期中同步练习卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，设，，所对的边分别为，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．若线段，点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在梯形中，，点E，F分别在上，且，若，则（ ）
A．3 B．5 C．6 D．9
5．如图，点E，F，G，H分别在菱形的四条边上，，，，连结，，，．设，四边形的面积为y，则下列图象能反映与y与x之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图中，，，是的重心，于，则的长为（ ）
A．2 B． C．1.5 D．
7．如图，正方形中，点F是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．若，则的值为 ．
9．抛物线的顶点坐标为 ．
10．如图是跷跷板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为 ．
11．如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示）
12．如图，矩形中，，连接，，是上一点，且，在图中画出点位置，求的长为 ．是上一点，若和相似，则的长度为 ．
13．如图，河坝横断面迎水坡的坡度是，水平宽度，则坡面的长度是 米．
14．将三角形纸片按如图所示旳方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为（点E、F分别在边、上），已知，．若以，F，C为顶点的三角形与相似，则的长度是 ．
15．足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系．
0 1 2 3 4 5 6 7 ．．．
0 8 14 18 20 20 18 14 ．．．
如上表：下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是．其中正确的结论是 ．
三、解答题
16．求下列各式的值
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，求的长．
18．如图，一小球M从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画，若小球到达的最高的点坐标为，解答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)在斜坡上的B点处有一棵树，树与y轴平行，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？
19．某商场将进价为20元的热水壶以30元售出，平均每天能售出10个，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种热水壶的售价每降低1元，平均每天就能多售出5个．
(1)当每个热水壶的售价为28元时，平均每天能售出________个热水壶，每天的总利润是________元．
(2)假设每个热水壶降价x元，商场每天销售这种热水壶的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式．
(3)每个热水壶降价多少元时，商场每天销售这种热水壶的利润最高？最高利润是多少元？
20．如图，点E是矩形的边的中点，F是边上一动点，线段和相交于点P，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)当点F是的中点时，线段与存在怎样的数量关系？请说明理由．
21．已知：中，．
(1)如图1，如果点D在线段的延长线上，点E在线段上，，与交于点F，且．
①图1中是否存在着与的相等的角？如果存在，写出与的相等的角，并写出简要的证明过程：如果不存在，请简述理由；
②求证：；
(2)如图2，如果点D在线段上，点E在线段的延长线上，，的延长线交于点F，当，，时，求的长（用含k的代数式表示）．
22．综合与探究
如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标；
(2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标．
(3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
《期中同步练习卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C B C A B D
1．C
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键．根据平移法则：左加右减，上加下减，由此即可得出答案，
【详解】将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得图象的函数表达式是：
故选：C
2．C
【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题．
【详解】解：由题意，可画图如下：
A、，选项结论错误，不符合题意；
B、，选项结论错误，不符合题意；
C、，选项结论正确，符合题意；
D、，选项结论错误，不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较长的线段=原线段的．根据黄金分割点的定义和得出，代入数据即可得出的长度进而求出结论．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且，
则，
．
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例可得结论．
【详解】解：∵，，
∴
∴
∵，
∴，
∴
故选：C．
5．A
【分析】过点作交于，利用菱形的性质证出是等边三角形，，得到，，，推出四边形是矩形，利用表示出、的长，再根据和锐角三角函数的知识得到，利用矩形的面积公式得到y与x之间的函数关系，再根据二次函数的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，过点作交于，
菱形，，
，，，
又，
是等边三角形，，
，，，
，
，
同理可得：，
四边形是矩形，
，，
，，
，，
，，
在中，，
，
，
矩形的面积，
，其中，
结合选项可知，只有A选项符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、矩形的性质与判定、特殊角的三角函数值、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点，学会利用图形的性质表示出线段长度是解题的关键．
6．B
【分析】连接并延长，与交于点，利用勾股定理求出的长，再根据重心的性质求出的长，最后利用三角函数即可解决问题．
【详解】解：连接并延长，与交于点，
，且是的重心，
，．
，
．
在中，，
．
在中，．
在中，，
，
即，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理，熟知三角形重心的性质及勾股定理是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的性质，①由正方形与正方形，得到，根据等式的基本性质确定出；②再根据正方形的对角线等于边长的倍，得到两边对应成比例，再根据角度的相减得到夹角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断；③根据两角相等的两个三角形相似得到，相似得比例，根据，代换即可作出判断；④由相似三角形对应角相等得到，可得出在正方形对角线上，根据正方形对角线垂直即可作出判断．
【详解】解：①∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴选项①正确；
②∵四边形和四边形均为正方形，
∴，
∴，
∴，，即，
又∵，
∴，
∴，
∴选项②正确；
③∵四边形和四边形均为正方形，为对角线，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴选项③正确；
④由②知，
又∵四边形为正方形，为对角线，
∴，
∴在正方形另外一条对角线上，
∴，
∴④正确，
故选：D．
8．
【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，代入根据比例的性质化简即可．
【详解】解：设，
故答案为．
9．
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
10．60
【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，过作垂直于地面，则，得到，即可得到．
【详解】解：如图，过作垂直于地面，
∵O是的中点，垂直于地面，垂直于地面，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴另一端B离地面的高度为，
故答案为：60．
11．
【分析】此题主要考查了梯形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，连接，并延长交的延长线于，证明得，根据得，进而得，则，然后再根据得，由此可证明和相似，则，据此可得的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造相似三角形是解决问题的难点．
【详解】解：连接，并延长交的延长线于，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
12． ； 或．
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质，等角对等边等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是矩形，则，，，故有，根据角度和差及三角形的内角和得出，从而，通过勾股定理求出，则，再分当时和当时两种情况分析即可．
【详解】解：如图，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，
如图，当时，
∴，
∴，
∴；
如图，当时，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；或．
13．6
【分析】本题考查解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义可得，进而可得的值，再根据勾股定理可得答案．
【详解】解：迎水坡的坡度是，
，
∵水平宽度，
，
，
故答案为：6．
14．或
【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质；设，①当时，由相似三角形的性质得，即可求解；②当时，同理可求；掌握折叠的性质，相似三角形的性质，能根据对应点的不同进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：设，则，
由折叠得：，
①当时，
，
，
解得：；
②当时，
，
，
解得：；
综上所述：的长度是或；
故答案为：或．
15．②③
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质逐个判断即可得．
【详解】解：设抛物线的解析式为，
将点，和代入得：，解得，
则，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为，则结论①错误；
二次函数的对称轴为直线，则结论②正确；
当时，，解得或，
所以足球被踢出时落地，则结论③正确；
当时，，则结论④错误；
综上，正确的结论是②③，
故答案为：②③．
16．(1)
(2)
(3)1
(4)
【分析】（1）根据绝对值的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函数值化简计算即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入，然后根据二次根式的性质，绝对值的意义等求解即可；
（3）将特殊角的三角函数值代入求解即可；
（4）将特殊角的三角函数值代入求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及到特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．的长为或2或10．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．一元二次方程的解法．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：若，
∴，
设，
∵，，，
，
解得；经检验符合题意，
若，
∴，
设，
∵，，，
，
解得；经检验，符合题意，
综上所述，的长度为或2或10．
18．(1)
(2)小球M能飞过这棵树
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合及实际应用，求出抛物线的解析式是解题的关键
（1）根据顶点坐标设顶点式，将原点坐标代入，即可求解；
（2）计算出树的顶点的纵坐标，以及时抛物线上对应点的纵坐标，比较大小即可．
【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线经过原点O，
，
解得，
，
即抛物线的解析式为；
（2）解： B点的横坐标为2，B点在斜坡上，
B点的纵坐标为，
树高为4，树与y轴平行，
树的顶点的纵坐标为：，
将代入，得：，
，
小球M能飞过这棵树．
19．(1)20，160
(2)
(3)每个热水壶降价4元时，商场每天销售这种热水壶的利润最高，最高利润是，180元．
【分析】此题考查二次函数的实际应用，熟记销售问题的售价、进价、利润三者之间的关系是解题的关键．
（1）根据售价每降低1元，平均每天就能多售出5个可求出热水壶的销量；根据总利润=每台的利润销售台数可求出每天的总利润；
（2）总利润=每台的利润销售台数，根据公式即可列出关系式；
（3）将（1）的函数关系式配方为顶点式，即可得到答案．
【详解】（1）解：个，
元．
故答案为：20，160；
（2）解：由题意得：；
（3）解：，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，y取得最大值180，
∴每个热水壶降价4元时，商场每天销售这种热水壶的利润最高，最高利润是180元．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找到多组相似三角形：
（1）先将化为，根据两边对应成比例且夹角相等即可证明；
（2）证明，得到，代入数据即可求解；
（3）延长，交于点，设，则，由得到，那么，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵点E是矩形的边的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：延长，交于点，
∵四边形是矩形，点F是的中点，
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．(1)①，证明见解析；②见解析
(2)
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线等分线段定理、全等三角形的判断与性质、相似三角形的判断与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）①运用等腰三角形的性质及三角形的外角性质即可解答；②如图1：过点E作，交于点G，要证，只需证，由可证到，只需证到即，即；再证明即可解决问题；
（2）如图2：过点E作，交的延长线于点G，易证则，，即，再证，则有．由可得．从而可以求得．．易证，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可．
【详解】（1）解：①，证明如下：
证明：∵，，
∴，．
∴．
②如图1：过点E作，交于点G，则有．
在和中，
，
∴，
∴，．
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴．
∵，
∴．
（2）解：如图2：过点E作，交的延长线于点G，
∵，，
∴，．
∴．
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，解得：．
∴．
∵，
∴．
∴，即，解得：．
22．(1)二次函数的表达式为，点的坐标为
(2)，点的坐标为或或或
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】（）利用待定系数法可求出二次函数的表达式，再根据二次函数的表达式可求出点的坐标；
（）利用点坐标可求出的面积，设点的纵坐标为，进而根据两个三角形面积相等列出方程求出的值，再代入二次函数表达式求出点的横坐标即可求解；
（）求出二次函数的对称轴为直线，设，分点为等腰的顶点和点为等腰的顶点两种情况，根据等腰三角形的性质、两点间距离公式列出方程解答即可求解．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∵当时，，
∴点的坐标为；
（2）解：∵，，，
∴，，
∴，
设点的纵坐标为，
∵与的面积相等，
∴，
∴，
∴，
当时，由，解得，，
∴或；
当时，由，解得，，
∴或；
综上，点的坐标为或或或；
（3）解：存在．
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
当点为等腰的顶点时，，
则，
解得，
∴或；
当点为等腰的顶点时，，
则，
解得或，
∴或；
综上，对称轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的几何应用，等腰三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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