7.4二元一次方程组与一次函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
2．用图像法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像（如图），则所解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．下列哪个方程组的解组成的有序数对是一次函数y＝2－x和y＝3x＋2的图象的交点坐标（ ）
A． B．
C． D．
4．一次函数与图象的交点为，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
5．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数与图象的交点坐标是，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，直线和直线相交于点，则关于x，y的方程组，的解为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知直线与直线都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，P为y轴上任意一点，连接，以下说法错误的是（ ）
A．的面积为 3 B．当的值最小时，点P的坐标为
C．为直角三角形 D．方程组的解为
9．用图象法解二元一次方程组时，小亮所画图象如图所示，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
10．已知直线与相交于点，则关于，的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x、y的二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，直线与相交于点，则方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若一次函数y=x+1的图象与x轴相交于A，一次函数y=-2x+4的图象与x轴相交于点B，两个一次函数的图像相交于C，则△ABC的面积为 ．
14．二元一次方程组的解为，则一次函数与的交点坐标为 ．
15．已知函数与的交点坐标为，则方程组的解为 ．
16．若方程组的解是，则直线与交点的坐标为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，若直线与x轴、y轴分别交于点A，B， 则的面积为 ．
三、解答题
18．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线与直线：相交于点A，动点M在线段和射线上运动．
(1)求直线的解析式．
(2)求的面积．
(3)是否存在点M，使的面积是的面积的，若存在求出此时点M的坐标；若不存在，说明理由．
19．已知与成正比例，且当时，．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若点在该函数的图象上，求的值；
(3)设点在轴负半轴上，（2）中的图象与轴、轴分别交于，两点，且，求点的坐标．
20．如图，直线：与直线：相交于点A，直线与y轴相交于点B，直线与y轴负半轴相交于点C，，点A的纵坐标为3．
(1)求直线的解析式；
(2)若D是直线上一点，且点D的横坐标为1，求的面积．
21．在数学拓展课上，智慧小组通过数形结合的思想进一步研究二元一次方程组和一次函数之间的关系．
已知二元一次方程组
(1)补全表格：
表格1
表格2
通过观察表格1和表格2可知方程组的解为________．
(2)分别将表格1、表格2中的每组数值，作为点的横坐标和纵坐标，在图1的平面直角坐标系中描出表格内各点，再顺次连接各点，并写出一条你所获取的信息．
(3)实践小组将和（，为常数）两个方程的解按照上述方法在平面直角坐标系中绘制的图象如图2所示，两直线交于点．直接写出方程组的解，并求出，的值．
22．如图，一次函数与的图象相交于点．
(1)求点A的坐标及m的值；
(2)若一次函数与的图象与x轴分别交于点B，C，求的面积．
23．如图，直线的函数解析式为y＝2x－2，直线与x轴交于点D，直线：y＝k x＋b与x轴交于点A，且经过点B，如图所示，直线，交于点C(m，2)．
(1)求点C、点D的坐标；
(2)求直线的函数解析式；
(3)求△ADC的面积；
(4)利用函数图像写出关于x、y的二元一次方程组的解．
24．为了合理利用防疫物资，省防疫指挥部积极在各个地区之间进行物资调配，甲、乙两辆车沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为，甲、乙两车前进的路程分别为、，甲车出发后的时间为，甲、乙两车前进的路程与时间的函数图象如图所示，根据图象信息回答下列问题：
(1)甲的速度是________，乙比甲晚出发_________h；
(2)请你分别求出甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式；
(3)甲经过多长时间被乙追上？此时两人距离B地还有多远？
《7.4二元一次方程组与一次函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D A A B A A
题号 11 12
答案 C B
1．D
【分析】先确定两个函数的交点坐标，再把交点坐标逐一代入方程组进行检验，从而可得答案．
【详解】解：由函数图象可得交点坐标为：，
∴把代入，不满足两个方程，故A不符合题意；
把代入，不满足第一个方程，故B不符合题意；
把代入，不满足两个方程，故C不符合题意；
把代入，满足两个方程，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解与函数的交点坐标之间的联系，掌握函数交点的坐标就是对应的方程组的解是解本题的关键．
2．B
【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得．
【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为，
将点代入，
可得，解得，
则这个一次函数的解析式为，
同理可得：另一个一次函数的解析式为，
则所解的二元一次方程组为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
3．B
【解析】略
4．D
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，满足函数解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点就一定满足函数解析式，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可得到答案．
【详解】解：一次函数与图象的交点为
方程组的解是，
故选：D ．
5．D
【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可．
【详解】解：∵二元一次方程组的解为，
∴直线l1：y=x+5与直线l2：y= x-1的交点坐标为（-4，1）．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
6．A
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两直线的交点横纵坐标即为联立两直线解析式得到的方程组的解，据此可得答案．
【详解】解：∵一次函数与图象的交点坐标是，
∴方程组的解是，
故选：A．
7．A
【分析】根据直线和直线相交于点，即可确定方程组，直接求解即可．
【详解】解：根据题意，可得方程组，
根据函数图像与方程组解的关系可知，函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解，则根据直线和直线相交于点得，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握两者之间的关系：函数图像的交点坐标就是联立函数解析式构成的方程组的解是解题的关键．
8．B
【分析】求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；根据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，即可得到当的值最小时，点P的坐标为；利用勾股定理的逆定理进行判断；根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解．
【详解】A、把，代入直线，
可得，解得，
∴直线，
令，则，
∴，
∴．
把代入直线，
可得，解得，
∴直线，
令，则，
∴，
∴，
∴，
故本选项正确，不符合题意；
B、点A关于y轴对称的点为，
由点C、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
∴当的值最小时，点P的坐标为，
故本选项错误，符合题意；
C、∵，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，
故本选项正确，不符合题意；
D、∵直线与直线都经过，
∴方程组的解为，
故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数的图象与性质，勾股定理，三角形的面积以及轴对称---最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
9．A
【分析】根据两直线的交点就是二元一次方程组的解即可得答案．
【详解】解：根据图象可得：
点是两个函数的图象的交点，
故二元一次方程组的解为：，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握两直线的交点就是二元一次方程组的解是解题的关键．
10．A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数解析式组成的二元一次方程组的解．
首先把代入，求出的值，进而得到点坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数的解析式组成的二元一次方程组的解可得答案．
【详解】解：直线经过点，
，
解得，
，
关于，的二元一次方程组的解为，
故选：A．
11．C
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据两条直线的交点的横纵坐标即为对应的方程组的解，即可得出结果．
【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1，
把代入，可得，
故关于x、y的二元一次方程组的解为，
故选：C．
12．B
【分析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象的交点坐标．
把点代入求出的值，根据函数图象交点的坐标就是函数解析式组成的方程组的解，得出交点坐标．
【详解】解：把点代入，
得：，
∴点，
∵直线与相交于点，
∴方程组的解是．
故选：B．
13．3
【分析】首先求得点A，B，C的坐标，然后利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由y=x+1，当y=0时，x+1=0，解得x=-1，
所以点A（-1，0），
由y=-2x+4，当y=0时，-2x+4=0，解得x=2，
所以点B（2，0），
解方程组，得，
所以S△ABC=×(2+1)×2=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了两条直线相交的问题，求两条直线的交点坐标时通常联立后组成方程组求解．
14．
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，结合本题，那么两个一次函数的图象交点的坐标就是方程组的解，据此即可解答．
【详解】∵二元一次方程组的解为，
∴一次函数与的交点坐标为．
【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程(组)的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
15．/
【分析】根据两个一次函数图象的交点坐标为两个函数解析式组成的方程组的解，即可得出答案．
【详解】解：方程组可变为：，
函数与的交点坐标为，
方程组的解为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解题的关键是掌握两个一次函数图象的交点坐标与两个函数解析式组成的方程组的解之间的关系．
16．/
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标．
【详解】解：∵方程组的解是，
∴直线与的交点坐标是．
故答案为：．
17．9
【分析】分别令，，求出A、B两点坐标，再利用三角形面积公式即可求出面积．
【详解】当时，，
∴B点坐标为，即，
当时，，
∴A点坐标为，即，
∴,
故答案为：9．
【点睛】本题考查了求一次函数图象与坐标轴形成的三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键．
18．(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）先求出点A的坐标，再根据进行求解即可；
（3）先根据已知条件结合三角形面积公式求出，然后分，两种情况代入相应的函数解析式中即可求得M的坐标．
【详解】（1）解：设直线的解析式是，
根据题意得：，
解得：，
∴直线的解析式是：；
（2）解：联立，解得，
∴点A的坐标为，
∴；
（3）解：∵的面积是的面积的，
∴
∴，
当时，
在中，当时，，则M的坐标是；
在中，当则，则M的坐标是．
∴M的坐标为或；
当时，
在中，当时，，则M的坐标是；
综上所述：M的坐标为M的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，利用M点横坐标为分别求出是解题关键．
19．(1)
(2)
(3)点坐标为
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能够结合图象求三角形面积是解题的关键．
（1）由已知，设，再将，代入表达式即可求的值；
（2）将点代入解析式即可求；
（3）求出、点坐标，设点，，根据三角形面积公式可得，，解出即可．
【详解】（1）解：由与成正比例，则设，
当时，，
，
，
；
（2）解：点在该函数的图象上，
，
；
（3）解：与轴、轴的交点为，，
点在轴负半轴上，
设点，，
，
或，
，
．
20．(1)
(2)18
【分析】（1）根据轴上点的坐标特征可求点坐标，再根据，可求点坐标，根据点的纵坐标为3，可求点坐标，根据待定系数法可求直线的解析式；
（2）根据点的横坐标为1，可求点坐标，再用长方形面积减去3个小三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
，
，
，
点的纵坐标为3，
，解得，
，
则，解得．
故直线的解析式为；
（2）在中，令，则，
∴，
的面积．
【点睛】本题考查了两直线的相交问题，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．
21．(1)补全表格见解析，
(2)是 与的交点
(3)，
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系；
（1）根据函数解析式补全表格，进而根据表格得出方程组的解；
（2）根据表格画出函数图象，进而根据函数图象，写出一条所获取的信息．
（3）根据两直线交点坐标，得出方程组的解，进而得出关于的二元一次方程组，解方程组，即可求解．
【详解】（1）解：补全表格：
表格1
表格2
通过观察表格1和表格2可知方程组的解为
故答案为：．
（2）解：如图所示，
根据图象可得，是 与的交点；
（3）解：根据函数图象可得和的交点为
∴方程组的解
∴原方程组为：
解得：
22．(1)；
(2)
【分析】（1）把点的坐标分别代入一次函数解析式中，即可得出二元一次方程组，解出即可得出结果；
（2）首先根据一次函数解析式，分别得出点B、C的坐标，进而得出的长，再根据（1）中点A的坐标，得出三角形的高，再根据三角形的面积公式，计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数与的图象相交于点
∴把点分别代入一次函数与，
可得：，
解得：，
∴点的坐标为，
（2）解：∵根据（1）可得：一次函数解析式为与，
又∵一次函数与的图象与x轴分别交于点B，C，
∴当时，，解得：，
即点的坐标为，
∴当时，，解得：，
即点的坐标为，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数图象交点的求法、一次函数与几何问题，求出点的坐标是解本题的关键．
23．(1)C(2，2)，D(1，0)
(2)y＝-x＋4
(3)3
(4)
【分析】（1）求函数值为0时一次函数y=2x-2所对应的自变量的值即可得到D点横坐标，把C(m，2)代入y=2x-2求出m得到C点坐标；
（2）把C、B坐标代入y=kx+b中，利用待定系数法求直线的解析式；
（3）将y＝0代入y＝-x＋4求出A点坐标，进而求出AD的长度，最后即可计算面积；
（4）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解．
【详解】（1）∵直线、交于点C(m，2)，
∴把C(m，2)坐标代入y＝2x－2中，
得2＝2 m－2，
∴m＝2，则C(2，2)，
又直线与x轴交于D点，故2x－2＝0，
∴ x＝1，则D(1，0)．
（2）把点B(3，1)、C(2，2)代入直线：y＝k x＋b，
得 ，
解得，
∴直线的解析式为：y＝－x＋4．
（3）把y＝0代入y＝-x＋4中，
得-4x＝0，
x＝4，
∴A(4，0)，
又∵D(1，0)，
则AD＝4-1＝3，
又∵C(2，2)，
∴．
（4）由图象知，点C的坐标即方程组 的解，
∴．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），解决本题的关键是方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
24．(1)50；1
(2)；
(3)甲经过被乙追上；此时两人距离B地还有
【分析】（1）根据甲在通过的路程为求出甲的速度即可；根据图象即可得出乙比甲晚出发的时间；
（2）用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）令，求出t的值，求出此时行驶的路程，用总路程减去行驶的路程即可得出此时两人距离B地的距离．
【详解】（1）解：甲的速度是；
乙比甲晚出发；
故答案为：50；1．
（2）解：设甲、乙两人前进的路程、与甲出发后的时间之间的函数关系式分别为：，，
把代入得：，
解得：，
∴；
把，代入得：，
解得：，
∴；
（3）解：令，
解得：，
∴甲经过被乙追上；
把代入得：，
，
∴此时两人距离B地还有．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法，数形结合．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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