零向量，下列四个条件，使用成立的充要条件是( )
A. 与同向 B. C. 且 D.
3.在中，内角，，所对的边分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
4.镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子平面镜置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离为( )
A. B. C. D.
5.已知单位向量，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，，若最大边的边长为，则最小边的长为( )
A. B. C. D.
7.是斜边上一点，若，，则的值( )
A. B. C. D.
8.已知为的外接圆圆心，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.复数，则下列说法正确的有( )
A. 在复平面内对应的点都位于第四象限 B. 在复平面内对应的点在直线上
C. D. 的最小值为
10.已知中，，则( )
A. 若，则有两解
B. 若是钝角三角形，则
C. 若是锐角三角形，则
D. 的最大值是
11.如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为，点是直线上一个动点，过点作，交直线于点，，则( )
A. B. 面积的最小值是
C. D. 存在最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是虚数单位，，则 ．
13.在中，为中点，若，则实数的值为 ．
14.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知点，，．
若，，三点共线，求；
若，求．
16.本小题分
如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以海里时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以海里时的速度与货船在处会合．
求的长；
试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？
17.本小题分
已知锐角的内角，，，所对的边分别为，，，且．
求角；
若锐角外接圆的半径为，求的取值范围．
18.本小题分
在中，，的面积为，为的中点，于点于点．
求的面积；
若，求的值．
19.本小题分
对于平面向量，定义“变换”：，
若向量，，求；
求证：；
已知，，且与不平行，，，求证：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为点，，，
则，，
由，，三点共线，得，
则，解得，即，
所以．
因为点，，，
则，，
，
由，得，
解得，所以，
故．
16.解：根据题意可得．
因为海里，海里，
所以根据余弦定理可得海里．
由余弦定理可得，则，
所以．
设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里．
在中，解得或舍去，
故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为小时．
17.在三角形中，由题意，
再由正弦定理可得：，而，
锐角三角形中，，
所以，即，
所以；
由正弦定理可得，
所以，
故，
又，所以，
解得，
所以
，又，所以，
所以，
所以的取值范围为．
18.在四边形中，，，
故，
故，
作于点，于点，
又为的中点，
则，
，
故．
设的三条边，，分别为，，，
由，知，
延长到点，使，连接，
则，，
则在中，，，
故由与可得，，则，
，则，
由正弦定理得，
则．
19.解：因为向量，
所以，
所以．
因为 ，
所以，
，
，
，所以．
方法一：，
，
由可得，
又因为
，即，
可得，
且在内单调递减，，
可知，
所以，
所以．
方法二：已知，
，
因为，
，
所以
，
则，
所以．
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