第7章锐角三角函数同步练习卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在中，，则下列三角函数值计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．用一金属圆柱体材料切削加工成横截面是正六边形的螺帽，其形状和尺寸如图所示，则该金属圆柱体材料的底面直径长至少是（ ）
A．2 B． C． D．
3．如图，在四边形中，，，若点M，点N分别在边和边上运动，且，连接，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．一辆汽车的后窗有一种特殊形状的雨刮器，忽略雨刮器的宽度，可将其抽象为一条折线（与水平线平行），如图1，量得连杆长为，雨刮杆长为，．若启动一次雨刮器，雨刮杆正好扫到的位置（与水平线平行），如图2，则在此过程中，雨刮杆扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在菱形中， 点E，F分别是， 的中点， 连接， ．若 ，， 则的长为（ ）
A． B． C． D．6
6．如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．计算： ．
9．如图是一个学校司令台的示意图，司令台离地面的高为3米，平台的长为2米，用11米长的地毯从点A到点C正好铺满整个台阶（含各级台阶的高），那么斜坡的坡比是 ．
10．如图，正方形中，，是边的中点，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，（1）当点A、E、O三点共线时， ，（2）线段长的最小值为 ．
11．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，相交于点E，则的正切值为 ．
12．如图，在矩形中，是边上两点，且，连接，与相交于点，连接．若，，则的值为 ．
13．如图所示是某同学“抖空竹”的一个瞬间．已知绳子分别与空竹相切于点，且，连接左右两个绳柄，经过圆心，分别交于点，经测量，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
14．计算：
15．窗花是我们节日装饰的元素之一．如图是一个花瓣造型的窗花示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点所在圆的圆心恰好是的内心，．
(1)求证：为等边三角形．
(2)求窗花的周长（图中实线部分的长度）．（结果保留）
16．如图，在ABC中，，以为直径作交于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点．
(1)求证：与相切；
(2)若，，求的长．
17．如图，在四边形中，，对角线交于点平分，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
18．如图1，图2，在中，，点E为边上一点（包括端点），经过点E，点C作，总满足与相切于点E，设的半径为r．
(1)通过计算判断与的位置关系；
(2)如图2，当点O落在上时，
①求r的值；
②求落在内部的弧的弧长（包括端点）；
(3)直接写出r的取值范围．
19．如图，在直角三角形中，，，，动点以个单位每秒的速度沿的线路运动，交于点．设运动时间为秒，三角形的周长记为，与的比值记为．
(1)请直接写出、分别关于的函数表达式，并注明的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；
(3)请结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）
20．（1）问题提出：如图①，在平行四边形中，，．E，H分别是，的中点，点F在上，且，点G在上，且，求四边形的面积（结果保留根号）；
（2）问题解决：如图，某市有一块五边形空地，现规划在空地内部修建一个四边形公园，使点O，P，M，N分别在边，，，上，且满足，．已知在五边形中，，，，，为使游客更好的放松游玩，公园的边，且面积尽可能大．请问是否存在符合设计要求的面积最大的四边形？若存在，求出四边形面积的最大值及此时点到点A的距离；若不存在，请说明理由．
《第7章锐角三角函数同步练习卷-2024-2025学年数学九年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B C B A A A C
1．B
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，先求出，然后根据锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，，，，
∴A，C，D错误，B正确．
故选B．
2．C
【分析】题考查了圆与正六边形的相关知识，解直角三角形，掌握圆内接正六边形的相关性质是解题的关键．
根据如图所示的螺帽，可得到该螺帽的边心距，再通过构造直角三角形和利用正六边形的性质，求出半径的长，即可求出直径的长．
【详解】解：如图，设点O为正六边形的中心，过点O作垂直于正六边形的边，C为垂足，连接，
由题意得，
∴
∴该金属圆柱体材料的底面直径长至少是，
故选：C．
3．B
【分析】作的平分线交于点O，连接，交于点F．通过证明三角形全等、相似，利用全等三角形、相似三角形的性质及勾股定理，最后得结果．
【详解】解：如图：作的平分线交于点O，连接，交于点F．
则，
在和中，
，
，
，
在和中，
，，
，
，，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
又，
，
，
，
过点O作于E，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当取最小值时的值最小，
点O为定点，
当时的值最小，
，
的最小值为的值，
，
的最小值为，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查旋转的实际应用，解直角三角形，不规则图形的面积，根据得出是解题的关键．
连接，过点O作交的延长线于点E，通过解直角三角形求出大圆O的半径，证明，得出，进而可得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点O作交的延长线于点E，
由旋转知，经过点O，且，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
故选A．
5．A
【分析】延长，交于点M，证明，，可得，过E点作于N点，结合可得，，，再进一步可得答案.
【详解】解：延长，交于点M，
在菱形中，点E，F分别是，的中点，
，，，，
在和中
，
，
，
在和中
，
，
，，
过E点作于N点，
，，
，，
，
，
在中
，
即，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，运用三角函数解直角三角形，勾股定理等，正确添加辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
6．A
【分析】本题主要考查了勾股定理、余弦的定义等知识点，得到是解决本题的关键．
如图：由题意得，，从而得出，设，则，由勾股定理得出，最后代入计算即可．
【详解】解：如图：
由题意得：，，
∴，
设，则，
，
∵在中，，
∴．
故选：A．
7．C
【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，三角函数，过点作轴于，过点作轴于，易得，即得，又根据反比例函数比例系数的几何意义可得，，进而根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，最后由正切函数的定义即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．5
【分析】本题考查了负整数指数幂，含特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值以及负整数指数幂，再运算加法，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：5．
9．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，生活中的平移现象，准确熟练地进行计算是解题的关键．
过点作，垂足为，四边形是矩形，从而可得：米，米，再根据已知可得：米，然后利用坡比的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，四边形是矩形，
米，米，
由题意得：（米），
斜坡的坡比为，
故答案为：．
10． / /
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形，熟练的利用正方形的性质证明三角形全等是解题的关键．
（1）利用正切函数的定义即可求解；
（2）证明，推出，，延长到点，使得，连接，证明，推出，当最小时，、、三点共线，据此求解即可．
【详解】解：（1）当点A、E、O三点共线时，是边的中点，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
由于，所以点可以看作是以为圆心，2为半径的半圆上运动，
延长到点，使得，连接，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
当最小时，、、三点共线，
，
∴
∴线段长的最小值为．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，求一个角的正切值，正确添加辅助线是解题的关键．
取格点H，连接，可根据勾股定理逆定理证明，由勾股定理得，显然，那么，由勾股定理得，再由正切定义即可求解．
【详解】解：取格点H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，求角的余弦值．根据矩形的性质可证，得到，，如图所示，过点作于点，可证，，，，在中由勾股定理得到的长，再根据余弦的定义计算即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作于点，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，且，
∴在中，，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积等，连接，可证，得到，，利用三角函数可得，即得，得到，最后根据即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，点为切点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简各个特殊角的三角函数值，再运算乘方，以及乘法，最后运算加减，即可作答．
【详解】解：
．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据正六边形的性质，求出圆心角，再由等边三角形的判定定理得出结论；
（2）根据三角形内心的性质以及直角三角形的边角关系求出所对应的圆心角的度数及半径，由弧长公式求出弧的长，再计算长的6倍即可．
【详解】（1）解：六条等弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点，
，
，
是等边三角形．
（2）解：由（1）得是正三角形，
点是的内心，
．
如图，过点作于点，
则，
在中，，
，
的长为，
窗花的周长为．
【点睛】本题考查正多边形和圆，弧长的计算，正三角形的判定，三角形内心，解直角三角形，掌握正六边形的性质，三角形的内心的性质以及直角三角形的边角关系，弧长的计算方法是正确解答的关键．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（）利用等腰三角形的性质得到，进而得到，可得，然后根据切线的判定定理可得结论；
（）先根据圆周角定理得到，再根据等腰三角形的性质得到，进而利用三角形的外角性质求得, 进而得，即得，然后解直角三角形求得即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又为的半径，
∴与相切；
（2）解：∵为直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，圆周角定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，解直角三角形等知识，能够熟练运用相关知识求解是解题的关键．
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，得到，得出，可证明四边形是平行四边形，即可得到结论；
（2）根据题意得到，，得到，根据勾股定理求出，得到．
【详解】（1）证明：平分，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）解：由（1）知四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
18．(1)
(2)①3；②
(3)
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求解；
（2）①连接，先证明切于C点，由和边切于点E，得，，证明，然后利用相似三角形的性质即可求解；
②根据弧长公式计算即可；
（3）根据当为直径时，圆O半径最小和当E点与B点重合时，半径最大求出临界值即可．
【详解】（1）解：，
．
，
．
，
为直角三角形，且，
．
（2）如图，当点O落在上时，连接，设与的另一个交点为点F．
①，
∴切于C点．
和边切于点E，
，
，
．
，
，
，即，
．
②由于圆心O在上，
，
∴弧的长为．
（3）解：．
如图，当为直径时，此时，圆O半径最小．
，
，
∴半径r最小为．
当E点与B点重合时，半径最大，
如图，连接，过O作于H．
，
．
．
在中，．
，
，
，即r的最大值为．
综上所述，r的取值范围为．
【点睛】本题考查平行四边形的性质以及勾股定理逆定理，切线的判定与性质，切线长定理，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
19．(1)，
(2)见解析
(3)．
【分析】（1）先利用勾股定理求得，，，在中，，利用三角函数的定义求得，，据此求解即可；
（2）列表，描点，连线，画出函数图象即可；
（3）观察图象分析，找图象在图象上方及交点的部分．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴在中，，，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）解：列表：
0 1 2 5 6
0
10 5 2
描点，连线，函数图象如图所示，
性质：
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
（3）解：由图象得，当时的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何结合问题、反比例函数的图象与性质、勾股定理及解直角三角形等内容，利用数形结合是解题的关键．
20．（1）；（2）存在，面积最大值为，此时点到点的距离为．
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，二次函数的应用，解直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，过点E作，垂足为，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，交于点，根据平行四边形的性质可得，然后利用锐角三角函数的定义分别求出，最后利用平行四边形的面积的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答；
（2）延长交于点，则四边形为矩形，，
得到，设，则，得到求得，，即可求解．
【详解】解：（1）过点作，垂足为，过点E作，垂足为，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，交于点，如图：
∵四边形是平行四边形，
．．，
，，
∵分别是的中点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
∴
；
∴四边形的面积为；
（2）延长交于点，则四边形为矩形，如图：
∴，，
∵，
∴，，
∴，
，
设，则，
，即
，
∴，
，
，
∴当时，四边形面积的最大，最大值为
此时，
∴存在面积最大的四边形，最大值为，此时点到点的距离为．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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